閱讀質(zhì)疑創(chuàng)新
——《圓錐的體積》教學(xué)實(shí)踐與思考

陳繼輝

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版六年級(jí)下冊(cè)第68、69頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、預(yù)習(xí)反饋，質(zhì)疑揣摩

1.交流圓錐體積的推導(dǎo)。

預(yù)習(xí)單

（1）閱讀課本，畫一畫關(guān)鍵信息。

（2）想一想：課本上的圓錐體積公式是怎么來(lái)的？

（3）你還有什么問(wèn)題？

師：課前我們已經(jīng)預(yù)習(xí)了，哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)圓錐的體積是怎么推導(dǎo)的？

生：找一個(gè)等底等高的圓柱，通過(guò)用圓錐往圓柱中倒水正好倒?jié)M三杯的實(shí)驗(yàn)，推導(dǎo)出圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

2.質(zhì)疑揣摩。

師：為什么在研究圓錐體積時(shí)要選擇用圓柱？

生：因?yàn)樵谝呀?jīng)學(xué)過(guò)的圖形中，圓柱與圓錐比較接近，“長(zhǎng)”得有點(diǎn)像。

師：那么圓錐的體積和什么有關(guān)？怎么想到與底和高有關(guān)？

生：我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)撞蛔兏咦兓瘯r(shí)，圓錐體積發(fā)生變化；當(dāng)高不變底在變時(shí)，體積也發(fā)生變化。

師：大家有問(wèn)題想問(wèn)嗎？

生：為什么要選擇等底等高的圓柱呢？

生：控制變量越少，實(shí)驗(yàn)越好操作。其他量不變，只看兩個(gè)變量之間的關(guān)系，便于研究。

師：很好，我們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)要學(xué)會(huì)去質(zhì)疑。長(zhǎng)方形、三角形旋轉(zhuǎn)一周可以得到圓柱和圓錐，猜一猜、估一估圓柱和圓錐之間的體積關(guān)系。

生：旋轉(zhuǎn)得到了圓柱和圓錐，我估計(jì)圓錐的體積沒(méi)有等底等高的圓柱體積的一半大。

3.實(shí)驗(yàn)操作。

教師演示：等底等高的圓柱與圓錐進(jìn)行倒水實(shí)驗(yàn)演示。

師：等底等高的圓柱和圓錐，如果在圓錐中裝滿水，倒到圓柱中一次，圓柱中水的高度與圓柱的高是什么關(guān)系呢？

生：圓柱中水的高度是圓柱高的三分之一。

4.創(chuàng)新提升。

師：還有其他方法推導(dǎo)圓錐的體積公式嗎？

生：我還可以通過(guò)倒沙子的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行推導(dǎo)。

生：我在課外書上見(jiàn)到過(guò)另外的方法，它是通過(guò)測(cè)量得到的。

師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，不能只是接受，還要想想有沒(méi)有其他的方法，要嘗試創(chuàng)新。還有問(wèn)題想問(wèn)嗎？

生：這個(gè)圓錐體積公式以前也是這樣的嗎？

師：這個(gè)問(wèn)題提得真好！以前是不是這樣的呢？現(xiàn)在和以前有沒(méi)有什么不同呢？這就要求我們會(huì)質(zhì)疑，包括質(zhì)疑課本，這樣的思考對(duì)學(xué)習(xí)很重要。

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷自主閱讀學(xué)習(xí)，復(fù)述再現(xiàn)圓錐體積推導(dǎo)過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，感知圓錐體積與圓錐的高和底面積有關(guān)，估計(jì)圓錐體積與等底等高圓柱體積之間的關(guān)系；通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步明確圓錐體積與等底等高圓柱體積的關(guān)系。學(xué)生普遍已知圓錐體積公式及典型推導(dǎo)過(guò)程，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生理解、質(zhì)疑文本知識(shí)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，引發(fā)深度學(xué)習(xí)。】

二、閱讀交流，拓展提升

1.閱讀材料一。

師：我們來(lái)看看，古人是如何來(lái)推導(dǎo)圓錐體積公式的？請(qǐng)大家拿出學(xué)習(xí)單，自主閱讀材料一。

（閱讀要求：重點(diǎn)句畫一畫、關(guān)鍵詞圈一圈、疑問(wèn)處打問(wèn)號(hào)）

我國(guó)古代勞動(dòng)人民早在2000多年前，就會(huì)計(jì)算不同形狀物體的體積?！毒耪滤阈g(shù)》第五章《商功》中就記載了圓錐體積的計(jì)算方法是：“周自相乘，以高乘之，三十六而一”。“周自相乘”就是說(shuō)底面周長(zhǎng)乘以底面周長(zhǎng)。“以高乘之”就是用圓柱的高來(lái)乘以剛才的積，“三十六而一”就是用剛才算出的結(jié)果再除以三十六。換字母來(lái)表示，半徑用字母r表示，高用字母h表示，那么底面周長(zhǎng)就是 2πr?！爸茏韵喑恕本褪?πr×2πr，“以高乘之”就再乘以高，就是 2πr×2πr×h，最后“三十六而一”再除以 36，變成了2πr×2πr×h÷36。運(yùn)用商不變性質(zhì)，依次去除。圓錐體積是r×r×h。這個(gè)是由于當(dāng)時(shí)π的取值為3，沒(méi)有現(xiàn)在計(jì)算得那么精確。

師：有誰(shuí)找出答案了？

生：古時(shí)候是用公式2πr×2πr×h÷36 來(lái)進(jìn)行計(jì)算的。

師：你閱讀很認(rèn)真。老師還看到你用了圈一圈、畫一畫關(guān)鍵詞句的方法，大家覺(jué)得怎么樣？

生：這個(gè)方法真好。以后我們閱讀時(shí)也要學(xué)著這樣圈一圈、畫一畫。

師：古時(shí)候與現(xiàn)在兩種算法，從最終結(jié)果看起來(lái)比較接近。你們還有什么問(wèn)題想問(wèn)嗎？

生：這個(gè)體積公式是怎么來(lái)的？

生：為什么古時(shí)候用底面周長(zhǎng)與高來(lái)算圓錐體積？這樣計(jì)算對(duì)不對(duì)呢？

師：會(huì)去揣摩、質(zhì)疑閱讀內(nèi)容了，給同學(xué)們點(diǎn)贊。

生：可能是古時(shí)候?yàn)榱藵M足生活需要，測(cè)量不夠準(zhǔn)確。

生：因?yàn)橹荛L(zhǎng)與高比較好測(cè)量。

師：是的，以前結(jié)合生活實(shí)物，反復(fù)測(cè)量，取一個(gè)大概的數(shù)量就可以，沒(méi)有精確度的要求。另外，我們要學(xué)會(huì)去質(zhì)疑、揣摩課本上的結(jié)論以及公式推導(dǎo)過(guò)程。

【設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際閱讀的過(guò)程中，教師指導(dǎo)閱讀，反思、點(diǎn)評(píng)閱讀的方法，不僅在于“畫一畫重點(diǎn)，圈一圈關(guān)鍵詞”以提煉信息，本質(zhì)上要經(jīng)歷質(zhì)疑、遷移和改造的思維過(guò)程，從而發(fā)展批判性思維能力。另一方面，拓展學(xué)習(xí)圓錐體積的數(shù)學(xué)文化背景，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

2.閱讀材料二。

師：同學(xué)們，節(jié)假日出去玩嗎？看過(guò)金字塔嗎？

生：看過(guò)，很好玩。

師：請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用剛才閱讀的方法，試著來(lái)閱讀材料二。

埃及金字塔始建于公元前2600年以前，共有70多座，大部分位于開(kāi)羅西南吉薩高原的沙漠中，是世界公認(rèn)的“古代世界七大奇跡”之一。以胡夫金字塔最為出名?，F(xiàn)高137米，塔的4個(gè)斜面正對(duì)東南西北四個(gè)方向。底部四邊幾乎是正北、正南、正東、正西，誤差更少于1度。這般準(zhǔn)確的方位絕不是偶然定出來(lái)的，考古學(xué)家認(rèn)為是建筑師以右框星為指標(biāo)定出來(lái)的。它的塔基呈正方形，每邊長(zhǎng)約230米。

（學(xué)生自主閱讀，圈一圈、畫一畫重點(diǎn)詞句）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，你了解到了哪些信息？

生：我了解到胡夫金字塔的塔基是邊長(zhǎng)為230米的正方形，塔高137米。

（電腦演示胡夫金字塔的數(shù)學(xué)模型）

師：塔基呈正方形是什么意思？高是什么？

生：下底面是正方形，高是底面中心到頂點(diǎn)的距離。

師：有問(wèn)題想提問(wèn)嗎？

生：四棱錐有什么特點(diǎn)？

生：四棱錐的體積怎么求？

師：先看第一個(gè)問(wèn)題。四棱錐有什么特點(diǎn)？

生：四棱錐有一個(gè)頂點(diǎn)，底面是一個(gè)四邊形，材料二中的四邊形比較特殊是個(gè)正方形。

師：第二個(gè)問(wèn)題，你們覺(jué)得怎么計(jì)算四棱錐的體積？

生：底面積乘高除以3。

生：四棱錐的體積公式一定是這樣的嗎？

生：這個(gè)公式是怎么來(lái)的？與圓錐體積公式的推導(dǎo)一樣嗎？

生：我覺(jué)得四棱錐體積公式可能要借助等底等高的長(zhǎng)方體來(lái)推導(dǎo)。

師：你是怎么想到的？

生：因?yàn)樵谕茖?dǎo)圓錐的體積公式時(shí)我們借助了等底等高的圓柱，所以，我覺(jué)得四棱錐可以借助等底等高的長(zhǎng)方體。

師：到底是不是這樣呢？我們可以有什么方法驗(yàn)證？

生：我們可以通過(guò)倒水的方法來(lái)驗(yàn)證。

（教師利用課件動(dòng)畫演示倒水實(shí)驗(yàn)）

師：看來(lái)四棱錐的體積等于底面積乘高除以3，如果下底面變成五邊形呢？它的體積可以怎么算？

生：底面積乘高除以3。

師：有問(wèn)題問(wèn)嗎？

生：八邊形呢？

生：也是底面積乘高除以3。

生：一直變大，n邊形呢？

生：底面積乘高除以3。

師：底面邊數(shù)不斷變大，無(wú)限大，慢慢變成什么了？

生：底面變成了圓，整個(gè)圖形變成了圓錐。

師：日常生活中，哪些地方見(jiàn)到過(guò)四棱錐？

生：螺絲刀口……

【設(shè)計(jì)意圖：拓展、貫通圖形知識(shí)，基于閱讀材料，創(chuàng)設(shè)進(jìn)一步提問(wèn)研究的空間。由圓錐體積計(jì)算與推導(dǎo)，類比推理四棱錐的體積，利于學(xué)生形成聯(lián)系的觀點(diǎn)，發(fā)展類比推理能力。從四棱錐生發(fā)，想象、分析底面是正多邊形直至圓形的錐體體積，從有限到無(wú)限，培養(yǎng)概括創(chuàng)新的能力，發(fā)展空間觀念?！?/p>

三、課堂總結(jié)，回歸整理

師：你有什么收獲？我們是怎么學(xué)習(xí)的？

生：我們以后在預(yù)習(xí)課本的過(guò)程中，需要想一想書上的方法是怎么來(lái)的，為什么用這種方法？

生：我們要學(xué)著質(zhì)疑數(shù)學(xué)課本上的結(jié)論，還要想一想有沒(méi)有別的方法解決問(wèn)題。

師：你們總結(jié)得真好！今天這節(jié)課我們先是用圈一圈、畫一畫等閱讀方法，去揣摩書本編寫意圖，接著質(zhì)疑書本結(jié)論，今后我們也要學(xué)著用這樣的方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)再現(xiàn)知識(shí)，整理、回顧學(xué)習(xí)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生反思、總結(jié)的能力，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。】

【編輯點(diǎn)評(píng)】

《圓錐的體積》一課是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體等立體圖形，掌握了圓柱和圓錐的特征，會(huì)計(jì)算圓柱的表面積、體積的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。以往教學(xué)一般只是引導(dǎo)學(xué)生在倒水實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行公式推導(dǎo)，而本課設(shè)計(jì)不僅關(guān)注公式的由來(lái)，還有意選取了兩則課外閱讀材料作為引導(dǎo)學(xué)生閱讀、質(zhì)疑、拓展研究體積的課題，在相關(guān)的知識(shí)和方法之間有效地架起思考的橋梁，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

材料內(nèi)涵豐富，可從多個(gè)層面解讀。一是知識(shí)層面。閱讀材料一，將古代算法與現(xiàn)代算法作比較，并通過(guò)演算轉(zhuǎn)化，再次強(qiáng)化了基本計(jì)算公式閱讀材料二，從圓錐遷移到棱錐，又從棱錐發(fā)展到圓錐，貫通有限和無(wú)限，實(shí)質(zhì)是生成了對(duì)錐體體積計(jì)算的概括。二是思維層面。閱讀材料一，理解不同算法，拓展學(xué)生思路，培養(yǎng)質(zhì)疑好問(wèn)的習(xí)慣；閱讀材料二，則運(yùn)用了類比推理的方法，實(shí)現(xiàn)計(jì)算知識(shí)和推導(dǎo)方法的遷移。三是學(xué)習(xí)信念層面。閱讀材料一啟示學(xué)生：運(yùn)算公式并不是從天而降、刻板規(guī)定的，可以通過(guò)不同途徑的探索得到，并逐步合理、優(yōu)化、精準(zhǔn)。而閱讀材料二，則有利于學(xué)生形成聯(lián)系的觀點(diǎn)。

同時(shí)，陳老師注重學(xué)習(xí)內(nèi)容與閱讀方法緊密結(jié)合。學(xué)生通過(guò)自主閱讀，經(jīng)歷比較、分析、推理、概括等思維過(guò)程，實(shí)現(xiàn)閱讀理解水平從簡(jiǎn)單復(fù)述到深入概括，關(guān)注的不是文本的傳遞，而是借助文本來(lái)拓寬認(rèn)知背景，引發(fā)對(duì)公式的深層理解，創(chuàng)設(shè)知識(shí)、方法應(yīng)用的新空間，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。