基于改進(jìn)集的集值優(yōu)化問(wèn)題的全局真有效性*

潘銘敏， 仇秋生

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

集值優(yōu)化理論是最優(yōu)化理論與應(yīng)用的主要研究領(lǐng)域之一.隨著最優(yōu)化理論在經(jīng)濟(jì)均衡、決策博弈等領(lǐng)域的發(fā)展,集值優(yōu)化的重要性日益得到體現(xiàn).由于集值優(yōu)化問(wèn)題的有效解(弱有效解)是關(guān)于偏序?yàn)榉橇右饬x下的解,這種解集一般都很大,甚至還包含一些性質(zhì)比較差的解.因此,如何縮小有效解的范圍一直是集值優(yōu)化的重要課題.近年來(lái),人們相繼提出了各種真有效性,主要有Benson真有效性、超有效性和全局真有效性[1]等.值得注意的是,上述真有效性是基于拓?fù)渚€性空間提出的,這一特性在許多實(shí)際問(wèn)題中不一定能得到滿足.因此,將真有效性的概念和性質(zhì)推廣到線性空間具有重要的意義.在線性空間中,文獻(xiàn)[2]提出了弱有效解的概念并利用擇一性定理給出了弱有效解的最優(yōu)性條件;文獻(xiàn)[3]提出了向量閉集的概念,相對(duì)于代數(shù)閉集,向量閉集更加貼近拓?fù)溟]集的性質(zhì);文獻(xiàn)[4]定義了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的Benson真有效解,并給出其標(biāo)量化定理;文獻(xiàn)[5]研究了集值優(yōu)化問(wèn)題的近似Henig真有效性.另一方面,由于集值優(yōu)化模型是各種實(shí)際問(wèn)題中的抽象，對(duì)模型的求解本身就是一種近似的過(guò)程,因此,近似真有效性的研究對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題具有重要的價(jià)值和意義.文獻(xiàn)[6]提出改進(jìn)集的概念并建立了E-有效解,它包含有效解、弱有效解、近似弱有效解等作為特殊情況;文獻(xiàn)[7]將改進(jìn)集從有限維空間推廣到局部凸空間.在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]引入了近似E-次類凸集值映射的概念,并給出E-Benson真有效解的最優(yōu)性條件.改進(jìn)集的特性使得它為集值優(yōu)化問(wèn)題統(tǒng)一解的討論提供了有效的途徑.如何將集值優(yōu)化問(wèn)題的真有效性推廣到更一般的線性空間,并提出統(tǒng)一的全局真有效性,具有理論和實(shí)際意義.

在文獻(xiàn)[3,6-9]的基礎(chǔ)上,本文利用改進(jìn)集和線性空間中的代數(shù)性質(zhì),提出一類更加廣泛并且不需要拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的E-全局真有效性,試圖將一些精確和近似的全局真有效解進(jìn)行統(tǒng)一研究,并且通過(guò)凸集分離定理獲得了集值優(yōu)化問(wèn)題E-全局真有效解的最優(yōu)性條件.

1 預(yù)備知識(shí)

若無(wú)特別申明,以下總設(shè)X,Y,Z是實(shí)序線性空間,Y*,Z*分別表示Y和Z的代數(shù)共軛空間.A是Y中的任一非空子集,0表示每個(gè)空間中的零元.K是Y的非空子集.若?k∈K,λ≥0,有λk∈K,則稱K為錐.K的錐包定義為coneK:=∪{λk:λ≥0,k∈K}.若錐K還是凸集,則稱K為凸錐.若K∩(-K)={0},則稱K為點(diǎn)錐.錐K是非平凡的當(dāng)且僅當(dāng)K≠{0}且K≠Y.

K?Y的對(duì)偶錐K+和嚴(yán)格對(duì)偶錐K+i定義如下:

K+:={y*∈Y*|〈y,y*〉≥0,?y∈K};

K+i:={y*∈Y*|〈y,y*〉>0,?y∈K{0}}.

以下均假設(shè)K為凸錐.

定義1[7]設(shè)E是Y中的非空子集,若0?E且E+K=E,則稱E是關(guān)于錐K的改進(jìn)集,簡(jiǎn)稱E是改進(jìn)集,記Y中所有改進(jìn)集的集合為ζY.

定義2[3]若A是Y中的非空子集,則稱

corA:={a∈A|?y∈Y,?λ′>0,?λ∈[0,λ′],a+λy∈A},

vclA:={a∈A|?y∈Y,?λ′>0,?λ∈(0,λ′],a+λy∈A},

linA:=A∪{x∈Y|?a∈A,[a,x)?A}

分別為A的代數(shù)內(nèi)部、向量閉集和代數(shù)閉集.

注1由定義2可得到以下包含關(guān)系:

1)corA?A; 2)A?linA?vclA.

引理1[10]設(shè)K是Y中代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐.若E∈ζY,則corE=E+corK.

引理2[11]若A是Y中的非空凸集,則對(duì)?x1∈corA,x2∈linA,有[x1,x2)?corA.

命題1設(shè)A是代數(shù)內(nèi)部非空的凸集,則A+=(corA)+.

證明 因?yàn)閏orA?A,所以A+?(corA)+.

下證(corA)+?A+.事實(shí)上,對(duì)?ψ∈(corA)+,有

〈a1,ψ〉≥0, ?a1∈corA.

因?yàn)锳?linA,所以由引理2知,?a2∈A,有[a1,a2)?corA.因此,對(duì)?t∈(0,1],有

ta1+(1-t)a2=a2+t(a1-a2)∈corA.

由于ψ∈(corA)+,所以〈a2+t(a1-a2),ψ〉≥0,?a1∈corA,?a2∈A.當(dāng)t→0+時(shí),〈a2,ψ〉≥0,?a2∈A,即ψ∈A+.因此, (corA)+=A+.命題1證畢.

定義3[9]設(shè)A是Y中的非空子集,F:A→2Y為集值映射,K是Y中的凸錐.若vcl(cone(F(A)+K))在Y中是凸集,則映射F在A上是近似K-次類凸的.

定義4設(shè)A是Y中的非空子集,E∈ζY,F:A→2Y是集值映射.若vcl(cone(F(A)+E))是凸集,則映射F在A上是近似E-次類凸的.

注2當(dāng)corK?E?K時(shí),vcl(cone(F(A)+E))=vcl(cone(F(A)+corK))=vcl(cone(F(A)+K)).此時(shí),線性空間上的近似E-次類凸集值映射就是近似K-次類凸的.但近似E-次類凸映射不一定全是近似K-次類凸映射.

引理3[2]設(shè)K是Y中代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐.若y∈corK,且y*∈K+{0},則〈y,y*〉> 0.

引理4[11]設(shè)A,B是2個(gè)非空凸集,corA≠?,且(corA)∩B=?,則A和B可用超平面分離.

2 E-全局真有效性的代數(shù)性質(zhì)

下面給出實(shí)序線性空間中基于改進(jìn)集的全局真有效點(diǎn)的定義,其次說(shuō)明該定義的合理性,最后討論E-全局有效點(diǎn)與其他真有效點(diǎn)之間的關(guān)系.

首先引入線性空間中的近似和精確全局真有效點(diǎn)的概念.

注3線性空間中集合的全局真有效點(diǎn)也具有平移性質(zhì).

命題2設(shè)A是Y中的非空子集,K?Y為凸錐,則G(A,K)=G(A+K,K).

下證G(A+K,K)?G(A,K).

對(duì)?y′∈G(A+K,K),存在點(diǎn)凸錐D滿足K{0}?corD,使得(A-y′+K)∩(-D{0})=?.由于A?A+K,所以

(A-y′)∩(-D{0})=?.

(1)

假設(shè)y′?A,由y′∈G(A+K,K)?A+K知,存在a∈A,a≠y′,使得y′-a∈K{0}?corD?D{0}.故a-y′∈-D{0},與式(1)矛盾.因此,y′∈A.結(jié)合式(1)知,y′∈G(A,K).從而G(A+K,K)?G(A,K).命題2證畢.

下面給出實(shí)序線性空間中基于改進(jìn)集的全局真效性的定義.

(2)

(3)

已知d∈-corD,則d∈cor(-corD).對(duì)式(3)中的y1,存在λ′>0,?λ∈[0,λ′],有d+λy1∈-corD.因?yàn)棣薾→0+,所以存在充分大的n0∈N,使得λn0∈[0,λ′].因此,

d+λn0y1∈-corD.

(4)

注4線性空間中基于改進(jìn)集的全局真有效性是一個(gè)很廣泛的概念,E-全局真有效性對(duì)一些精確和近似全局真有效性進(jìn)行了統(tǒng)一,例如:

(5)

下面引入E-有效點(diǎn)和E-Benson真有效點(diǎn)的定義,討論E-全局真有效點(diǎn)和它們之間的關(guān)系.

命題4設(shè)E∈ζY,A?Y為非空子集,則

1)G(A,K,E)?E(A,K,E); 2)G(A,K,E)?B(A,K,E).

?.

(6)

注5命題4中1)的逆命題不一定成立,即G(A,K,E)真包含于E(A,K,E).

3 集值優(yōu)化問(wèn)題E-全局真有效解的最優(yōu)性條件

下面給出集值優(yōu)化問(wèn)題E-全局真有效解的概念,其次討論E-全局真有效解的標(biāo)量化特征和Lagrange乘子定理.

設(shè)S?X是非空子集,F:S→2Y和G:S→2Z是2個(gè)集值映射,K和P分別是Y與Z中的凸錐.

考慮如下集值優(yōu)化問(wèn)題:

其中,W={x∈S|G(x)∩(-P)≠?},稱W為(VP)的可行集.

由(VP)誘導(dǎo)的標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題如下:

其中,φ∈Y*{0}.

當(dāng)式(7) 中的r =0 時(shí)，〈d，φ〉≥0，?d∈cor D.因此，φ∈(cor D)+.由命題1知，φ ∈D+{0} .而K {0}?cor D，所以由引理3 知〈k，φ〉> 0，?k∈K {0} ，即φ∈K+i.將式( 7) 中的d 固定，有

注7當(dāng)E=ε+K,ε∈K{0}時(shí),定理2就退化為文獻(xiàn)[9]中的定理4.2.

下面給出線性空間中集值優(yōu)化問(wèn)題的Lagrange乘子定理.設(shè)L(Z,Y)是由空間Z到Y(jié)的所有連續(xù)線性算子組成的集合,記L+(Z,Y)={T∈L(Z,Y)|T(P)?K}.

考慮由(VP)誘導(dǎo)的無(wú)約束集值優(yōu)化問(wèn)題:

其中,T∈L+(Z,Y).

3)H(x)在S上是近似E×P-次類凸的,

?(corK∪{0})(corE).

cone(H(W)+E×P)∩(-cor(D×P))=?.

顯然,cone(H(S)+E×P)∩(-cor(D×P))=?.由命題3可得

vcl(cone(H(S)+E×P))∩(-cor(D×P))=?.

由條件3)知,vcl(cone(H(S)+E×P))在Y×Z上是非空凸集,又cor(D×P)在Y×Z上也是非空凸的,所以由引理4知,存在(y*,z*)∈(Y*,Z*)(0,0),使得?r≥0,x∈S,p1∈P,(y,z)∈F(x)×G(x),(d,p)∈cor(D×P),e∈E,

(9)

下面分3步進(jìn)行證明.

1)證明y*∈K+i.在式(9)中令p1=0,則

(10)

令式(10)中的r=0,有〈d,y*〉+〈p,z*〉≥0,?(d,p)∈cor(D×P).因D和P都是錐,故y*∈(corD)+,z*∈(corP)+.由命題1知,(y*,z*)∈(D×P)+.固定式(10)中的d和p,可得

當(dāng)r→∞時(shí)，有

(11)

下證y*≠0.假設(shè)y*=0,則z*≠0.因此,式(11)可簡(jiǎn)化為

〈z,z*〉≥0, ?x∈S,z∈G(x).

(12)

(13)

因?yàn)?cone(G(S)+P))+=(vcl(cone(G(S)+P)))+,所以z*∈(vcl(cone(G(S)+P)))+=Z+,從而〈z,z*〉≥0,?z∈Z.由于Z是線性空間,?z∈Z,有-z∈Z,所以〈-z,z*〉≥0.進(jìn)一步可得z*=0,這與假設(shè)矛盾.因此,y*≠0,即y*∈D+{0}.由于K{0}?corD,所以〈k,y*〉>0,?k∈K{0}.這表明y*∈K+i.

-〈e,y*〉≤〈z′,z*〉≤0, ?e∈E.

(14)

所以

注8定理3推廣了文獻(xiàn)[12-13]中關(guān)于集值優(yōu)化問(wèn)題全局真有效解的Lagrange乘子定理.

1)當(dāng)E=ε+K,ε∈K{0}時(shí),文獻(xiàn)[13]中的定理3.1就是定理3的特殊情況;

2)當(dāng)Y是局部凸的拓?fù)渚€性空間時(shí),若-int(D×P)是非空的,則近似E×P-次類凸就等價(jià)于ic-E×P-類凸,取E=K{0}時(shí)，定理3就退化為文獻(xiàn)[12]中的定理3.1.

4 結(jié) 語(yǔ)

利用改進(jìn)集,將集值優(yōu)化問(wèn)題的全局真有效解從局部凸的拓?fù)渚€性空間推廣到實(shí)序線性空間.提出集值優(yōu)化問(wèn)題的E-全局真有效性,統(tǒng)一了全局真有效性和近似全局真有效性等概念.通過(guò)凸集分離定理,獲得了線性空間中E-全局真有效解在目標(biāo)函數(shù)為近似E-次類凸下的最優(yōu)性條件.同時(shí),給出了具體的例子,闡述一些概念和結(jié)論之間的關(guān)系.可以看出,線性空間中集值優(yōu)化問(wèn)題的E-全局真有效解具有廣泛性和一般性.