分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省海門市常樂初級中學(xué) 沙小飛

分類討論思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的應(yīng)用，但不少初中生卻無法從解題中感受到分類討論思想的優(yōu)勢。其實(shí)，分類討論思想能夠幫助學(xué)生更好地在解題中發(fā)現(xiàn)各個(gè)條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過分類討論思想去尋找問題解決的策略。分類討論思想必須基于一定的數(shù)學(xué)實(shí)踐，解題過程并不是理論說教，那么教師如何運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題，以提升學(xué)生的解題技巧呢？

一、把握應(yīng)用原則，靈性提升解題能力

分類討論思想的核心內(nèi)涵之一是分類，教師在培養(yǎng)學(xué)生的解題能力時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)、合理地分類，學(xué)生必須遵循這一基本原則才能有效應(yīng)用。在分類討論思想中，學(xué)生要明白兩個(gè)應(yīng)用原則：一是同一性與相稱性原則，它的要求是學(xué)生在分類時(shí)要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。例如如果是三角形的分類，既可以按角的大小進(jìn)行分類，也可以按邊的大小進(jìn)行分類，學(xué)生只能以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，而不能采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸類，否則會(huì)出現(xiàn)交叉等錯(cuò)誤。二是互斥性與多層次性?；コ庑允侵冈诜诸愡^程中，各個(gè)子項(xiàng)應(yīng)該是互相排斥的，不能出現(xiàn)各子項(xiàng)之間的包含關(guān)系，否則會(huì)出現(xiàn)分類交叉和遺漏現(xiàn)象。如初三2班參加體育興趣小組，參加跑步和跳遠(yuǎn)的有7人，參加跑步的有4人，參加跳遠(yuǎn)的有5人，由此推斷出其中有2人參加這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)。顯然，將7人分類為參加跑步、跳遠(yuǎn)兩項(xiàng)活動(dòng)存在邏輯性錯(cuò)誤。正確的分類應(yīng)是跑步的有3人，跳遠(yuǎn)的有2人，兩種活動(dòng)都參加的有2人?？梢哉f，學(xué)生必須遵循相關(guān)的分類原則，才能讓解題思路更加清晰，使分類過程更為科學(xué)、合理，最終有效解題。

二、把握應(yīng)用策略，靈性提升解題能力

1．在函數(shù)解題中的應(yīng)用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，而位置又非常重要。為此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，并使其能夠靈活應(yīng)用在函數(shù)的解題中。從函數(shù)知識的特點(diǎn)來說，函數(shù)可劃分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，學(xué)生應(yīng)依據(jù)實(shí)際情況解決問題。例如這樣一道題目：某工廠加工一批男鞋和女鞋，其中男鞋和女鞋的總數(shù)量為3.7萬雙。其中，女鞋比男鞋的2倍還多0.2萬雙。問：男鞋和女鞋各生產(chǎn)了多少萬雙？在引導(dǎo)學(xué)生解決這道題目時(shí)，應(yīng)先使其明確可應(yīng)用幾次函數(shù)解決問題，然后再提問學(xué)生是否需要結(jié)合其他知識，進(jìn)而再引導(dǎo)學(xué)生積極探索問題的解決方法，得出正確的結(jié)果。具體方法是：設(shè)男鞋x萬雙，女鞋y萬雙，再根據(jù)題意列出方程：x+y=3.7，y=2x+0.2。接著通過作出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象并取其圖象的交點(diǎn)，最后得出結(jié)論。對于該道題目來說，教師可以通過滲透分類討論思想，使學(xué)生能夠根據(jù)函數(shù)的分類方法去尋找問題解決的策略，最終有效解題。

2．在不等式問題中的應(yīng)用

不等式問題的解決是初中數(shù)學(xué)的又一個(gè)難點(diǎn)，而分類討論思想的應(yīng)用也是比較廣泛的。教師在引導(dǎo)學(xué)生解決不等式問題時(shí)，要巧妙滲透分類討論思想，以提升學(xué)生對不等式問題的解決能力。例如這樣一道簡單的不等式問題：(k-1)x＞k2-1。在這個(gè)問題的解決過程中，教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生明確討論對象及其取值范圍。在該問題中，可發(fā)現(xiàn)討論對象是k，其取值范圍應(yīng)包括三種：k＞1、k=1、k＜1三種情況。然后教師再引導(dǎo)學(xué)生針對每個(gè)分類進(jìn)行詳細(xì)地討論，并得出結(jié)果。對于這道題目來說，當(dāng)k＞1時(shí)，即k-1＞0，則x＞k+1；當(dāng)k=1時(shí)，即k-1=0，則不等式無解；當(dāng)k＜1時(shí)，即k-1＜0，則x＜k+1。最后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將所有的結(jié)論歸納在一起，得出最終的結(jié)果。解決此題，其最終結(jié)果是：當(dāng)k＞1時(shí)，x＞k+1；當(dāng)k=1時(shí)，不等式無解；當(dāng)k＜1時(shí)x＜k+1。通過總結(jié)解題過程，學(xué)生從中能夠發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用分類討論思想時(shí)，也應(yīng)當(dāng)按照一定的步驟，以保證在更加復(fù)雜的問題中有序、合理地分類、驗(yàn)算、歸納、總結(jié)，從而得出正確的結(jié)果。另外，在數(shù)學(xué)幾何、數(shù)學(xué)方程、概率題、有參數(shù)問題中，分類討論思想的應(yīng)用也非常廣泛，教師在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)依據(jù)具體知識板塊引導(dǎo)學(xué)生采用合理的分類討論方法，從而提高學(xué)生的解題速度。

三、注意應(yīng)用情況，靈性提升解題能力

分類討論思想的應(yīng)用雖然有一定的廣泛性，但它的應(yīng)用必須基于一定的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這是學(xué)生在解題過程中必須認(rèn)真考慮的問題。教師可以通過展示一些比較常見的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生能夠在多樣化的問題解決中不斷豐富分類討論思想，以促使學(xué)生能夠在遇到相似問題時(shí)，快速、準(zhǔn)確地采用分類討論方法解決問題。

首先，在有些數(shù)學(xué)概念中，其定義就是分類的。當(dāng)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中包含分類討論思想時(shí)，他就會(huì)利用此思想去解決問題，這其實(shí)也是學(xué)生數(shù)感的體現(xiàn)，比如絕對值方程。另外，有些數(shù)學(xué)概念在定義時(shí)就已經(jīng)對自己的范圍進(jìn)行了限制，學(xué)生在解題時(shí)必須突破思維障礙，靈活應(yīng)用分類討論思想去解決問題。比如二次方程，其系數(shù)不能為零。其次，在一些數(shù)學(xué)運(yùn)算的使用范圍限制情況下，若要突破這些限制，則也要采用分類討論方法解決問題。如零不能作為除數(shù)；不等式換算時(shí)，其系數(shù)正負(fù)問題等。再者，在幾何問題中，如果圖形位置、形狀無法確定，學(xué)生則應(yīng)當(dāng)采用分類討論方法解決問題。如點(diǎn)與線的位置、直線與圓的位置等。最后，有些數(shù)學(xué)題目條件比較開放，其最終結(jié)果也不是唯一的，那么在解決這種題目時(shí)則也要應(yīng)用分類討論方法，以避免漏解。

總之，分類討論思想的應(yīng)用范圍非常廣泛，解題能力的培養(yǎng)是多元化的，學(xué)生想更好地應(yīng)用分類討論思想提升解題能力，必須明確分類原則，并采用合適的解決方法歸納、總結(jié)分類問題，從而得出正確答案。同時(shí)，教師還應(yīng)當(dāng)重視建立一個(gè)長效機(jī)制，逐步提升分類討論思想應(yīng)用能力，并提升學(xué)生思維的科學(xué)性、條理性，從而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。

[1]徐翠英．淺談初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想[J]．時(shí)代教育（教育教學(xué)），2010（03）．

[2]楊懷宏．分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2008（07）．

[3]沈順良，王丹群．滲透分類討論思想教學(xué)案例一則[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（10）．