高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解題技巧

河北省臨城實(shí)驗(yàn)中學(xué) 郝子翔

導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，也是研究函數(shù)、解決實(shí)際問題非常有力的工具。在高中階段，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)主要集中于以下三個(gè)方面。下面我對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)談一些自己的看法，希望和大家共同進(jìn)步。

一、注重基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用

在導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)部分，我們要先記憶并理解相關(guān)的概念，熟練掌握導(dǎo)數(shù)求取函數(shù)的極值和最值的方法，并了解一些函數(shù)的求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則。要想正確求導(dǎo)，需做好以下兩點(diǎn)：①熟練掌握運(yùn)用初等函數(shù)求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則，還有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；②要解一個(gè)復(fù)合函數(shù)，要能夠理清其中的復(fù)合關(guān)系，搞懂各個(gè)分解函數(shù)都分別對(duì)應(yīng)哪個(gè)變量來求導(dǎo)。因此，在解題過程中，大家一定要搞懂基礎(chǔ)的知識(shí)，然后再進(jìn)行知識(shí)的拓展。

例1 已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln(-x)+3x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)(1，-3)處的切線方程是_____。

分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，同時(shí)考查函數(shù)的奇偶性的定義和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力。

由偶函數(shù)的定義可得f（-x）=f（x），即有x＞0時(shí)，f（x）=lnx-3x，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程。

例2 已知a為函數(shù)f（x）=x3-12x的極小值點(diǎn)，則a=_____。

分析：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值問題。

由題意得f'(x)=3x2-12=3（x+2）（x-2），令f'(x)=0，得x=-2或x=2，故f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）的極小值為f（2），所以a=2。

這道題是一道較為簡(jiǎn)單的試題，只需要根據(jù)定義耐心運(yùn)算，就能得到問題的答案。

二、重點(diǎn)掌握與其他知識(shí)的交匯融合

在高考試題中，導(dǎo)數(shù)會(huì)與數(shù)列、不等式等內(nèi)容結(jié)合，加大考試的難度。不等式是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)一旦與不等式結(jié)合，就意味著題目的綜合性會(huì)非常強(qiáng)。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就要聯(lián)系函數(shù)與不等式，然后進(jìn)行等價(jià)變形，構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，利用求導(dǎo)公式來求取函數(shù)的單調(diào)性，最終將不等式問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題。導(dǎo)數(shù)與數(shù)列問題的結(jié)合也是一樣的思路。因此在學(xué)習(xí)過程中，我們需要?dú)w納總結(jié)相關(guān)的解題技巧，以便在考試中正常發(fā)揮自己的水平。

例3 設(shè)n屬于是曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（1）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

分析：本題主要考查曲線的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)公式和放縮法證明不等式。本題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求導(dǎo)錯(cuò)誤，不會(huì)聯(lián)系導(dǎo)數(shù)和曲線之間的關(guān)系，證明不等式成立時(shí)，不能適當(dāng)?shù)胤趴s不等式。

本道試題難度較大，需要我們仔細(xì)分析，通過適當(dāng)放縮不等式才能正確解答。

三、重視導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)生活中，導(dǎo)數(shù)也有很廣闊的應(yīng)用前景，在此背景下，高考試題愈加重視對(duì)生活中導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的考查，如優(yōu)化問題、成本問題、最短路徑等等，解決這些問題時(shí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解會(huì)非常方便。解決生活問題，需要經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：仔細(xì)審題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型→設(shè)置合理的函數(shù)變量→列出相應(yīng)的關(guān)系式→解出問題的解→檢驗(yàn)結(jié)果是否符合問題的實(shí)際意義。

例4 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，它的成本為A，產(chǎn)量為m，成本與產(chǎn)量間的關(guān)系式為A=100+4m，售價(jià)為c，售價(jià)與產(chǎn)量的關(guān)系式為求產(chǎn)量m為_____時(shí)，工廠所獲取的利潤(rùn)值L最大。

分析：利潤(rùn)L為收入R減去成本A，而收入R則是產(chǎn)量和價(jià)格的乘積，由此可得出利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求取答案。

∵成本A與產(chǎn)量m的函數(shù)關(guān)系式為A=100+4m，價(jià)格c與產(chǎn)量m的函數(shù)關(guān)系式為

公式對(duì)應(yīng)的拋物線開口向下，求導(dǎo)得當(dāng)m=84時(shí)，利潤(rùn)L值最大。

通過上述分析，我們要從題干中抽象得到數(shù)學(xué)知識(shí)，然后列出相應(yīng)的表達(dá)式，再進(jìn)行求導(dǎo)，得到問題的答案。

總之，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要高度重視導(dǎo)數(shù)部分的內(nèi)容，加大復(fù)習(xí)的力度，總結(jié)解題的技巧，從而在考場(chǎng)上能夠自信面對(duì)導(dǎo)數(shù)難題。

[1]曹建峰．高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的妙用[J]．文理導(dǎo)航（中旬），2014（04）．

[2]韋洲．導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J]．新課程（中學(xué)），2014（10）．