對(duì)圓錐曲線一共性之推廣

魏子賀

(河北省樂(lè)亭第一中學(xué)高三年級(jí) 063600)

設(shè)圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,相應(yīng)準(zhǔn)線l交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸(圖(1)中的x軸)于點(diǎn)M,過(guò)F的直線交圓錐曲線于A,B兩點(diǎn).則MF是∠AMB的角平分線(特別地當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時(shí),要滿足A,B兩點(diǎn)落在雙曲線的同一支.否則落在左右兩支上時(shí)∠AMF,∠BMF互補(bǔ)).

“性質(zhì)”的成立必須在F為焦點(diǎn)且M為相應(yīng)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)的條件下(這一性質(zhì)是2018年高考全國(guó)卷一19題第2問(wèn)的證明，所以此處不再證明),如果改變這一條件,僅讓這兩點(diǎn)存在某種特定的內(nèi)在聯(lián)系,我們可得到如下一組推論.

推論1 已知拋物線y2=2px(p>0)過(guò)定點(diǎn)F′(m,0)(m≠0)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)M′(-m,0)使得下面結(jié)論成立：(1)當(dāng)m>0時(shí),∠AM′F′=∠BM′F′；(2)當(dāng)m<0時(shí),∠AM′F′+∠BM′F′=180°.

當(dāng)m>0時(shí)結(jié)合圖(2)可得∠AM′F′=∠BM′F′;當(dāng)m<0時(shí)結(jié)合圖(3)可得∠AM′F′+∠BM′F′=180°.若AB的斜率不存在,則必須滿足m>0,此時(shí)命題成立.

類(lèi)似的結(jié)論在橢圓和雙曲線中仍然成立,見(jiàn)下面推論2,推論3.

證明當(dāng)AB的斜率存在時(shí)(斜率不存在時(shí)成立，略去不證),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直線方程為y=k(x-m)(k≠0),將其代入橢圓方程并整理得(b2+a2k2)x2-2ma2k2x+(a2k2m2-a2b2)=0.

推論3的證明與推論1、2思路類(lèi)似，在此不在給出.以上通過(guò)對(duì)2018年全國(guó)卷一解析幾何解答題的分析給出了三個(gè)相關(guān)推論，希望對(duì)讀者以后的學(xué)習(xí)有所幫助.