小學(xué)數(shù)學(xué)“深度實驗”教學(xué)探索

江蘇徐州市銅山區(qū)大許實驗小學(xué) 解玲蘭

“數(shù)學(xué)實驗”是近年來廣受師生歡迎的學(xué)習(xí)方式，這種方式融學(xué)生觀察、操作、思考于一體，屬于一種具身認知活動。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞精辟指出：“數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)性的演繹科學(xué)，又是一種實驗性的歸納科學(xué)?！蔽阌怪M言，數(shù)學(xué)實驗確實能讓學(xué)生“做學(xué)玩一體”“學(xué)思創(chuàng)共生”。但在教學(xué)實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，一些實驗往往是蜻蜓點水、浮光掠影，學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗呈現(xiàn)出一種淺層化、虛浮化、被動化狀態(tài)。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)呼喚著一種深度探索。

一、深度實驗：基于“興趣”的追問

小學(xué)數(shù)學(xué)教師或許有這樣的類似經(jīng)歷：低年級學(xué)生進入“數(shù)學(xué)實驗室”往往興趣很高，隨著年級的升高，學(xué)生對數(shù)學(xué)實驗沒有了原先的驚奇、驚異，沒有了原初的激情、欲望，他們往往對數(shù)學(xué)實驗無動于衷。很多學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)實驗帶給他們的樂趣，他們只會在教師指引下被動、按部就班地做著各種實驗。這樣的數(shù)學(xué)實驗不能培育學(xué)生的主動探索與創(chuàng)造精神。

思考一：我們對實驗功能是否理解到位？

數(shù)學(xué)實驗不同于數(shù)學(xué)操作，數(shù)學(xué)操作是學(xué)生動手能力的表征與確證，而數(shù)學(xué)實驗卻不僅僅是學(xué)生的動手能力，更為重要的是學(xué)生的動腦思維能力。從這個意義上說，數(shù)學(xué)實驗是一種“具身認知”。但在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，許多教師對數(shù)學(xué)實驗的認知和數(shù)學(xué)實驗的行為走入了誤區(qū)，他們將“數(shù)學(xué)實驗”等同于“數(shù)學(xué)操作”，于是乎，學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗的過程中，常常淪落為一個機械的“操作工”。比如，一位教師執(zhí)教《圓錐的體積》，讓學(xué)生用等底等高的圓柱和圓錐做實驗。學(xué)生在教師的要求下，將圓錐灌滿水，倒入等底等高的圓柱中，結(jié)果發(fā)現(xiàn)倒了3次。于是，教師總結(jié)數(shù)學(xué)結(jié)論：等底等高的圓柱是圓錐體積的3倍。請問，這樣的數(shù)學(xué)操作能夠看成是數(shù)學(xué)實驗嗎？學(xué)生在操作中只是一個木偶，他們只是機械地執(zhí)行著教師的指令。比如，許多學(xué)生就納悶：為什么就要選擇等底等高的圓柱和圓錐，怎么就想到要用等底等高的圓柱圓錐來操作的呢？如果說操作是實驗的外顯形式，那么思想就是數(shù)學(xué)實驗的靈魂。只有讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗過程中不僅 “知其然”，而且“知其所以然”，才能引發(fā)學(xué)生真正的數(shù)學(xué)實驗探究。

思考二：我們是否給予學(xué)生充足的實驗時空？

數(shù)學(xué)實驗應(yīng)當(dāng)是學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識的過程。但在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多教師為了追求實驗結(jié)果和實驗效率，置學(xué)生實驗探究、實驗過程于不顧，匆忙推進實驗進程，草草結(jié)束實驗。其結(jié)果是教師對實驗過程過度預(yù)設(shè)，甚至對實驗過程前置告知。比如，一位教師教學(xué)《圓的周長》，讓學(xué)生通過 “滾圓法”“繞圓法”測量出圓的周長，然后計算圓的周長和直徑的比值。許多學(xué)生推導(dǎo)出圓周率是“二點九幾”或“三點二幾”，很少有接近“π”的。為此，教師只一句“你們剛才的實驗有誤差”，就將學(xué)生彼此間的實驗差異抹殺。這不能不說教師扼殺了學(xué)生的實驗興趣，導(dǎo)致學(xué)生在以后的數(shù)學(xué)實驗中，為了正確的結(jié)果而偽造數(shù)據(jù)。由于教師沒有賦予學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的時空，讓學(xué)生數(shù)學(xué)實驗成為一種“走過場”。

思考三：我們的實驗到底應(yīng)讓學(xué)生獲得什么？

數(shù)學(xué)實驗不應(yīng)追求一步到位，不應(yīng)只是讓學(xué)生獲得膚淺的操作經(jīng)驗，更應(yīng)讓學(xué)生積淀數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)思想方法。在一些教師的心中，數(shù)學(xué)實驗只是獲取數(shù)學(xué)知識的載體，只是獲得數(shù)學(xué)知識的一種手段。其實，這樣的數(shù)學(xué)實驗觀是片面的、膚淺的。數(shù)學(xué)實驗應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家當(dāng)年研究的歷程，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生重蹈人類探索的關(guān)鍵步子，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生重溫蘊藏其中的數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)思想等。從這個意義上說，數(shù)學(xué)實驗有著獨特的育人價值。學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗，不僅僅能夠探究數(shù)學(xué)知識，更為重要的是能夠形成豐富的探究經(jīng)歷、探究感受和探究體驗。如果一位學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗過程中，能產(chǎn)生豁然開朗、怦然心動、柳暗花明的思考頓悟，能夠獲得思考的快樂、思維的提升，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗就是豐實的、有效的。

因此，筆者認為，在數(shù)學(xué)實驗過程中，教師要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)實驗的功能，發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗的功用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察與數(shù)學(xué)操作共存、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)操作交織，讓學(xué)生群策群力。如此，就能讓數(shù)學(xué)實驗真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的工具載體、價值載體。

二、深度實驗：基于“意蘊”的考量

將數(shù)學(xué)實驗放置到深度教學(xué)中思考，將數(shù)學(xué)實驗放置到核心素養(yǎng)背景下來考量，將數(shù)學(xué)實驗放置到高階思維培育視角來審視，我們就會對數(shù)學(xué)實驗產(chǎn)生深度追求。也就是數(shù)學(xué)實驗應(yīng)當(dāng)是學(xué)生數(shù)學(xué)思想與實踐的對接，是學(xué)生數(shù)學(xué)歸納與演繹的圓融，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)造的共生。

意蘊一：數(shù)學(xué)實驗深度是一種理解的深度

數(shù)學(xué)實驗深度不僅僅是一種操作深度，即賦予學(xué)生充分的實驗時空，更為重要的是數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生理解的深度，亦即思維的深度。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實驗，往往注重外顯的形式。筆者認為，深度實驗更應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的改善，數(shù)學(xué)思維方式的提升。數(shù)學(xué)是一門理性的學(xué)科，思維、理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵詞，數(shù)學(xué)實驗只是學(xué)生諸多數(shù)學(xué)探究方式中的一種。在數(shù)學(xué)實驗過程中，教師要自始至終關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，主動跟進學(xué)生的思維、調(diào)整學(xué)生的思維。比如，教學(xué)《間隔排列》，教師在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察間隔排列現(xiàn)象、操作間隔排列學(xué)具后，要引導(dǎo)學(xué)生深度思考：為什么兩端物體會比中間物體多一個？兩端物體比中間物體多一個，多的是哪一個？如果兩端物體不相同呢？如果物體以間隔排列的方式排成一個封閉圖形呢？只有學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)現(xiàn)象過渡到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗才是一種真正的數(shù)學(xué)實驗，是一種有深度的數(shù)學(xué)實驗。只有當(dāng)學(xué)生獲得了對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解，學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中才能游刃有余。否則，我們在數(shù)學(xué)實驗中就會只獲得數(shù)學(xué)實驗的“形”，而沒有獲得數(shù)學(xué)實驗的“神”。

意蘊二：數(shù)學(xué)實驗深度是一種體驗的深度

如上所述，學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗深度不僅僅是一種操作深度，更是一種理解深度。筆者認為，數(shù)學(xué)深度還是學(xué)生的一種感受深度、體驗深度。在數(shù)學(xué)實驗過程中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗很膚淺，僅僅是囫圇吞棗、浮光掠影，沒有獲得對數(shù)學(xué)實驗的感受、體驗。進一步說，對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)實驗不僅僅是掌握知識、獲得思想方法，更為重要的是養(yǎng)成學(xué)生良好的思維品質(zhì)，形成學(xué)生良好的心理品質(zhì)，讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué)實驗、樂于數(shù)學(xué)探究。數(shù)學(xué)實驗是發(fā)展學(xué)生人格的不可或缺的載體。有時候，學(xué)校的數(shù)學(xué)實驗只是將學(xué)生引入數(shù)學(xué)研究的大門，導(dǎo)引學(xué)生在課余、課后進一步展開深度研究。著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞說：“在教一個科學(xué)的分支 （或一個理論、一個概念）時，我們應(yīng)讓孩子重蹈人類思想發(fā)展中那些最關(guān)鍵的步子。當(dāng)然我們不應(yīng)該讓他們重蹈過去的無數(shù)個錯誤，而僅僅是重蹈關(guān)鍵性步子?！弊鳛橐幻麛?shù)學(xué)教師，要清楚地指示學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的關(guān)鍵步子在哪里。比如，教學(xué)《圓的面積》，一位教師首先讓學(xué)生用數(shù)方格的方法探究圓和外切正方形的關(guān)系，在初步得出圓的面積是半徑的平方的三倍多一些后，教師引導(dǎo)學(xué)生展開深度探究。學(xué)生先是將圓平均分割成8份，拼成一個近似的平行四邊形；然后將圓平均分割成16份，拼成一個近似的平行四邊形，不過這時的平行四邊形已經(jīng)比原先的平行四邊形更“像”了；接著，教師又讓學(xué)生將圓平均分割成32份、64份等。最后，教師借助多媒體課件，向?qū)W生直觀展示“化圓為矩”的過程，學(xué)生深刻地感受、體驗到“極限”思想。不僅如此，教師導(dǎo)引學(xué)生課后進一步探究：將圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形、梯形等。讓學(xué)生借助微信、QQ群進行交流。整個實驗過程豐富、飽滿，學(xué)生獲得深刻的數(shù)學(xué)實驗體驗。

意蘊三：數(shù)學(xué)實驗深度是一種創(chuàng)新的深度

數(shù)學(xué)實驗是孕育學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的孵化器，學(xué)生的一個個“微創(chuàng)”就在深度實驗中誕生。在數(shù)學(xué)深度實驗過程中，學(xué)生會主動提出數(shù)學(xué)猜想，主動進行觀察、思維、想象、推理，主動進行畫圖、測量、剪拼，不斷形成新的思路。從這個意義上說，數(shù)學(xué)實驗深度是一種創(chuàng)新的深度。比如教學(xué)《梯形的面積》，學(xué)生受三角形面積公式推導(dǎo)的啟發(fā)，形成了多向思路。有學(xué)生在實驗過程中將梯形轉(zhuǎn)化成三角形，有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成長方形，還有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，等等。不同學(xué)生運用不同方法，推導(dǎo)出梯形面積，這是學(xué)生基于不同視角、不同經(jīng)驗形成的各具特色的探究。在這個過程中，學(xué)生是探究的主體，教師是引導(dǎo)的主體。師生之間互促、互進。教師在教的過程中關(guān)注學(xué)生的學(xué)，學(xué)生在學(xué)的過程中關(guān)注教師的教，只有教師和學(xué)生積極互動，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗形成創(chuàng)新思路。

三、深度實驗：基于“過程”的實施

深度實驗不僅體現(xiàn)為數(shù)學(xué)深度，更體現(xiàn)為學(xué)生深度?；凇斑^程”的實施，數(shù)學(xué)深度實驗從原點開始，從學(xué)生出發(fā)，從體驗落腳。顯然，深度實驗不同于淺層次實驗，淺層實驗是一種機械的學(xué)習(xí)方式，深度實驗是學(xué)生能批判學(xué)習(xí)新事實、新思想，能主動進行遷移、決策和解決問題的實驗。

1.深度實驗，從思考的原點開始

著名物理學(xué)家楊振寧在接受記者采訪時，曾將他的治學(xué)經(jīng)驗歸結(jié)為一句話：站在問題開始的地方，而不要淹沒在文獻的海洋中。其實，數(shù)學(xué)實驗何嘗不是如此呢？傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師往往參閱眾家的實驗設(shè)計，然后將各家的實驗設(shè)計糅合，其結(jié)果是，照搬過來的實驗設(shè)計不能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，不能適應(yīng)學(xué)生。其實，教師在進行實驗設(shè)計時，更多的應(yīng)該站在問題的源泉處，站在學(xué)生的具體學(xué)情處，只有這樣，教師設(shè)計的數(shù)學(xué)實驗才是有效的。

教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》，許多教師根據(jù)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，直接讓學(xué)生猜測“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的意義。學(xué)生也能夠猜出“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”表示“幾分之幾的幾分之幾是多少”，但在這里，學(xué)生更多的是一種模仿。

數(shù)學(xué)實驗，應(yīng)當(dāng)將活生生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題展示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷活生生的數(shù)學(xué)實驗過程。在這個過程中，學(xué)生能夠感悟到數(shù)學(xué)實驗的創(chuàng)造性研究方法和獨特的研究風(fēng)格。學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗淋漓盡致。這種直面問題本身的數(shù)學(xué)實驗，對學(xué)生而言，其意義是深遠的。

2.深度實驗，從學(xué)習(xí)的體驗出發(fā)

體驗是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種常態(tài)，更是學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的一種常態(tài)。可以這樣說，沒有學(xué)生的體驗，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)就是外在于學(xué)生的。只有學(xué)生真正經(jīng)歷了、感受了、體驗了，數(shù)學(xué)實驗才能達至一定的深度。只有經(jīng)過學(xué)生的體驗，所有外在的學(xué)習(xí)因素才能真正發(fā)揮作用，否則實驗對學(xué)生而言就是虛幻的、沒有生命力的。深度實驗，必須從學(xué)生的體驗出發(fā)。

因此，數(shù)學(xué)實驗就必須讓學(xué)生充分地經(jīng)歷，充分地感受，而不能為了教學(xué)效率讓實驗“行色匆匆”。有時候，一堂課的時間，學(xué)生實驗體驗不充分，教師就必須果斷地延長，在下一節(jié)課繼續(xù)探究。千萬不能讓數(shù)學(xué)實驗快餐化、程式化。比如，教學(xué)《長方形的面積》，有教師在教學(xué)中只是簡單地讓學(xué)生用單位面積的小正方形學(xué)具去擺，當(dāng)學(xué)生擺滿后，教師就引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形的長、寬與小正方形個數(shù)的關(guān)系，進而直接歸納出長方形的面積計算公式。這樣的數(shù)學(xué)實驗，看似學(xué)生操作了、經(jīng)歷了，其實學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)體驗非常膚淺，他們的數(shù)學(xué)認知因此也是過眼煙云。筆者在教學(xué)中，將這一實驗分為三個層次：第一個層次，讓學(xué)生用單位面積的小正方形去擺長方形，這個時候能夠擺滿，學(xué)生通過數(shù)，能夠得出長方形的面積公式，初步讓學(xué)生體驗到長方形的面積就是長方形里面包含的單位小正方形學(xué)具的個數(shù)；第二個層次，筆者給出一個大一點的長方形，這個時候，單位面積的小正方形已經(jīng)不夠鋪了，怎么辦呢？這個環(huán)節(jié)對學(xué)生的觸動是巨大的，學(xué)生經(jīng)過交流，認為只要沿著長方形的長、寬鋪，就可以推算出長方形內(nèi)一共能鋪多少個小正方形；第三個層次，出示一個空白的巨大的長方形，這個時候，小正方形已經(jīng)不夠鋪長方形的長了，于是，學(xué)生就自然地建構(gòu)出長方形的長、寬、面積與小正方形的個數(shù)之間的關(guān)系，想象出鋪的畫面，抽象出長方形的面積計算。這樣的實驗過程，學(xué)生的體驗是深刻的。經(jīng)過這樣的深刻體驗，學(xué)生建構(gòu)長方形面積公式也就水到渠成。

數(shù)學(xué)深度實驗源自學(xué)生的深度體驗。在數(shù)學(xué)實驗過程中，不論數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容是什么，數(shù)學(xué)實驗材料是怎樣的，數(shù)學(xué)實驗的外部刺激是什么，只要引發(fā)了學(xué)生的深度體驗，數(shù)學(xué)實驗就是有效的。否則，即使實驗素材再豐富、實驗設(shè)計再精致，也是水中花、鏡中月。

3.深度實驗，從自主的創(chuàng)新出發(fā)

著名教育心理學(xué)家奧蘇貝爾說，“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)。”數(shù)學(xué)深度實驗，必須從學(xué)生的具體學(xué)情出發(fā)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師也研究學(xué)生，但他們研究的學(xué)生是“抽象的學(xué)生”，因而數(shù)學(xué)實驗缺乏針對性、實效性。筆者認為，數(shù)學(xué)實驗應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的具體學(xué)情出發(fā)，研究具體學(xué)生、傾聽具體學(xué)生、對話具體學(xué)生。只有這樣，教師才能順應(yīng)學(xué)生的學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

教學(xué)蘇教版四年級下冊《三角形的內(nèi)角和》，對于不同的學(xué)生，教師要提出不同的實驗要求。三角形內(nèi)角和的探究，最為簡單的是讓學(xué)生直接測量，這一實驗探究方式可以針對后進生；對于操作能力比較強的學(xué)生，教師要放手讓他們折角，將三角形三個內(nèi)角折在一起，形成一個平角；對于推理能力較強的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)他們作輔助線，運用平行線、同位角、內(nèi)錯角等關(guān)系推導(dǎo)三角形的內(nèi)角和，等等。甚至，教師可以啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生展開 “帕斯卡三角形內(nèi)角和”的推理：任意兩個完全相同的直角三角形都可以拼成長方形，長方形的內(nèi)角和是180°，所以任意一個直角三角形的內(nèi)角和是180°；任意一個銳角三角形、鈍角三角形都可以過其中的一個頂點作垂線，分成兩個直角三角形，所以任意一個銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和是180°。這樣的數(shù)學(xué)實驗，充分兼顧到不同認知水平、認知狀態(tài)的學(xué)生，讓每一個學(xué)生都能以自己的方式進行自主探究。

基于“學(xué)生立場”設(shè)計數(shù)學(xué)實驗，要改變教師主導(dǎo)的設(shè)計思維方式，真正從學(xué)生出發(fā)，基于學(xué)生視角去思考教學(xué)演繹、教學(xué)行走方式。在數(shù)學(xué)實驗過程中，教師要瞄準(zhǔn)學(xué)生的具體學(xué)情，基于學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗現(xiàn)實水平，基于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗。只有這樣，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)才能事半功倍，才能更好地為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)。

深度實驗不僅指向?qū)W生學(xué)習(xí)的深度，更指向教師教學(xué)的深度。數(shù)學(xué)實驗同時建構(gòu)師生的知識經(jīng)驗、思維方式、思維習(xí)慣、情感投入等諸多因素。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)教師深入解讀教材，直面研究課題、直面具體學(xué)生時，當(dāng)教師意識到他應(yīng)該基于學(xué)生立場，從學(xué)生出發(fā)進行實驗設(shè)計時，當(dāng)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)通過實驗發(fā)生改變時，數(shù)學(xué)深度實驗過程才真正發(fā)生。?