發(fā)展關系性思維，實現(xiàn)從算術到代數(shù)的順利過渡

陳英

由于我校是九年一貫制學校，所以有更多機會與初中數(shù)學教師進行溝通交流。不止一次地聽到初中老師反饋，很多剛剛步入初中的學生難以適應數(shù)學學習，其中最難的是從算術方法到代數(shù)方法的轉變。學生沒有代數(shù)的意識，不喜歡也不會用方程解決問題，他們寧愿選擇比較困難的算術法也不去選擇簡易的方程來解開題目。初中老師認為是小學老師太過于強化算術方法，以至于到了初中后，要費很大力氣才能“掰回來”。小學老師則認為把四則運算的學習夯實一些沒有什么不好。學生不用方程解題是因為“設——列——解——答”的步驟太繁瑣，要不是有些題目要求必須用方程解決，就都用算術方法，多簡單?。〉纫院笥龅诫y題了，學生自然就會選擇用方程解題了。

事實上，小學數(shù)學學習與初中數(shù)學學習是義務教育階段中一脈相承的兩個學習階段，小學數(shù)學是初中數(shù)學的基礎，初中數(shù)學又是小學數(shù)學的延續(xù)和擴展。學生從小學升入初中要經(jīng)歷知識的由淺到深，思維由具體直觀逐步抽象概括的過程。從算術思維到代數(shù)思維的過渡無疑是其中最重要的，也是比較困難的方面。

一、從算術到代數(shù)，如此之難

針對以上情況，小學數(shù)學老師需要反思：學生為什么不愿意用方程解決問題？僅僅是因為用方程解決問題的步驟繁瑣嗎？還是另有原因？還有，等到除了方程“別無選擇”時“被迫”接受，真的為時不晚？

我們先來看看《數(shù)學課程標準》的要求，第二學段“式與方程”的內容標準是：1.具體情境中能用字母表示數(shù)。2.結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。3.能用方程表示簡單情境中的等量關系（如3χ+2=5，2χ-χ=3），了解方程的作用。4.了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。

接下來，再來看教材中的編排：

北師大版小學數(shù)學教材“式與方程”內容分兩部分編排，具體安排如下表：

人教版小學數(shù)學教材“式與方程”內容安排在五年級上冊第五單元“簡易方程”，具體內容如下表：

可以看出，教材還是很努力地落實“課標”的要求，循序漸進地滲透代數(shù)思想，培養(yǎng)學生用字母表示數(shù)、用方程解決問題的能力。

既然“課標”和教材都沒有問題，問題一定是出在了教師的把握和執(zhí)行上。我們對小學數(shù)學教師做了一次調查：你認為小學生在用方程解決問題時遇到的最大困難是什么？79.5%的老師認為困難是“找不到題目中的等量關系，不能正確列出方程”。85.3%的學生也存在同樣困擾。

大慶市小學數(shù)學名師工作室全體成員從這個研究背景和現(xiàn)狀出發(fā)，申請了全國新世紀研究課題“小學生等量關系學習路徑的研究”。通過研究，我們發(fā)現(xiàn)小學生對于等量關系的學習，不是一節(jié)課就能全部完成的，學生對“等量關系”這一問題的建模需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深，逐步積累形成的過程。而且，等量關系作為數(shù)量關系之中重要的一種，決不能等到學習“方程”之時才去強調，而應在低年級學習中重視數(shù)量關系，有意識地培養(yǎng)關系性思維，并適時進行有效指導，發(fā)展關系性思維，為學生從算術思維向代數(shù)思維順利過渡做好準備。

二、從算術到代數(shù)，如此，不難

那么，在小學階段應該如何發(fā)展學生的關系性思維呢？接下來，筆者將結合工作室團隊的實踐研究與大家進行分享。

1.調動已有生活經(jīng)驗，感受數(shù)量關系。

研究表明，兩歲或三歲的幼兒就已經(jīng)表現(xiàn)出一定的數(shù)感，也許他們還不知道用數(shù)字來描述物體集合，但是他們能分清有兩個或三個物體的集合（Gelman &Gallistel;，1978）。這也說明，幼兒很小時就對生活中的數(shù)量有了一定的感知。例如，他們對物體的多少（如圖1-1）、身體的高矮、物品的長短、書本的厚薄、年齡的大小，都有自己的感受。

教師要善于調動學生的已有生活經(jīng)驗，在感知數(shù)量大小的同時感受數(shù)量之間的關系。學生根據(jù)生活經(jīng)驗，通過看圖或是實際情境模擬，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的關系：紅色的繩子比綠色的繩子長（如圖1-2）；老虎比豹子重，獅子比老虎重，所以獅子最重，豹子最輕（如圖1-3）。

小學生經(jīng)常玩的猜數(shù)游戲也能幫助他們感受數(shù)量關系（如圖1-4）?！耙恢皇掷镉?個棋子，另一只手里有2個棋子，兩只手合起來有多少個棋子？”“兩只手里一共有6個棋子，一只手里有3個棋子，另一只手里有幾個棋子？”在這個游戲中，學生會感受到其中存在的數(shù)量關系，即“兩只手里的棋子數(shù)合在一塊兒就等于兩只手里的棋子總數(shù)”。感受到這個數(shù)量關系，學生往往不需要利用加減法計算，也能夠“看得出”答案的。

2.實物操作具體直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系。

實物直觀，即實物層面的幾何直觀，是指以生活中實際存在物作為參照物，借助其與研究對象之間的關聯(lián)，進行簡捷、形象的思考，獲得判斷的一種能力。學生可以利用實物操作，具體直觀地感知數(shù)量之間的關系。例如，在一年級上冊認識1-10以內的數(shù)時（如圖2-1），讓學生邊邊撥邊數(shù)，這樣，就將這些相互獨立的數(shù)字之間的關系建立起來。

在10以內數(shù)的比較大小中（如圖2-2），可以利用實物圖片擺一擺，數(shù)一數(shù)，感受一一對應，感悟數(shù)量的多少。學生通過實物或者圖片等替代物操作，知道6只小松鼠與6個盤子一樣多，6只小松鼠比5個勺子多，比7個杯子少。而且學生知道能夠“一一對應”的就說明兩個物體是一樣多的。這也為后續(xù)學生認識相等關系即等量關系做好了準備。

3.抓住關鍵信息詞句，理清數(shù)量關系。

學生對于信息較多的問題，往往找不出其中的數(shù)量關系。這時，教師要適時指導，教給方法，幫助學生學會梳理信息間的數(shù)量關系。

例如，在下圖中（如圖3-1），先讓學生說一說圖中的數(shù)學信息，然后提出問題：兩隊都上船后，船上還有多少個空座位？教師要引導學生抓住關鍵詞思考：“可乘90人”是什么意思？兩隊都上船后，“還有空座位”說明什么？學生繼續(xù)思考，這條船上一共90個座位與這兩隊人數(shù)以及空座位之間有什么關系？學生會發(fā)現(xiàn)，兩隊人數(shù)合起來，再加上空座位的數(shù)量，應該正好等于船上的座位總數(shù)。

一般情況下，“一共”“還?！钡汝P鍵詞的確能幫助學生快速確定運算方法，但是如果沒有準確把握題目中數(shù)量關系，就會適得其反。例如，學習五年級下冊《分數(shù)乘法》，遇到下圖中的題目時（如圖3-2），學生出錯率特別高。女生植了20棵樹，男生植樹棵數(shù)比女生多■，男生比女生植樹多多少棵？這其中存在著兩個等量關系：女生植樹棵數(shù)+男生比女生多植的棵數(shù)=男生植樹棵數(shù)；女生植樹棵數(shù)×男生比女生多植的倍數(shù)=男生比女生多植的棵數(shù)。很多學生看到了“比……多”，就認為肯定要用加法，于是，用兩步運算求出了男生植樹的棵樹。

因此，教師要及時向學生表明，在一個問題情境中，可能存在著多組數(shù)量關系，尋找到已知的信息與要求的問題之間的數(shù)量關系，并把數(shù)量關系理清了，問題也就迎刃而解了。

4.嘗試運用多種表征，描述數(shù)量關系。

把題目中的數(shù)量關系理清并描述和表示出來，也非常重要。學生描述數(shù)量關系時，可以用語言表達，也可以用圖示表達，還可以用文字式或算式來表示。其中，直觀的畫圖無疑是非常有效的方法。

例如，六年級上冊的“分數(shù)混合運算（一）”（如圖4-1），在“興趣小組”情境中，學生發(fā)現(xiàn)3個數(shù)學信息，并提出問題“航模小組有多少人”。教材沒有急于讓學生列式解決問題，而是讓學生先獨立思考“航模小組的人數(shù)與什么有關呢”，接著學生嘗試畫圖表示航模小組與氣象小組、攝影小組之間的人數(shù)關系，最后才是列式解決問題。

布魯納認為，在人類智慧生長期間，經(jīng)歷了三種表征系統(tǒng)的階段。分別是動作表征、圖像表征和符號表征。在低年級表示數(shù)量關系時，應鼓勵學生用自己的方式表示，并在合作交流中嘗試讀懂他人的想法，逐步實現(xiàn)從動作表征到圖像表征再到符號表征的抽象提升。

在描述數(shù)量關系時，仍然是要關注數(shù)學本質，不要太在意學生描述數(shù)量關系的方式，而是要關注學生是否已經(jīng)找到題目中數(shù)量關系，能通過自己的方式表達出來，并根據(jù)數(shù)量關系解決問題。

例如，在一年級下冊《開會啦（比較意義下的減法）》課上（如圖4-2），個別學生列式7+4=11，已經(jīng)有7把椅子，再添上4把椅子，11把椅子正好夠坐，所以還缺4把椅子；也有學生列式11-4=7，11個人中去掉4個人，就正好夠坐了，說明還缺4把椅子。

這幾名同學都能夠讀懂題目信息，找清題目中的數(shù)量關系：現(xiàn)在有的椅子數(shù)量+還缺的椅子數(shù)量=總人數(shù)，并根據(jù)這個數(shù)量關系進行計算，正確解決了問題。所以，我們應該允許學生用自己的方式表達，不能強迫學生必須列式為11-7=4。另外，列式為7+4=11的學生，他們已經(jīng)有了方程的萌芽。已經(jīng)有7把椅子，再添上幾把椅子，就正好是11把椅子了？7+（）=11，只不過因為數(shù)目比較小，可以直接想出結果罷了。

這樣，教師不強迫學生統(tǒng)一為“規(guī)范”的減法算式，生硬地將這一點代數(shù)思維扼殺在萌芽狀態(tài)，學生就不會到了高年級都“一刀切”地在只會“逆向”算術，不會“順向”方程。

5.綜合運用解決問題，豐富數(shù)量關系。

在學生對數(shù)量關系有了充分的認識，并能借助四則運算解決一些實際問題后，開始學習字母表示數(shù)和認識方程，并嘗試用方程解決實際問題。在后續(xù)的學習中，教師要繼續(xù)在解決問題中發(fā)展學生的關系性思維。

例如，在學習了“平行四邊形的面積”后，如何根據(jù)給出的平行四邊形的面積和高計算圖形的底呢（如圖5-1）？要先找到題目中的等量關系，即計算公式“平行四邊形的面積=底×高”。由于同一個等量關系可以有不同的表達方式，也考慮到除法是乘法的逆運算，推出“底=平行四邊形的面積÷高”。根據(jù)這個關系，學生可以用除法解決問題。學生也可以用字母表示平行四邊形的底，直接根據(jù)計算公式列出方程來解決。

在一些不適合學生逆向思維的問題情境中，我們不建議學生用算術法來解決。例如：在“分數(shù)除法（三）”一課中（如圖5-2），根據(jù)題目中的信息，學生借助畫圖理解題意并尋找到等量關系是“參加活動總人數(shù)×■=跳繩人數(shù)”。我們鼓勵學生順向思維，根據(jù)等量關系用方程解答。

我們發(fā)現(xiàn)，學生對數(shù)量關系的感覺和經(jīng)驗越來越豐富，就能更容易理清數(shù)量關系，解題也就越容易，也就越發(fā)地接近數(shù)學本質。這也是“課標”中只明確提出了小學需要學習的兩個常見的數(shù)量關系“總價=單價×數(shù)量”“路程=速度×時間”的原因。

例如，“相遇問題”中（如圖5-3），數(shù)量關系是一致的：淘氣步行的路程+笑笑步行的路程=淘氣家到笑笑家的路程。還有一個數(shù)量關系，也是小學階段重要的數(shù)學模型：路程=速度×時間。根據(jù)題目中的信息及數(shù)量關系，學生很容易列出方程。這其中，學生不用再去記憶“速度和×相遇時間=路程”“路程÷速度和=相遇時間”等這些所謂的公式了。

事實上，算術法解題與用方程解題這兩種方法，我們不用太過于糾結它們的區(qū)別，更不應該一廂情愿地提醒學生去選擇。我們完全可以從聯(lián)系的視角出發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系是一樣的，只是選擇了不同的形式解題而已。當學生體會列方程解決問題是對算術法解決問題的延伸后，從算術到代數(shù)之間的也就不存在什么“不可逾越的鴻溝”了。

縱觀數(shù)學課程內容體系，可以說，有“數(shù)量”的情境就存在著“數(shù)量關系”，就需要理清“數(shù)量關系”。正是在解決這些問題的過程中，學生豐富著對數(shù)量關系的認識，積累著尋找和理清數(shù)量關系的經(jīng)驗，逐步建立和發(fā)展著關系性思維，從算術到代數(shù)順利過渡，最終實現(xiàn)“學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界”，使發(fā)展小學生數(shù)學核心素養(yǎng)成為現(xiàn)實。

（作者單位：大慶市萬寶學校）

編輯/魏繼軍