改進(jìn)非線性干擾觀測器的機(jī)械臂自適應(yīng)反演滑?？刂?/h1>
2018-11-23 00:57:48鄒思凡吳國慶茅靖峰朱維南王玉榮
計算機(jī)應(yīng)用 2018年10期
鄒思凡,吳國慶,2,茅靖峰,朱維南,王玉榮,王 健
(1.南通大學(xué) 電氣工程學(xué)院,江蘇 南通 226019; 2.江蘇省風(fēng)能應(yīng)用技術(shù)工程中心,江蘇 南通 226019;3.南通理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南通 226019)(*通信作者電子郵箱wgq@ntu.edu.cn)
0 引言
機(jī)械臂是由關(guān)節(jié)連接起來的一系列連桿構(gòu)成的,具有多個自由度,用以抓取和移動物件的裝置[1]。作為一個復(fù)雜的多輸入多輸出系統(tǒng),機(jī)械臂系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、未建模動態(tài)、時變不確定性、高度非線性等特征。機(jī)械臂在生活醫(yī)療、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工業(yè)需要甚至是航天航空領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景,因此對機(jī)械臂的精確控制得到了高度的重視。機(jī)械臂的控制主要是對它的各關(guān)節(jié)或末端執(zhí)行器的位置進(jìn)行控制,使其能夠以期望的動態(tài)品質(zhì)跟蹤給定的軌跡,即所設(shè)計的控制系統(tǒng)的任務(wù)是軌跡跟蹤控制[2-3]。然而機(jī)械臂控制系統(tǒng)具有一定的復(fù)雜性,容易受到摩擦力和負(fù)載等的干擾,所以傳統(tǒng)的PID(Proportion Integration Differentiation)控制方法難以滿足準(zhǔn)確快速穩(wěn)定的控制要求。
相比之下,滑?？刂?Slide Mode Control,SMC)其實(shí)是一種特殊的非線性控制,其表現(xiàn)為控制的間斷性?；？刂瓶梢允瓜到y(tǒng)隨著當(dāng)前的狀態(tài)有目的地改變,從而使得系統(tǒng)能夠根據(jù)預(yù)定的軌跡實(shí)現(xiàn)期望的軌跡運(yùn)動。因此在機(jī)械臂軌跡控制系統(tǒng)中,應(yīng)用滑?？刂坡墒鞘中兄行У摹５莻鹘y(tǒng)滑?？刂坡纱嬖谝欢ǖ娜毕菪?即在開關(guān)來回切換時存在慣性,使得運(yùn)動軌跡穿梭于滑模面兩側(cè),無法嚴(yán)格地從滑面滑向平衡點(diǎn),從而引起系統(tǒng)抖振,控制精度較低[4-5]。
國內(nèi)外近年來,基于干擾觀測器的控制(Disturbance Observer Based Control,DOBC)與不同控制策略相集成的復(fù)合抗干擾策略相繼成為熱點(diǎn),Guo等[6]對此進(jìn)行了詳細(xì)介紹,尤其針對多源干擾系統(tǒng)提出一系列復(fù)合分層抗干擾控制(Composite Hierarchical Anti-disturbance Control,CHADC)策略,促使一類帶有多源干擾系統(tǒng)的精細(xì)抗干擾問題得到很好的處理。文獻(xiàn)[7]中給出了一類具有不確定非線性項(xiàng)和未知外源干擾的多輸入多輸出系統(tǒng),應(yīng)用DOBC 和終端滑模控制(Terminal Sliding Mode,TSM)相結(jié)合的控制策略,實(shí)現(xiàn)抗干擾的目的。文獻(xiàn)[8]中針對帶有外源干擾的嚴(yán)格反饋系統(tǒng),將DOBC與反演(Backstepping)控制相結(jié)合,最后實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)為半全局一致最終有界的目標(biāo)。
本文設(shè)計了一種改進(jìn)非線性干擾觀測器的自適應(yīng)反演滑?？刂品椒ǎ菏紫仍O(shè)計干擾觀測器進(jìn)行在線測試,在滑?？刂坡芍屑尤敫蓴_估計值對干擾進(jìn)行補(bǔ)償；然后選擇合適的設(shè)計參數(shù),使觀測誤差指數(shù)型收斂；再引入反演自適應(yīng)控制律,進(jìn)一步改善控制系統(tǒng)的跟蹤性能；提高了機(jī)械臂系統(tǒng)的響應(yīng)速度并改善了控制精度[10]。
1 空間二自由度機(jī)械臂數(shù)學(xué)建模
根據(jù)拉格朗日方法,建立空間二自由度機(jī)械臂的動力學(xué)方程:
(1)
式(1)描述的機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)特性[10]如下:
特性2 慣性矩陣J(θ)是對稱、有界正定矩陣。
(2)
2 控制器設(shè)計
圖1 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig.1 System control structure
2.1 改進(jìn)的非線性干擾觀測器設(shè)計
干擾觀測器的基本思想是將干擾項(xiàng)及模型參數(shù)變化造成的實(shí)際系統(tǒng)與重構(gòu)模型之差作為控制輸入端,并將估計出的干擾值作為補(bǔ)償信號反饋以達(dá)到抑制干擾的作用,消除干擾項(xiàng)對系統(tǒng)的影響,使系統(tǒng)對干擾表現(xiàn)出強(qiáng)魯棒性的作用。
改進(jìn)前非線性干擾觀測器設(shè)計為:
(3)
(4)
并且還需要滿足:
(5)
為了克服觀測器的不足,本文根據(jù)機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型,采用如下形式的非線性觀測器[12]:
(6)
L(θ)=X-1J-1(θ)
(7)
(8)
(9)
通常情況下,沒有干擾d的微分先驗(yàn)知識,假設(shè)相對于觀測器的動態(tài)特性,干擾的變化是緩慢的,即
(10)
定義李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)為:
(11)
其中:J(θ)=J(θ)T>0。于是
(12)
根據(jù)觀測器式(4),推導(dǎo)可得:
(13)
因而可得觀測誤差方程為:
(14)
從而得到:
(15)
(16)
于是
(17)
構(gòu)造不等式
(18)
其中:Γ>0為對稱正定陣。則存在?！?有
(19)
其中:?！?0。
可見,選取合適的Γ,可以使觀測器的誤差指數(shù)趨于零。
非線性干擾觀測器的輸出送給增益調(diào)整模塊,由式(1)可知增益調(diào)整矩陣為單位陣,則
(20)
通過對線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的求解,可以求得Y的值,進(jìn)而得到所需的X值。由不等式(18)可見,式中含有非線性項(xiàng),必須轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式才能求解。令Y=X-1,將YT=(X-1)T和Y=X-1分別乘以式(11)的左右兩邊,得
(21)
即
YT+Y-YTΓY≥ζI
(22)
即
YT+Y-ζI-YTΓY≥0
根據(jù)Schur補(bǔ)定理:假設(shè)C為正定矩陣,則A-BC-1BT≥0等價為:
則式(22)等價為:
(23)
2.2 反演滑?？刂破髟O(shè)計
滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)是指存在一個(或幾個)切換函數(shù),當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)達(dá)到切換函數(shù)值時,系統(tǒng)從一個結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成另一個結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),也就是在控制過程中,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(或稱為模型)可發(fā)生變化的系統(tǒng)。如圖2 所示。該方法的缺點(diǎn)在于當(dāng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面后,難于嚴(yán)格地沿著滑模面向著平衡點(diǎn)滑動,而是在滑模面兩側(cè)來回穿越,從而產(chǎn)生顫動,即抖振問題。
圖2 實(shí)際滑動模態(tài)Fig. 2 Actual sliding mode
現(xiàn)設(shè)計滑?？刂破?采用反演(Backstepping)方案并選用式(35)的滑模切換函數(shù)。采用干擾觀測器后,式(1)所述機(jī)械臂系統(tǒng)可以寫成:
(24)
結(jié)合式(24)可知,采用干擾觀測器后,本文采用的二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)中,干擾d變成了D,總干擾減小,因此原機(jī)械臂系統(tǒng)可以改寫成:
(25)
設(shè)θd為機(jī)械臂給定指令輸入,θ為實(shí)際輸出。現(xiàn)采用Backstepping方案[14]滑?？刂破?使輸出θ跟蹤指令輸入θd。具體步驟包括兩個步驟。
1)定義跟蹤誤差：
z1=θ-θd
(26)
則求導(dǎo)可得：
(27)
定義虛擬控制量：
α1=c1z1
(28)
其中:c1∈Rn×n為對稱正定常值矩陣。
(29)
求導(dǎo)得：
(30)
由式(24)和式(29)可得：
(31)
定義反演控制算法下的Lyapunov函數(shù)V1：
(32)
則求導(dǎo)可得：
(33)
2)定義反演滑?？刂扑惴ㄏ碌腖yapunov函數(shù)V2：
(34)
定義滑模切換函數(shù)：
s=k1z1+z2
(35)
其中:k1∈Rn×n位對稱正定常值矩陣。
對式(35)求導(dǎo)可得：
(36)
對式(34)求導(dǎo)可得：
z1Tz2-z1Tc1z1+sT[k1(z2-c1z1) +
(37)
2.3 自適應(yīng)律設(shè)計
在實(shí)際應(yīng)用中,機(jī)械臂系統(tǒng)的外部擾動信號D包括很多復(fù)雜的因素,通常情況下難以預(yù)知D的上界值，因此,在設(shè)計控制器時,要注意避開D的上界值。本文在前面反演滑?？刂破髟O(shè)計的基礎(chǔ)上,引入自適應(yīng)算法,將外部擾動信號D中無法觀測的部分預(yù)估出來。
(38)
定義自適應(yīng)反演滑模控制算法下的Lyapunov函數(shù)V3：
(39)
其中:γ為正常數(shù)。對式(39)求導(dǎo)得：
z1Tz2-z1Tc1z1+sT[k1(z2-c1z1)+
(40)
根據(jù)式(40),設(shè)計機(jī)械臂的控制律：
τBS=τeq+τvss
(41)
(42)
τvss=-βJhsgn(s)
(43)
其中:τeq位等效控制;τvss為切換控制;h∈Rn×n為對稱正定常值矩陣;β為正常數(shù);sgn(s)為切換函數(shù)。
自適應(yīng)律?。?/p>
(44)
2.4 穩(wěn)定性分析
定義改進(jìn)非線性干擾觀測的自適應(yīng)反演滑?？刂扑惴ㄏ碌腖yapunov函數(shù)V4：
(45)
求導(dǎo)可得：
(46)
將式(14)、式(39)～(43)代入式(45)得：
(47)
參考文獻(xiàn)[14]的方法,取:
(48)
適當(dāng)取值,使P為正定陣,并令z=[z1z2]T,則有
zTPz=z1Tc1z1-z1Tz2+sThs
(49)
則式(46)以改寫成：
(50)
式(50)保證跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂為零,使得系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性理論條件,z1和z2以指數(shù)形式漸近穩(wěn)定,從而保證系統(tǒng)具有全局意義下指數(shù)的漸近穩(wěn)定性,從而實(shí)現(xiàn)了空間二自由度機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。
3 仿真模型及實(shí)例
以二自由度機(jī)械臂為例,將式(1)中機(jī)械臂動力學(xué)模型的各參數(shù)表示為：
為了對比控制性能,對滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行仿真,控制器設(shè)計為：
圖3～4分別為傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ê捅疚乃每刂扑惴☉?yīng)用在二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤時的仿真曲線。根據(jù)圖3～4仿真實(shí)驗(yàn),記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并作數(shù)據(jù)分析,可以得到表1對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析。
圖3 傳統(tǒng)滑?？刂坡煞抡媲€Fig. 3 Simulation curve of traditional sliding mode control law
表1 算法改進(jìn)前后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Tab. 1 Comparison of experimental data before and after algorithm improvement
表1為傳統(tǒng)滑模算法與本文所用控制算法應(yīng)用在機(jī)械臂仿真實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)對比。由表1可知,滑模控制算法下,機(jī)械臂的關(guān)節(jié)1、2位置調(diào)節(jié)時間分別為3.2 s、2.9 s,而本文所用控制算法下,機(jī)械臂的關(guān)節(jié)1、2位置調(diào)節(jié)時間分別為0.4 s、0.3 s;同理,改進(jìn)前后,關(guān)節(jié)1、2速度跟蹤的調(diào)節(jié)時間分別為3.7 s、3.8 s,0.5 s、0.4 s。因此,這兩種方法雖然都可以實(shí)現(xiàn)跟蹤控制,但是傳統(tǒng)的滑?？刂品椒o法在短時間內(nèi)快速逼近系統(tǒng)不確定項(xiàng),而本文所用控制算法解決了這一問題,大幅提高了機(jī)械臂軌跡跟蹤時的響應(yīng)速度。
圖4 本文控制律仿真曲線Fig. 4 Simulation curve of proposed control law
此外,傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ǖ牟蛔阍谟诋?dāng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面后,由于式(43)切換函數(shù)等控制項(xiàng)的不連續(xù)性,使得系統(tǒng)難以嚴(yán)格地沿著滑模面向著平衡點(diǎn)滑動,而是在滑模面兩側(cè)來回穿越,從而產(chǎn)生顫動,即抖振問題。因此控制輸入曲線中含有大量高頻信號,控制輸入出現(xiàn)嚴(yán)重的抖振,關(guān)節(jié)1、2的控制輸入在抖振幅值分別在±0.38、±0.17的范圍內(nèi)高頻振蕩。在實(shí)際系統(tǒng)尤其是機(jī)電系統(tǒng)中,抖振的存在可能會降低系統(tǒng)的精度、增加系統(tǒng)的能耗,甚至損壞系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而本文所用的控制算法下,關(guān)節(jié)1、2的控制輸入抖振幅值分別為±0.03、±0.02,所以此時控制輸入作用連續(xù)、平滑。
因此,本文所用的控制方法既可以較快地跟蹤期望軌跡,又可以較好地處理系統(tǒng)慣性參數(shù)不確定與外部擾動對空間機(jī)械臂系統(tǒng)的影響。
4 結(jié)語
本文將滑模反演自適應(yīng)控制方法與非線性干擾觀測器結(jié)合起來,提出了一種新型的改進(jìn)非線性干擾觀測器的機(jī)械臂自適應(yīng)反演滑?？刂品椒āａ槍鹘y(tǒng)的滑?？刂扑惴ê透蓴_觀測器,本文進(jìn)行了改進(jìn),有效削弱了控制輸入的抖振,避免了測量加速度項(xiàng),并且使動力學(xué)方程中的正定慣性矩陣不再受到形式限制,擴(kuò)大了觀測器在其他類模型的應(yīng)用。通過Matlab/Simulink仿真驗(yàn)證了該方法是行之有效的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提出的控制方法比傳統(tǒng)滑?？刂品椒ň哂懈玫膭討B(tài)特性,既提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,又極大地削弱了系統(tǒng)的抖振,具有良好的控制性能。
猜你喜歡
基于組合滑?？刂频慕^對重力儀兩級主動減振設(shè)計中國慣性技術(shù)學(xué)報(2019年6期)2019-03-04 09:50:06 測控技術(shù)(2018年4期)2018-11-25 09:47:26 并網(wǎng)逆變器逆系統(tǒng)自學(xué)習(xí)滑模抗擾控制測控技術(shù)(2018年3期)2018-11-25 09:45:40 基于ARM+FPGA的模塊化同步控制算法研究制造技術(shù)與機(jī)床(2017年6期)2018-01-19 02:41:07 基于觀測器的列車網(wǎng)絡(luò)控制鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(2015年5期)2015-12-24 12:12:08 基于非線性未知輸入觀測器的航天器故障診斷深空探測學(xué)報(2015年3期)2015-12-07 11:15:06 一種優(yōu)化的基于ARM Cortex-M3電池組均衡控制算法應(yīng)用電源技術(shù)(2015年9期)2015-06-05 09:36:06 基于干擾觀測器的PI控制單相逆變器電測與儀表(2015年19期)2015-04-09 11:32:56 采用干擾觀測器PI控制的單相SPWM逆變電源電測與儀表(2014年11期)2014-04-04 09:21:36 一種非圓旋轉(zhuǎn)工件支撐裝置控制算法組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)(2014年12期)2014-03-01 02:22:54
鄒思凡,吳國慶,2,茅靖峰,朱維南,王玉榮,王 健
(1.南通大學(xué) 電氣工程學(xué)院,江蘇 南通 226019; 2.江蘇省風(fēng)能應(yīng)用技術(shù)工程中心,江蘇 南通 226019;3.南通理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南通 226019)(*通信作者電子郵箱wgq@ntu.edu.cn)
0 引言
機(jī)械臂是由關(guān)節(jié)連接起來的一系列連桿構(gòu)成的,具有多個自由度,用以抓取和移動物件的裝置[1]。作為一個復(fù)雜的多輸入多輸出系統(tǒng),機(jī)械臂系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、未建模動態(tài)、時變不確定性、高度非線性等特征。機(jī)械臂在生活醫(yī)療、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工業(yè)需要甚至是航天航空領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景,因此對機(jī)械臂的精確控制得到了高度的重視。機(jī)械臂的控制主要是對它的各關(guān)節(jié)或末端執(zhí)行器的位置進(jìn)行控制,使其能夠以期望的動態(tài)品質(zhì)跟蹤給定的軌跡,即所設(shè)計的控制系統(tǒng)的任務(wù)是軌跡跟蹤控制[2-3]。然而機(jī)械臂控制系統(tǒng)具有一定的復(fù)雜性,容易受到摩擦力和負(fù)載等的干擾,所以傳統(tǒng)的PID(Proportion Integration Differentiation)控制方法難以滿足準(zhǔn)確快速穩(wěn)定的控制要求。
相比之下,滑?？刂?Slide Mode Control,SMC)其實(shí)是一種特殊的非線性控制,其表現(xiàn)為控制的間斷性?；？刂瓶梢允瓜到y(tǒng)隨著當(dāng)前的狀態(tài)有目的地改變,從而使得系統(tǒng)能夠根據(jù)預(yù)定的軌跡實(shí)現(xiàn)期望的軌跡運(yùn)動。因此在機(jī)械臂軌跡控制系統(tǒng)中,應(yīng)用滑?？刂坡墒鞘中兄行У摹５莻鹘y(tǒng)滑?？刂坡纱嬖谝欢ǖ娜毕菪?即在開關(guān)來回切換時存在慣性,使得運(yùn)動軌跡穿梭于滑模面兩側(cè),無法嚴(yán)格地從滑面滑向平衡點(diǎn),從而引起系統(tǒng)抖振,控制精度較低[4-5]。
國內(nèi)外近年來,基于干擾觀測器的控制(Disturbance Observer Based Control,DOBC)與不同控制策略相集成的復(fù)合抗干擾策略相繼成為熱點(diǎn),Guo等[6]對此進(jìn)行了詳細(xì)介紹,尤其針對多源干擾系統(tǒng)提出一系列復(fù)合分層抗干擾控制(Composite Hierarchical Anti-disturbance Control,CHADC)策略,促使一類帶有多源干擾系統(tǒng)的精細(xì)抗干擾問題得到很好的處理。文獻(xiàn)[7]中給出了一類具有不確定非線性項(xiàng)和未知外源干擾的多輸入多輸出系統(tǒng),應(yīng)用DOBC 和終端滑模控制(Terminal Sliding Mode,TSM)相結(jié)合的控制策略,實(shí)現(xiàn)抗干擾的目的。文獻(xiàn)[8]中針對帶有外源干擾的嚴(yán)格反饋系統(tǒng),將DOBC與反演(Backstepping)控制相結(jié)合,最后實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)為半全局一致最終有界的目標(biāo)。
本文設(shè)計了一種改進(jìn)非線性干擾觀測器的自適應(yīng)反演滑?？刂品椒ǎ菏紫仍O(shè)計干擾觀測器進(jìn)行在線測試,在滑?？刂坡芍屑尤敫蓴_估計值對干擾進(jìn)行補(bǔ)償；然后選擇合適的設(shè)計參數(shù),使觀測誤差指數(shù)型收斂；再引入反演自適應(yīng)控制律,進(jìn)一步改善控制系統(tǒng)的跟蹤性能；提高了機(jī)械臂系統(tǒng)的響應(yīng)速度并改善了控制精度[10]。
1 空間二自由度機(jī)械臂數(shù)學(xué)建模
根據(jù)拉格朗日方法,建立空間二自由度機(jī)械臂的動力學(xué)方程:
(1)
式(1)描述的機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)特性[10]如下:
特性2 慣性矩陣J(θ)是對稱、有界正定矩陣。
(2)
2 控制器設(shè)計
圖1 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig.1 System control structure
2.1 改進(jìn)的非線性干擾觀測器設(shè)計
干擾觀測器的基本思想是將干擾項(xiàng)及模型參數(shù)變化造成的實(shí)際系統(tǒng)與重構(gòu)模型之差作為控制輸入端,并將估計出的干擾值作為補(bǔ)償信號反饋以達(dá)到抑制干擾的作用,消除干擾項(xiàng)對系統(tǒng)的影響,使系統(tǒng)對干擾表現(xiàn)出強(qiáng)魯棒性的作用。
改進(jìn)前非線性干擾觀測器設(shè)計為:
(3)
(4)
并且還需要滿足:
(5)
為了克服觀測器的不足,本文根據(jù)機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型,采用如下形式的非線性觀測器[12]:
(6)
L(θ)=X-1J-1(θ)
(7)
(8)
(9)
通常情況下,沒有干擾d的微分先驗(yàn)知識,假設(shè)相對于觀測器的動態(tài)特性,干擾的變化是緩慢的,即
(10)
定義李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)為:
(11)
其中:J(θ)=J(θ)T>0。于是
(12)
根據(jù)觀測器式(4),推導(dǎo)可得:
(13)
因而可得觀測誤差方程為:
(14)
從而得到:
(15)
(16)
于是
(17)
構(gòu)造不等式
(18)
其中:Γ>0為對稱正定陣。則存在?！?有
(19)
其中:?！?0。
可見,選取合適的Γ,可以使觀測器的誤差指數(shù)趨于零。
非線性干擾觀測器的輸出送給增益調(diào)整模塊,由式(1)可知增益調(diào)整矩陣為單位陣,則
(20)
通過對線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的求解,可以求得Y的值,進(jìn)而得到所需的X值。由不等式(18)可見,式中含有非線性項(xiàng),必須轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式才能求解。令Y=X-1,將YT=(X-1)T和Y=X-1分別乘以式(11)的左右兩邊,得
(21)
即
YT+Y-YTΓY≥ζI
(22)
即
YT+Y-ζI-YTΓY≥0
根據(jù)Schur補(bǔ)定理:假設(shè)C為正定矩陣,則A-BC-1BT≥0等價為:
則式(22)等價為:
(23)
2.2 反演滑?？刂破髟O(shè)計
滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)是指存在一個(或幾個)切換函數(shù),當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)達(dá)到切換函數(shù)值時,系統(tǒng)從一個結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成另一個結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),也就是在控制過程中,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(或稱為模型)可發(fā)生變化的系統(tǒng)。如圖2 所示。該方法的缺點(diǎn)在于當(dāng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面后,難于嚴(yán)格地沿著滑模面向著平衡點(diǎn)滑動,而是在滑模面兩側(cè)來回穿越,從而產(chǎn)生顫動,即抖振問題。
圖2 實(shí)際滑動模態(tài)Fig. 2 Actual sliding mode
現(xiàn)設(shè)計滑?？刂破?采用反演(Backstepping)方案并選用式(35)的滑模切換函數(shù)。采用干擾觀測器后,式(1)所述機(jī)械臂系統(tǒng)可以寫成:
(24)
結(jié)合式(24)可知,采用干擾觀測器后,本文采用的二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)中,干擾d變成了D,總干擾減小,因此原機(jī)械臂系統(tǒng)可以改寫成:
(25)
設(shè)θd為機(jī)械臂給定指令輸入,θ為實(shí)際輸出。現(xiàn)采用Backstepping方案[14]滑?？刂破?使輸出θ跟蹤指令輸入θd。具體步驟包括兩個步驟。
1)定義跟蹤誤差：
z1=θ-θd
(26)
則求導(dǎo)可得：
(27)
定義虛擬控制量：
α1=c1z1
(28)
其中:c1∈Rn×n為對稱正定常值矩陣。
(29)
求導(dǎo)得：
(30)
由式(24)和式(29)可得：
(31)
定義反演控制算法下的Lyapunov函數(shù)V1：
(32)
則求導(dǎo)可得：
(33)
2)定義反演滑?？刂扑惴ㄏ碌腖yapunov函數(shù)V2：
(34)
定義滑模切換函數(shù)：
s=k1z1+z2
(35)
其中:k1∈Rn×n位對稱正定常值矩陣。
對式(35)求導(dǎo)可得：
(36)
對式(34)求導(dǎo)可得：
z1Tz2-z1Tc1z1+sT[k1(z2-c1z1) +
(37)
2.3 自適應(yīng)律設(shè)計
在實(shí)際應(yīng)用中,機(jī)械臂系統(tǒng)的外部擾動信號D包括很多復(fù)雜的因素,通常情況下難以預(yù)知D的上界值，因此,在設(shè)計控制器時,要注意避開D的上界值。本文在前面反演滑?？刂破髟O(shè)計的基礎(chǔ)上,引入自適應(yīng)算法,將外部擾動信號D中無法觀測的部分預(yù)估出來。
(38)
定義自適應(yīng)反演滑模控制算法下的Lyapunov函數(shù)V3：
(39)
其中:γ為正常數(shù)。對式(39)求導(dǎo)得：
z1Tz2-z1Tc1z1+sT[k1(z2-c1z1)+
(40)
根據(jù)式(40),設(shè)計機(jī)械臂的控制律：
τBS=τeq+τvss
(41)
(42)
τvss=-βJhsgn(s)
(43)
其中:τeq位等效控制;τvss為切換控制;h∈Rn×n為對稱正定常值矩陣;β為正常數(shù);sgn(s)為切換函數(shù)。
自適應(yīng)律?。?/p>
(44)
2.4 穩(wěn)定性分析
定義改進(jìn)非線性干擾觀測的自適應(yīng)反演滑?？刂扑惴ㄏ碌腖yapunov函數(shù)V4：
(45)
求導(dǎo)可得：
(46)
將式(14)、式(39)～(43)代入式(45)得：
(47)
參考文獻(xiàn)[14]的方法,取:
(48)
適當(dāng)取值,使P為正定陣,并令z=[z1z2]T,則有
zTPz=z1Tc1z1-z1Tz2+sThs
(49)
則式(46)以改寫成：
(50)
式(50)保證跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂為零,使得系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性理論條件,z1和z2以指數(shù)形式漸近穩(wěn)定,從而保證系統(tǒng)具有全局意義下指數(shù)的漸近穩(wěn)定性,從而實(shí)現(xiàn)了空間二自由度機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。
3 仿真模型及實(shí)例
以二自由度機(jī)械臂為例,將式(1)中機(jī)械臂動力學(xué)模型的各參數(shù)表示為：
為了對比控制性能,對滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行仿真,控制器設(shè)計為：
圖3～4分別為傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ê捅疚乃每刂扑惴☉?yīng)用在二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤時的仿真曲線。根據(jù)圖3～4仿真實(shí)驗(yàn),記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并作數(shù)據(jù)分析,可以得到表1對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析。
圖3 傳統(tǒng)滑?？刂坡煞抡媲€Fig. 3 Simulation curve of traditional sliding mode control law
表1 算法改進(jìn)前后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Tab. 1 Comparison of experimental data before and after algorithm improvement
表1為傳統(tǒng)滑模算法與本文所用控制算法應(yīng)用在機(jī)械臂仿真實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)對比。由表1可知,滑模控制算法下,機(jī)械臂的關(guān)節(jié)1、2位置調(diào)節(jié)時間分別為3.2 s、2.9 s,而本文所用控制算法下,機(jī)械臂的關(guān)節(jié)1、2位置調(diào)節(jié)時間分別為0.4 s、0.3 s;同理,改進(jìn)前后,關(guān)節(jié)1、2速度跟蹤的調(diào)節(jié)時間分別為3.7 s、3.8 s,0.5 s、0.4 s。因此,這兩種方法雖然都可以實(shí)現(xiàn)跟蹤控制,但是傳統(tǒng)的滑?？刂品椒o法在短時間內(nèi)快速逼近系統(tǒng)不確定項(xiàng),而本文所用控制算法解決了這一問題,大幅提高了機(jī)械臂軌跡跟蹤時的響應(yīng)速度。
圖4 本文控制律仿真曲線Fig. 4 Simulation curve of proposed control law
此外,傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ǖ牟蛔阍谟诋?dāng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面后,由于式(43)切換函數(shù)等控制項(xiàng)的不連續(xù)性,使得系統(tǒng)難以嚴(yán)格地沿著滑模面向著平衡點(diǎn)滑動,而是在滑模面兩側(cè)來回穿越,從而產(chǎn)生顫動,即抖振問題。因此控制輸入曲線中含有大量高頻信號,控制輸入出現(xiàn)嚴(yán)重的抖振,關(guān)節(jié)1、2的控制輸入在抖振幅值分別在±0.38、±0.17的范圍內(nèi)高頻振蕩。在實(shí)際系統(tǒng)尤其是機(jī)電系統(tǒng)中,抖振的存在可能會降低系統(tǒng)的精度、增加系統(tǒng)的能耗,甚至損壞系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而本文所用的控制算法下,關(guān)節(jié)1、2的控制輸入抖振幅值分別為±0.03、±0.02,所以此時控制輸入作用連續(xù)、平滑。
因此,本文所用的控制方法既可以較快地跟蹤期望軌跡,又可以較好地處理系統(tǒng)慣性參數(shù)不確定與外部擾動對空間機(jī)械臂系統(tǒng)的影響。
4 結(jié)語
本文將滑模反演自適應(yīng)控制方法與非線性干擾觀測器結(jié)合起來,提出了一種新型的改進(jìn)非線性干擾觀測器的機(jī)械臂自適應(yīng)反演滑?？刂品椒āａ槍鹘y(tǒng)的滑?？刂扑惴ê透蓴_觀測器,本文進(jìn)行了改進(jìn),有效削弱了控制輸入的抖振,避免了測量加速度項(xiàng),并且使動力學(xué)方程中的正定慣性矩陣不再受到形式限制,擴(kuò)大了觀測器在其他類模型的應(yīng)用。通過Matlab/Simulink仿真驗(yàn)證了該方法是行之有效的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提出的控制方法比傳統(tǒng)滑?？刂品椒ň哂懈玫膭討B(tài)特性,既提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,又極大地削弱了系統(tǒng)的抖振,具有良好的控制性能。
猜你喜歡
中國慣性技術(shù)學(xué)報(2019年6期)2019-03-04 09:50:06
測控技術(shù)(2018年3期)2018-11-25 09:45:40
制造技術(shù)與機(jī)床(2017年6期)2018-01-19 02:41:07
鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(2015年5期)2015-12-24 12:12:08
深空探測學(xué)報(2015年3期)2015-12-07 11:15:06
電源技術(shù)(2015年9期)2015-06-05 09:36:06
電測與儀表(2015年19期)2015-04-09 11:32:56
電測與儀表(2014年11期)2014-04-04 09:21:36
組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)(2014年12期)2014-03-01 02:22:54
