在錯(cuò)解中理解圓與方程 于糾錯(cuò)中提升思辨能力
——求解圓與方程問(wèn)題的典型錯(cuò)誤辨析

朱賢良

(安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 246700)

在解題活動(dòng)中，“錯(cuò)誤”總是遭人討厭，卻又似乎揮之不去、如影隨形．事實(shí)上，只要我們能正確地對(duì)待錯(cuò)誤，利用好這一寶貴的資源，在錯(cuò)誤中反思、感悟，就一定可以悟出真相、悟出規(guī)律、悟出本質(zhì)、悟出智慧．以圓與方程為例，筆者總結(jié)了常見(jiàn)的四類(lèi)錯(cuò)誤，在學(xué)習(xí)中妥善加以利用，既有助于我們理解圓與方程的相關(guān)知識(shí)，又能在糾錯(cuò)中不斷提升思辨水平．

一、忽略圓的一般方程中的隱含條件

例1 已知圓x2+y2+k2x+y-k=0關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，求k的值．

辨析由于方程x2+y2+k2x+y-k=0是否為圓的方程尚沒(méi)有保證，故此時(shí)談不上它關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題．當(dāng)且僅當(dāng)D2+E2-4F>0，即k4+1+4k>0時(shí)，方程x2+y2+k2x+y-k=0為圓的方程，在此條件下再研究它關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)才有意義．

正解因?yàn)榉匠蘹2+y2+k2x+y-k=0表示圓，故D2+E2-4F=k4+1+4k>0(*)．

當(dāng)k=1時(shí)，(*)式成立，符合題意；

當(dāng)k=-1時(shí)，(*)式不成立，故舍去．

所以，k=1．

例2 已知圓C的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0，要使過(guò)點(diǎn)A(1,2)所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍．

錯(cuò)解因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(1,2)作圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0的切線有兩條，故點(diǎn)A在圓C的外部，即9+k+k2>0，解得k∈R．

辨析我們不能在沒(méi)有D2+E2-4F>0保證的前提下，去討論圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的任何性質(zhì)特征．正如同說(shuō)二次方程x2-2x+10=0的兩個(gè)實(shí)根之和為x1+x2=2、兩個(gè)實(shí)根之積為x1x2=10一樣，這是極其荒謬的，因?yàn)闆](méi)有Δ≥0的保證，二次方程不一定有實(shí)根．因此，在平常的學(xué)習(xí)中，要重視對(duì)概念、定理的本質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確把握，不可死記硬背、生搬硬套．

又過(guò)點(diǎn)A(1,2)作圓C的切線有兩條，故點(diǎn)A在圓C的外部，即9+k+k2>0，解得k∈R．……②

二、對(duì)兩圓相切的位置關(guān)系考慮不全

例3 求半徑為4，與圓x2+y2-2x-4y+4=0相切，且和直線y=0相切的圓的方程．

錯(cuò)解結(jié)合圖形可判斷，所求圓的圓心必在x軸的上方．

因?yàn)樗髨A與直線y=0相切，且半徑為4，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為O1(a,4)，則方程為(x-a)2+(y-4)2=16．

已知圓x2+y2-2x-4y+4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1，其圓心為O2(1,2)，半徑為1．

辨析兩圓相切的情況有兩種，到底是外切還是內(nèi)切，或是兩者皆有可能，一般可以通過(guò)作圖進(jìn)行分析、判斷．在兩圓內(nèi)切時(shí)，還需要注意區(qū)分哪一個(gè)圓在外，哪一個(gè)圓在內(nèi)．兩圓相切可分為內(nèi)切與外切，錯(cuò)解并未分析全面，僅考慮了外切這一種情形．

正解結(jié)合圖形可判斷，所求圓的圓心必在x軸的上方．因?yàn)樗髨A與直線y=0相切，且半徑為4，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為O1(a,4)．而已知圓x2+y2-2x-4y+4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1，其圓心為O2(1,2)，半徑為1．由兩圓相切，可知O1O2=4+1=5(外切)或O1O2=4-1=3(內(nèi)切)．

三、忽略切線、交線的特殊位置情形

例4 求過(guò)原點(diǎn)且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線方程．

錯(cuò)解因?yàn)樗笾本€過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)其方程為y=kx，即kx-y=0．

辨析本題考查直線與圓的位置關(guān)系，一般都通過(guò)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系加以判斷．但在設(shè)直線方程時(shí)，沒(méi)有考慮斜率不存在這一特殊情況，即易犯漏解這樣的錯(cuò)誤．本題中，原點(diǎn)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外部，故過(guò)原點(diǎn)必可作該圓的兩條切線，上述解答有誤．

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x=0．此時(shí)，圓心(1,2)到直線x=0的距離恰好為圓的半徑1，故也符合題意．

辨析在運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程包括斜截式方程解題時(shí)，常會(huì)發(fā)生類(lèi)似的錯(cuò)誤，這是點(diǎn)斜式方程和斜截式方程本身的局限性所致．在這兩類(lèi)方程里，沒(méi)有包含斜率不存在的直線．因此，用這兩類(lèi)方程解題時(shí)，必須驗(yàn)證斜率不存在的直線是否符合題意的要求．

正解(1)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，同錯(cuò)解得直線l的方程為3x+4y+15=0．

綜上所述，所求直線方程為3x+4y+15=0或x=-3．

四、未檢驗(yàn)曲線與方程的關(guān)系

例6 已知圓C的方程為x2+y2=9，過(guò)點(diǎn)P(5,0)作直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

錯(cuò)解顯然直線l的斜率必定存在，可設(shè)其方程為y=k(x-5)．

當(dāng)k=0時(shí)，x=y=0，也滿足方程x2+y2-5x=0．

所以，M的軌跡方程為x2+y2-5x=0．

辨析過(guò)圓外一點(diǎn)的直線與圓相交是有條件的，這個(gè)條件顯然應(yīng)當(dāng)限制軌跡方程中變量x,y的范圍．本題只能保證軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x2+y2-5x=0的解，但不能保證以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，所以x2+y2-5x=0不是M的軌跡方程．

正解同錯(cuò)解得點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿足方程x2+y2-5x=0．

?4x-x2=(3-y)2(y≤3)

?(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)

此方程表示一個(gè)圓的下半部分，圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑為r=2．

錯(cuò)誤總是伴隨著人認(rèn)識(shí)事物的整個(gè)過(guò)程，也只有從錯(cuò)誤中不斷總結(jié)，才能認(rèn)識(shí)真相、掌握真理．因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，既要注意養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣與思維習(xí)慣，對(duì)一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤產(chǎn)生預(yù)見(jiàn)性并合理規(guī)避，進(jìn)而提升自身的“免疫力”，更要善于辨析錯(cuò)誤，從中汲取智慧．