基于MGF研究指數(shù)分布與其他分布之間的關(guān)系

朱 芳 汪 慧

（安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部 安徽合肥 230088）

一、引言

指數(shù)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[2]中非常重要的一種分布類(lèi)型，是分析和解決統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題中常用的工具之一,在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究中具有非常重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。近些年來(lái)，很多學(xué)者基于MGF深入研究統(tǒng)計(jì)學(xué)、代數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科，并取得了很多顯著的成果[3][4][5].本文主要基于MGF的定義及性質(zhì)研究指數(shù)分布與其他幾種分布之間的內(nèi)在聯(lián)系，旨在進(jìn)一步介紹概率論中幾種特殊的分布，幫助學(xué)生在課堂之余豐富概率知識(shí)，并了解概率論的博大精深。首先給出MGF的定義及一些重要的性質(zhì)。

其中Px（x）為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)；fx（x）為連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)。

性質(zhì)1.1 設(shè)隨機(jī)變量X,Y的動(dòng)差生成函數(shù)存在,且Z=X+Y,則有：

性質(zhì)1.2 設(shè)隨機(jī)變量Y=a+bX（a,b為任意的常數(shù)),則有：

由MGF定義和性質(zhì)得出指數(shù)分布、泊松分布、Laplace正態(tài)分布和Gamma分布的MGF：

表1 指數(shù)分布、泊松分布、Laplace分布和Gamma分布的MGF

二、指數(shù)分布其他幾種分布之間的關(guān)系

（一）指數(shù)分布與泊松分布。設(shè)隨機(jī)變量X～E（λ），Y～Poisson（λt）,Y 表示某事件在時(shí)間段[0,T]內(nèi)發(fā)生的總次數(shù),令Y為該事件第一次發(fā)生的時(shí)間,則有：

等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：

因此可以看出隨機(jī)變量為指數(shù)分布。

定理2.1 泊松分布在某種情況下可以近似為指數(shù)分布。

（二）指數(shù)分布與Laplace分布。設(shè)隨機(jī)變量X1～E（1），X2-E（1），且隨機(jī)變量 Z=X1-X2，X1，X2，Z,的 MGF 分別記為MX1（t）,MX2（t）,MXz（t）。

結(jié)合表格1知X～E（1）的指數(shù)分布的動(dòng)差生成函數(shù)為：

結(jié)合MGF的性質(zhì)得：

設(shè) Z0～Laplace(0,1),則有：

定理 2.2 當(dāng) X1～E（1），X2～E（1）時(shí),X1-X2.～Laplace(0,1)。

（三）指數(shù)分布與 Gamma分布。設(shè)隨機(jī)變量 X1～E（1）,記隨機(jī)變量，的MGF分別記為,且,

則由MGF的性質(zhì)得：

假設(shè) W～Gamma（n,λ），則可以計(jì)算出：

定理2.3 參數(shù)相同的多個(gè)指數(shù)分布的和即為Gamma分布。

三、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)三個(gè)定理的簡(jiǎn)單證明，可以看出指數(shù)分布與其他三種分布之間的內(nèi)在聯(lián)系，說(shuō)明在特定情況下分布之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.本文主要基于MGF研究指數(shù)分布與泊松分布、Laplace正態(tài)分布及Gamma分布三者之間的關(guān)系，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)課堂知識(shí)之余更加深入的理解幾類(lèi)重要分布，感受概率論的博大精深，為后期統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)多角度的輔助教學(xué)，這樣既可以滿(mǎn)足學(xué)生對(duì)知識(shí)探索的需求，也可以豐富教學(xué)內(nèi)容.