MC模擬法在熱耗率測(cè)量不確定度評(píng)定中的應(yīng)用

李 季

（中國能源建設(shè)集團(tuán)江蘇省電力設(shè)計(jì)院有限公司， 江蘇 南京 210096）

引言

汽輪機(jī)組熱力試驗(yàn)是評(píng)估汽輪機(jī)組熱力性能優(yōu)劣的常見試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果的精確性和可信性，通常用試驗(yàn)的不確定度表示[1]。由于試驗(yàn)測(cè)量值存在一定不確定度，導(dǎo)致利用相關(guān)試驗(yàn)測(cè)量值計(jì)算汽輪機(jī)熱耗率試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，也必然存在某種程度的不確定度[2]。試驗(yàn)的不確定度是試驗(yàn)執(zhí)行方和試驗(yàn)監(jiān)督方商務(wù)合同的重要基礎(chǔ)。因此，正確、可靠的熱力試驗(yàn)不確定度評(píng)定至關(guān)重要。

1993年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）起草了《測(cè)量不確定度指南》（簡稱GUM），由國際電工委國員會(huì)（IEC）、國際計(jì)量局（BIPM）等七個(gè)組織聯(lián)合發(fā)布，為測(cè)量技術(shù)領(lǐng)域進(jìn)行不確定評(píng)定提供了計(jì)算準(zhǔn)則。我國參照GUM，于1999年發(fā)布了JJF 1059—1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》計(jì)量技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)。在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中，都將不確定度分為A類和B類不確定度[3-4]。

對(duì)于復(fù)雜的間接測(cè)量模型，如汽輪機(jī)組的熱耗率計(jì)算，因熱力試驗(yàn)中測(cè)量的是蒸汽的溫度、壓力和流量，其靈敏系數(shù)、輸入量間的相關(guān)系數(shù)以及有效自由度難以確定，上述方法在汽輪機(jī)組熱力性能檢測(cè)試驗(yàn)的不確定度評(píng)定存在困難[5]。針對(duì)這種情況，本文采用蒙特卡羅（MC）模擬法，在熱耗率測(cè)量不確定度評(píng)定中進(jìn)行應(yīng)用，解決此局限性問題。

1 基于MC模擬法的間接測(cè)量模型不確定度評(píng)定

對(duì)于間接測(cè)量模型，如被測(cè)量值Y是由N個(gè)輸入量 X1，X2，…，XN，通過函數(shù)關(guān)系來確定，即：

GUM中給出了不確定度傳播律公式：

式中：ci為靈敏系數(shù)，r（xi，xj）為輸入量之間的相關(guān)系數(shù)，u（xi）為輸入量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

然而在評(píng)定復(fù)雜模型的測(cè)量不確定度時(shí)，如汽輪機(jī)組的熱耗率計(jì)算，式（2）存在以下問題：

1）偏導(dǎo)數(shù)通常很難計(jì)算，如水蒸汽性質(zhì)計(jì)算模型中焓對(duì)溫度、壓力的偏導(dǎo)數(shù)，從而使靈敏系數(shù)難以確定。

2）當(dāng)輸入量出現(xiàn)相關(guān)時(shí)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)比較困難，如熱耗率模型中給水溫度和主汽溫度的相關(guān)系數(shù)。然而如果人為地忽略相關(guān)項(xiàng)，則會(huì)給不確定度的評(píng)定帶來偏差[6]。

3）實(shí)際運(yùn)用中，各輸入量通常服從不同分布，因此，依照不確定度傳播律方法計(jì)算的合成不確定度時(shí)，與實(shí)際存在偏差。

為了克服式（2）評(píng)定復(fù)雜模型測(cè)量不確定度存在的問題，本文采用蒙特卡羅（簡稱MC）模擬法進(jìn)行合成不確定度的評(píng)定。

MC模擬法是一種基于隨機(jī)試驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)計(jì)算的數(shù)值方法，也稱計(jì)算機(jī)模擬方法或統(tǒng)計(jì)模擬方法，他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定理和中心極限定理。

采用MC模擬法進(jìn)行評(píng)定時(shí)，其步驟如下：

1）建立測(cè)量過程的模型方程。

2）根據(jù)已有信息確定各輸入量的分布及相應(yīng)的特征值。

3）確定MC方法試驗(yàn)的次數(shù)M。

4）根據(jù)步驟2中信息，確定Xi的M組隨機(jī)數(shù)值Xi1，Xi2，…，XiM，i=1，2，…，N。將上步得到的輸入量值代入模型Y=f（X1，X2，…，XN）中，可得到M組樣本值y1，y2，…，yM。

5）測(cè)量結(jié)果為樣本均值：

6）標(biāo)準(zhǔn)不確定度為樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

7）一旦給定包含概率p，則測(cè)量結(jié)果的包含區(qū)間可估計(jì)為：對(duì)應(yīng)于yk從小到大排序后的100×（1-p）/2%和100×（1+p）/2%分位點(diǎn)，擴(kuò)展不確定度為：

包含因子為：

相對(duì)擴(kuò)展不確定度為：

2 熱耗率測(cè)量不確定度的評(píng)定

以一次中間再熱式汽輪機(jī)循環(huán)為例，當(dāng)不計(jì)過熱、再熱器減溫水及其他汽水損失時(shí)，其熱耗率計(jì)算如式（8）所示：

式中：RH為熱耗率；D0、Drc分別為主蒸汽流量、再熱器冷端流量；h0、hgs分別為主蒸汽焓、給水焓；hrh、hrc分別為再熱器冷端蒸汽和熱端蒸汽的焓；Nel為功率。

如表1所示，試驗(yàn)參數(shù)不確定度的來源、種類和分布列于表1。各實(shí)測(cè)參數(shù)的測(cè)量不確定度應(yīng)考慮來自A類和B類。其中A類不確定度可通過對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法得到，而B類不確定度則需通過統(tǒng)計(jì)方法以外的方法得到。其來源一般有：對(duì)測(cè)量儀器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)；生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件；校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的級(jí)別；手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度；規(guī)定試驗(yàn)方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似文件中所給出的重復(fù)性[7-8]。根據(jù)上述方法得到各輸入量的A類和B類不確定度后，其合成不確定度u（xi）

表1 不確定度的來源、種類和分布

本文利用ASME PTC6—1996《汽輪機(jī)性能試驗(yàn)規(guī)程》提供的輸入量測(cè)量誤差為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（如表2所示），采用MC方法對(duì)汽輪機(jī)熱耗率測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定分析。

表2 主要輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

按照前面所述評(píng)定步驟2，利用正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生M組輸入量X1k，X2k，…，X19k（k=1，2，…，M），然后代入計(jì)算模型，每組可求得一個(gè)熱耗率樣本值，最終得到M組熱耗率樣本值。根據(jù)式（4）、式（5）可求得最終測(cè)量結(jié)果y及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（y），取置信水平p=95%，由步驟8可得測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度 U（y）和包含因子 k。

利用MATLAB平臺(tái)中normrnd函數(shù)，根據(jù)表2中各輸入量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，隨機(jī)產(chǎn)生M=1 000組輸入樣本，從而得到1 000組熱耗率樣本。根據(jù)式（3）- 式（7），熱耗率 RH=7 830.1 kJ/（kW·h），u（RH）=13.02 kJ/（kW·h），取置信水平 p=95%，擴(kuò)展不確定度U（RH）=26.21 kJ/（kW·h），包含因子k=2.01，相對(duì)擴(kuò)展不確定度 UR（RH）=0.33%，與文獻(xiàn)[2]在表9.2中給出的相對(duì)擴(kuò)展不確定度0.32%較為接近，說明MC方法在熱耗率測(cè)量不確定度評(píng)定中是簡單有效的。如圖1所示給出了不同輸入樣本容量下熱耗率樣本值的概率密度分布。粗線代表該樣本條件下的正態(tài)分布概率密度曲線。從圖中可以看出，當(dāng)M=50 000時(shí)，其熱耗率概率密度分布與正態(tài)分布基本吻合，而當(dāng)M=1 000時(shí)，該樣本的概率密度與正態(tài)分布有明顯的不同。說明樣本容量越大，熱耗率測(cè)量不確定度評(píng)定的可靠性越高，越能真實(shí)反映出熱耗率測(cè)量結(jié)果的可信賴程度。

如表3所示給出了不同樣本容量下的測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果，從表中可以看出，隨著樣本容量的增大，熱耗率均值趨于穩(wěn)定，相對(duì)擴(kuò)展不確定度基本不變，包含因子逐漸穩(wěn)定在1.96附近。這與置信水平p=95%條件下，正態(tài)分布函數(shù)所對(duì)應(yīng)的包含因子k=1.96相吻合。

圖1 熱耗率概率密度分布

表3 不同樣本容量下的測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果

3 結(jié)論

GUM中不確定度傳播律方法對(duì)汽輪機(jī)組熱耗率測(cè)量不確定度的評(píng)定存在一定的缺陷和不足，其評(píng)定結(jié)果的可靠性不夠高。MC模擬法是一種基于隨機(jī)試驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)計(jì)算的數(shù)值方法，其避免了對(duì)水蒸汽性質(zhì)計(jì)算模型的高精度要求，無需考慮熱耗率模型中各輸入量相關(guān)性的影響，可客觀分析評(píng)價(jià)試驗(yàn)結(jié)果的不確定度。

采用MC模擬法可以更加方便地評(píng)定熱耗率的測(cè)量不確定度，得到可靠的測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果，從而真實(shí)反映出熱耗率試驗(yàn)結(jié)果的可信賴程度。