溫度作用下砂巖損傷劣化本構(gòu)模型研究

靳寶萍 王孔偉 朱 偉 魏 東

(三峽大學(xué) 三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害教育部重點實驗室， 湖北 宜昌 443002)

巖石的本構(gòu)關(guān)系一直是巖石力學(xué)研究的核心問題，近些年來，國內(nèi)外學(xué)者在巖石損傷理論研究方面取得大量成果．砂巖由多種熱膨脹系數(shù)不同的礦物成分組成，在對溫度變化的響應(yīng)及敏感性上，表現(xiàn)出顯著的差異性，溫度作用下砂巖的損傷劣化將對邊坡穩(wěn)定產(chǎn)生重要影響，故研究巖體在溫度應(yīng)力作用下的孔隙水壓損傷劣化具有重大意義．

目前研究中，曹文貴[1]根據(jù)巖石微元破裂服從正態(tài)分布，建立了反映巖石破裂全過程的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型；鄧華鋒[2]等基于三峽庫區(qū)砂巖浸泡-風(fēng)干循環(huán)試驗，建立了水巖作用下砂巖損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型；劉桃根[3]等在Burgers模型基礎(chǔ)上，應(yīng)用損傷力學(xué)原理，研究了砂巖蠕變損傷模型和參數(shù)識別；胡昕[4]等運(yùn)用統(tǒng)計理論和Lemaitre應(yīng)變等價性假說，推導(dǎo)出了能反應(yīng)含水率影響的紅砂巖損傷統(tǒng)計模型；王偉[5]等基于室內(nèi)試驗結(jié)果與損傷理論，提出考慮流變?nèi)^程的流變損傷本菇模型，進(jìn)行參數(shù)識別．從目前的研究成果可知，現(xiàn)階段考慮溫度作用下的砂巖損傷本構(gòu)關(guān)系研究較少．本文根據(jù)室內(nèi)試驗結(jié)果，基于砂巖試樣微元體強(qiáng)度服從兩參數(shù)的Weibull分布，選取彈性模量作為損傷變量，闡述砂巖在溫度及水壓作用下的變形破壞及損傷演化過程[6]；推導(dǎo)并驗證考慮溫度效應(yīng)和水壓作用的損傷演化方程及損傷本構(gòu)模型．

1 溫度作用下砂巖力學(xué)參數(shù)劣化規(guī)律分析

本文試驗采用TOP INDUSTRIE巖石三軸試驗儀，對飽和砂巖進(jìn)行不同溫度及不同滲透水壓條件下的常規(guī)三軸試驗[7-8]，試樣選自湖北秭歸縣三峽庫區(qū)的砂巖．巖樣試驗條件包括：溫度分為5℃、20℃、40℃、60℃ 4個級別，圍壓分為5 MPa、10 MPa、15 MPa、20 MPa 4個級別，滲透水壓分為0 MPa、0.3 MPa、0.6 MPa、0.9 MPa 4個級別．

根據(jù)各試樣處理后的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分析，發(fā)現(xiàn)在15 MPa圍壓時的曲線最能明顯地反映出砂巖損傷劣化力學(xué)特性的變化規(guī)律，故以下全文均以圍壓15 MPa時試驗結(jié)果為研究對象(見表1)．

表1 部分試驗結(jié)果參數(shù)表

由表1試驗結(jié)果分析可知，砂巖在溫度作用下，峰值應(yīng)變、彈性模量、抗剪強(qiáng)度(C、φ)等參數(shù)均隨溫度的升高而降低，溫度越高降低幅度越大；在某一恒定溫度環(huán)境下，峰值應(yīng)變、彈性模量、抗剪強(qiáng)度(C、φ)等參數(shù)均隨水壓的增大而降低，由此可見，溫度與孔隙水壓兩者的聯(lián)合作用，會加劇巖石的損傷劣化程度．

在5～60℃溫度及0～0.9 MPa孔隙水壓條件下，砂巖試樣的彈性模量呈現(xiàn)出隨溫度、圍壓、水壓的變化而變化，即可假設(shè)彈性模量是溫度、圍壓及水壓的函數(shù)，通過函數(shù)來擬合彈性模量和溫度之間的關(guān)系．砂巖試樣的彈性模量受溫度的影響顯著，故本文選定彈性模量來描述砂巖試樣在損傷狀態(tài)時的變量，將熱損傷值定義為：

(1)

式中，ET表示為溫度T作用時室內(nèi)試驗得出的彈性模量值；E0為初始溫度時巖石的彈性模量．

本文不考慮巖石的初始損傷情況，由于巖石各力學(xué)指標(biāo)在不同溫度作用下呈弱化趨勢，其中5℃時的弱化趨勢最不明顯，故將5℃時的砂巖試樣作為是處于無損傷狀態(tài)(D=0)，即用巖石5℃時的彈性模量作為初始彈性模量E0．

2 考慮溫度及孔隙水壓作用的損傷演化方程

本試驗的砂巖試樣均一性較低，其內(nèi)部分布有大量的初始缺陷(微裂隙、孔洞等)，使得試樣各微觀單元的強(qiáng)度有明顯的差異性和在排列上具有隨機(jī)性，存在較強(qiáng)的離散性，故提出以下假設(shè)：

1)巖石內(nèi)微元體的損傷具有各向同性，基體與損傷體是協(xié)調(diào)變形的且破壞前符合廣義胡克定律；

2)巖石發(fā)生彈性變形前的損傷不發(fā)展，且其損傷是由溫度與孔隙水壓共同作用的；

3)巖石在試驗之前的初始損傷值為0，隨溫度升高和孔隙水壓增加，損傷值逐漸增加；

4)巖石損傷主軸與應(yīng)力主軸、應(yīng)變主軸重合；

5)巖石內(nèi)各微元體的強(qiáng)度服從Weibull分布及統(tǒng)計規(guī)律．

假定砂巖試樣的損傷是由其內(nèi)部微元體的不均勻破壞引起的，設(shè)在某一載荷下已破壞的微元體數(shù)目為Nf，將已破壞的微元體數(shù)目和總微元體數(shù)目N的比值定義為統(tǒng)計損傷變量(D=Nf/N)，即

砂巖內(nèi)部的微觀單元體使用摩爾庫倫破壞準(zhǔn)則來判斷是否發(fā)生破壞，通式為f(σ)-Q=0，其中Q=ccosφ，φ為巖石的內(nèi)摩擦角．當(dāng)f(σ)-Q≥0時，則巖石已屈服或破壞，屈服條件符合摩爾庫倫準(zhǔn)則：

(3)

將式(2)代入式(3)中，可得

(4)

根據(jù)假設(shè)3)，巖石微元體在破壞前會服從廣義胡克定律，則有

(5)

由于本試驗σ2=σ3，將式(5)、(6)代入式(4)中，可得

(7)

砂巖的損傷受孔隙水壓作用的影響，從該試驗結(jié)果中可知孔隙水壓與彈性模量、內(nèi)摩擦角之間的關(guān)系，與姜橋[9]、胡亞運(yùn)[10]由胡克定律得到砂巖孔隙水壓損傷統(tǒng)計本構(gòu)方程中的關(guān)系式(8)相吻合．

(8)

將其代入式(7)，得到砂巖試樣在考慮孔隙水壓時，其彈性模量的損傷演化方程表達(dá)式：

D=1-

其中，E、φ分別指在沒有孔隙水壓(p=0)時試樣的彈性模量、內(nèi)摩擦角．

砂巖的損傷還受到溫度的較大影響，從三軸壓縮試驗結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，砂巖試樣的均勻性、彈性模量、峰值強(qiáng)度之間在溫度變化下存在有某種相似的變化規(guī)律．可將砂巖試樣的均勻性、彈性模量、峰值強(qiáng)度認(rèn)為都與熱損傷值改變有關(guān)．m在Weibull分布中表示形態(tài)參數(shù)(即不均勻系數(shù))，F(xiàn)在Weibull分布中代表巖石的平均強(qiáng)度特征．即

m(T)=(1-DT)m0，F(xiàn)(T)=(1-DT)F0(10)

式中，m0和F0分別表示在溫度5℃時砂巖試件的Weibull參數(shù)．

將式(10)代入式(9)中，得

(11)

將式(1)代入式(11)，整理得到砂巖試樣在考慮溫度效應(yīng)及孔隙水壓時，其彈性模量的損傷演化方程表達(dá)式：

3 溫度作用下砂巖損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型

3.1 砂巖損傷統(tǒng)計本構(gòu)方程

根據(jù)應(yīng)變等效假設(shè)式及連續(xù)損傷理論、巖石內(nèi)部微元體在破壞前服從廣義胡克定律，再結(jié)合本三軸試驗的應(yīng)力條件σ2=σ3進(jìn)行整理變形得

3.2 砂巖損傷本構(gòu)方程參數(shù)的確定

Weibull分布參數(shù)m和F的確定是求解砂巖損傷本構(gòu)模型的關(guān)鍵，一般根據(jù)巖石三軸試驗時的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線來確定．而在砂巖的應(yīng)力-應(yīng)變曲線中，存在有峰值強(qiáng)度點，在此點處的導(dǎo)數(shù)為0(即其斜率為0)，故通過式(13)進(jìn)行對ε1求一次偏導(dǎo)及變形整理可得：

(14)

將砂巖試樣在不同溫度及孔隙水壓作用的試驗中得到的數(shù)據(jù)，如峰值應(yīng)力σ1及對應(yīng)的最大軸向應(yīng)變ε1，以及由這些數(shù)據(jù)求得的E、v、φ等值，代入式(9)、(10)中，并通過曲線擬合的方法，依次求解出損傷本構(gòu)方程中的分布參數(shù)m、F(見表2)．

表2 部分砂巖試樣試驗曲線擬合計算結(jié)果

3.3 損傷本構(gòu)模型的驗證

本文選擇15 MPa圍壓條件下，砂巖在不同溫度及孔隙水壓作用下的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行損傷本構(gòu)模型驗證．參照胡亞運(yùn)[7-8]等對巖石損傷本構(gòu)模型的驗證發(fā)法，對求得的Weibull分布參數(shù)m和F，以及試驗數(shù)據(jù)σ1、σ3、E、p、v、φ、ε1(表2)進(jìn)行整理，得到σ1-ε1的函數(shù)關(guān)系，然后分別繪制出在相應(yīng)試驗條件下理論的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，并與實際的試驗曲線進(jìn)行對比，部分曲線如圖1～2所示．

圖1 5℃條件下砂巖不同水壓時應(yīng)力-應(yīng)變曲線試驗值與模型值對比圖

圖2 60℃條件下砂巖不同水壓時應(yīng)力-應(yīng)變曲線試驗值與模型值對比圖

根據(jù)圖1～2中理論曲線與試驗曲線的對比可得，由本構(gòu)模型計算出的理論應(yīng)力-應(yīng)變曲線與實際的試驗曲線的吻合效果較好，兩者在不同試驗條件下的發(fā)展趨勢大體一致．

Weibull分布參數(shù)中m和F分別反映試樣強(qiáng)度和砂巖應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀，m、F隨溫度的升高、圍壓的增大而減??；參數(shù)m隨水壓的增大而增大，參數(shù)F隨水壓的增大而減?。渲?，參數(shù)F在降低或增大的幅度在降低，表明砂巖試樣的強(qiáng)度在逐漸降低或呈降低趨勢．

4 結(jié) 論

1)通過溫度及水壓作用相關(guān)的損傷弱化理論，假設(shè)砂巖試樣內(nèi)微元體的強(qiáng)度服從Weibull概率分布，選取相應(yīng)的損傷變量來建立了考慮溫度效應(yīng)及孔隙水壓作用的砂巖損傷演化方程．

2)通過Lemaitre提出的應(yīng)變等效假設(shè)，在考慮溫度效應(yīng)及孔隙水壓作用的砂巖損傷演化方程的基礎(chǔ)上，建立了相應(yīng)的砂巖損傷本構(gòu)方程．

3)基于試驗的結(jié)果，由建立的本構(gòu)模型計算出理論砂巖三軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線與實際試驗應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行對比驗證，結(jié)果表明二者在一定溫度下形狀及變化趨勢吻合較好，說明了此本構(gòu)模型有一定的適用性．