測(cè)金屬線膨脹系數(shù)的2種方法

劉肖一,王文彥,平 澄,b

(北京師范大學(xué) a.物理學(xué)系;b.物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，北京 100875)

線膨脹系數(shù)是金屬的重要物理性質(zhì),金屬由于受熱造成的長(zhǎng)度改變量與原長(zhǎng)度的比值在10-4～10-5量級(jí)，為了測(cè)量線膨脹系數(shù)需要測(cè)量微小位移. 常見(jiàn)的金屬線膨脹系數(shù)的測(cè)量方法主要有光杠桿法[1]、交流電橋法[2]和千分表直接讀數(shù)法[3]. 光杠桿法在操作上較為復(fù)雜，千分表直接讀數(shù)法的誤差較大. 光學(xué)方法-邁克耳孫干涉法[4]，其特點(diǎn)是精度極高，常被用于測(cè)量微小位移；電學(xué)方法-RLC諧振電路法，其特點(diǎn)是通過(guò)測(cè)量電路的諧振頻率，間接得到電路中平板電容極板間距的微小變化. 基于上述想法，分別搭建相關(guān)的實(shí)驗(yàn)裝置，實(shí)現(xiàn)對(duì)線膨脹系數(shù)的測(cè)量.

1 光學(xué)方法測(cè)量金屬線膨脹系數(shù)

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

邁克耳孫干涉儀的光路圖如圖1所示. 當(dāng)平面鏡M2關(guān)于分束鏡BS成的像M2′與平面鏡M1平行時(shí)，在光屏上可以觀察到內(nèi)疏外密的同心圓干涉條紋.每當(dāng)M2′與M1距離改變?chǔ)?2(λ為所用激光波長(zhǎng))時(shí)可以看到1個(gè)條紋的陷入或涌出.

將平面鏡M1與金屬棒相連，金屬棒受熱膨脹會(huì)引起平面鏡的平行移動(dòng)，從而改變兩鏡之間的距離. 記錄下初始時(shí)溫度t0，條紋改變數(shù)為n時(shí)的溫度t，則平面鏡之間距離改變量為

(1)

即金屬棒在溫度升高Δt=t-t0時(shí)的長(zhǎng)度改變量. 根據(jù)線膨脹系數(shù)E的定義有

Δl=lEΔt,

(2)

得出

(3)

其中l(wèi)為金屬棒的原長(zhǎng).以nλ/2為縱坐標(biāo)，lΔt為橫坐標(biāo)作圖，擬合直線的斜率即為線膨脹系數(shù)E.

圖1 邁克耳孫干涉儀光路圖

實(shí)驗(yàn)用半導(dǎo)體激光器波長(zhǎng)λ=650 nm，包裹在加熱膜中的金屬棒26.0 ℃時(shí)長(zhǎng)l=12.00 cm，在光學(xué)平臺(tái)上搭好邁克耳孫干涉儀，如圖1所示，調(diào)出等傾干涉條紋，記錄此時(shí)溫度T0后，對(duì)金屬棒進(jìn)行加熱，每有10個(gè)條紋變化時(shí)記錄1次相應(yīng)的溫度t,記錄多組數(shù)據(jù).

1.2 數(shù)據(jù)分析與結(jié)論

實(shí)驗(yàn)測(cè)定的物理量及相關(guān)計(jì)算如表1所示. 對(duì)表1中nλ/2-lΔt進(jìn)行擬合，得到金屬桿的膨脹系數(shù)為E=2.86×10-5℃.

表1 干涉法溫度變化對(duì)應(yīng)的條紋數(shù)目變化結(jié)果

2 電學(xué)方法測(cè)量金屬線膨脹系數(shù)

利用RLC諧振電路對(duì)金屬棒膨脹系數(shù)進(jìn)行測(cè)量，裝置如圖2所示，電路中的電容用2塊平行鋁板制成，電容極板A固定，另一極板B與待測(cè)金屬棒相連，金屬棒受熱膨脹后將改變電容極板的間距，使得電路中的電容值發(fā)生變化，導(dǎo)致電路的諧振頻率發(fā)生改變，在示波器上用XY模式對(duì)電路中電阻上電壓和電流的相位差進(jìn)行監(jiān)測(cè)，當(dāng)電路發(fā)生諧振時(shí)，相位差為0.

圖2 諧振電路及裝置圖

諧振法可以用2種不同的操作方法間接地得到金屬棒的伸長(zhǎng)，并計(jì)算出金屬的線膨脹系數(shù).

實(shí)驗(yàn)電路的相關(guān)參量：平板電容器尺寸為260 mm×160 mm;金屬棒與干涉法用的是同一根,l=12.00 cm，高頻電感線圈L=0.13 mH，電阻R=100 Ω.

2.1 方法一:諧振頻率補(bǔ)償法

2.1.1 實(shí)驗(yàn)原理

如圖2所示，將平板電容與高頻電感線圈和電阻串聯(lián)置于正弦交流電路中，發(fā)生諧振時(shí)的交流電的頻率滿足

(4)

其中,L為電感器的電感值，C為電容器的電容值.

調(diào)整平行板電容器的極板的初始間距為d0，金屬棒受熱膨脹時(shí)，兩極板距離減小，滿足

d′=d0-Δl,

(5)

由平行板電容器公式

(6)

d減小時(shí)電容增大，由式(4)可知，諧振頻率減小. 由以上各式可推出

(7)

從而有

(8)

由式(4)，(5)，(8)式得

(9)

由式(9)可以計(jì)算出一系列的Δl，以Δl為縱軸，lΔt為橫軸，做線性擬合. 由式(2)可知，直線的斜率即為線膨脹系數(shù)E.

2.1.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

如圖3所示，將平行板電容器的初始距離調(diào)整為d0=1.5 mm，加熱膜接直流電源對(duì)金屬棒進(jìn)行加熱，調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器所輸出的正弦波的頻率，使電路在不同溫度下分別達(dá)到諧振狀態(tài)，記錄多組溫度及其所對(duì)應(yīng)的諧振頻率的值。

圖3 裝置連接實(shí)物圖

2.1.3 數(shù)據(jù)測(cè)量與分析

實(shí)驗(yàn)測(cè)定的各物理量相關(guān)計(jì)算如表2所示，對(duì)Δl-lΔt進(jìn)行線性擬合，金屬桿的膨脹系數(shù)為E=2.85×10-5℃-1.

表2 諧振頻率補(bǔ)償法溫度變化時(shí)各物理量的測(cè)量結(jié)果

注：d0=1.50×10-3m

2.2 方法二：電容極板間距補(bǔ)償法

2.2.1 實(shí)驗(yàn)原理

使諧振頻率不變，改變平板電容器極板間的距離，使得金屬棒在不同溫度下，電路始終處于諧振狀態(tài)，測(cè)量每次改變的電容極板距離l，該距離就是金屬棒受熱膨脹后的伸長(zhǎng)量。

2.2.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

調(diào)整平板電容器極板平行，調(diào)整極板間距使電路諧振頻率在800 kHz左右，加熱膜接直流電源對(duì)金屬棒進(jìn)行加熱，轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋測(cè)微頭，通過(guò)移動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)極板B，使電路的諧振頻率在不同溫度下保持不變，通過(guò)螺旋測(cè)微頭讀出不同溫度t對(duì)應(yīng)極板B移動(dòng)的距離，直接利用式(2)線性擬合，斜率即為金屬棒的膨脹系數(shù)。

2.2.3 數(shù)據(jù)測(cè)量與分析

實(shí)驗(yàn)測(cè)定的各物理量及相關(guān)計(jì)算， 如表3所示，對(duì)Δl-lΔt進(jìn)行線性擬合，得到金屬桿的膨脹系數(shù)為E=2.83×10-5℃-1.

表3 電容極板間距補(bǔ)償法溫度變化時(shí)各物理量的測(cè)量結(jié)果

3 光學(xué)方法與電學(xué)方法的對(duì)比

3種方法測(cè)出的線膨脹系數(shù)之差在10-7℃-1量級(jí)，測(cè)量結(jié)果非常接近.

光學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)是精度高，可以分辨可見(jiàn)光波長(zhǎng)量級(jí)的長(zhǎng)度改變. 但是如果待測(cè)金屬棒密度不均勻，加熱后會(huì)導(dǎo)致圖1中M1與M2′的平行度發(fā)生微小改變，使得看到的干涉條紋中心向視場(chǎng)外移動(dòng)，最終會(huì)導(dǎo)致無(wú)法對(duì)條紋計(jì)數(shù)。

電學(xué)法的精度相比光學(xué)法較低，主要是因?yàn)檠b置的螺旋測(cè)微頭只可以分辨10-5m的長(zhǎng)度改變. 但其優(yōu)勢(shì)是實(shí)驗(yàn)裝置穩(wěn)定，室內(nèi)溫度、濕度、外界輕微干擾等因素對(duì)實(shí)驗(yàn)影響都可以忽略[5]. 另外，電容器自身的溫度升高會(huì)使得品質(zhì)因數(shù)下降，從而導(dǎo)致測(cè)得諧振頻率的輕微下降[6]，從而引入一定誤差.

4 結(jié)束語(yǔ)

材料的線膨脹系數(shù)是材料的熱學(xué)物理性質(zhì)之一，是表征材料性質(zhì)的重要特征量，正確掌握固體線膨脹系數(shù)的規(guī)律性，對(duì)于基礎(chǔ)科學(xué)研究、技術(shù)創(chuàng)新、工程技術(shù)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用等都具有重要意義. 本文對(duì)用光學(xué)和電學(xué)方法測(cè)金屬線脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了詳細(xì)敘述，可為在校大學(xué)生提供利用光的干涉或諧振電路解決實(shí)際問(wèn)題的方法，加深對(duì)相關(guān)物理知識(shí)的理解，這些方法在工程實(shí)踐中也有很有意義[7].

致謝：實(shí)驗(yàn)過(guò)程中獲得北京師范大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心王引書(shū)老師和白在橋老師的幫助，實(shí)驗(yàn)所用高頻電感由北京師范大學(xué)2015級(jí)莫裕宇、刀流云同學(xué)手工繞制,在此表示感謝.