Lagrange多項(xiàng)式插值及其應(yīng)用

江楚萌

摘 要：本文圍繞Lagrange多項(xiàng)式插值進(jìn)行論述，介紹了Lagrange插值方法的原理，給出了Lagrange插值在高中數(shù)學(xué)知識(shí)解題中的一些有趣應(yīng)用，并結(jié)合MATLAB算法對(duì)某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的實(shí)例進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式；Lagrange插值；MATLAB算法

中圖分類號(hào)：O174.42 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）20-0253-02

1 引言與預(yù)備知識(shí)

不論在數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)值計(jì)算中，還是在工程領(lǐng)域的生產(chǎn)實(shí)踐中，許多問(wèn)題都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解，給不出精確的表達(dá)式，或者函數(shù)的表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜不利于計(jì)算；如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值；這時(shí)我們就需要構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的近似函數(shù)，數(shù)學(xué)上稱這種方法為插值[1-2]。插值法作為數(shù)值微分、函數(shù)逼近及微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)，在當(dāng)今社會(huì)越來(lái)越受學(xué)者們的關(guān)注[3-4]。尤其是隨著計(jì)算機(jī)的普及，很多研究工作者將插值法與MATLAB等軟件結(jié)合，使得插值法在超大規(guī)模數(shù)值計(jì)算中得到了更廣泛的應(yīng)用。

插值問(wèn)題概述：設(shè)函數(shù)在區(qū)間有個(gè)不同點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，在函數(shù)類中尋找一函數(shù)作為的近似表達(dá)式，使?jié)M足：

這時(shí)稱為被插值函數(shù)，稱為插值函數(shù)，稱為插值點(diǎn)，簡(jiǎn)稱節(jié)點(diǎn)，稱為插值區(qū)間。尋找插值函數(shù)的方法稱為插值方法。

常用的插值方法有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值和三次樣條插值等。本文主要圍繞Lagrange插值進(jìn)行論述，從Lagrange插值原理的特點(diǎn)出發(fā)，給出了該方法在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中有趣的一些應(yīng)用，并結(jié)合MATLAB算法對(duì)某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的實(shí)例進(jìn)行了研究。

2 Lagrange插值公式

插值函數(shù)的構(gòu)造，會(huì)因選擇函數(shù)類的不同，相應(yīng)地會(huì)采用不同的插值方法。由于多項(xiàng)式函數(shù)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等一些良好的特征，譬如多項(xiàng)式是無(wú)窮光滑的，其導(dǎo)數(shù)及積分較容易計(jì)算。故本文圍繞多項(xiàng)式插值進(jìn)行論述，多項(xiàng)式插值的基本問(wèn)題是：求一個(gè)至多次的多項(xiàng)式：

使其在給定點(diǎn)處與同值，即滿足插值條件：

稱為插值多項(xiàng)式，并且有如下定理成立：

定理：當(dāng)個(gè)節(jié)點(diǎn)不同時(shí)，插值多項(xiàng)式存在且唯一。

從幾何上看，次多項(xiàng)式插值就是過(guò)個(gè)點(diǎn) ，作一條多項(xiàng)式曲線近似曲線（圖1所示）。

如何構(gòu)造上述的插值多項(xiàng)式呢？法國(guó)天才數(shù)學(xué)家J.-L.Lagrange創(chuàng)造性地發(fā)明了一種方便而實(shí)用的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。該方法是先通過(guò)構(gòu)造一組基函數(shù)：

其中是次多項(xiàng)式，滿足，然后定義如下的次多項(xiàng)式：

這樣的多項(xiàng)式滿足，稱為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式。

3 舉例應(yīng)用

求過(guò)某些點(diǎn)的函數(shù)：

例1：求一個(gè)二次函數(shù)，使其在處與函數(shù)取相同的值。

解1：由于 ，取，應(yīng)用Lagrange插值公式，有：

注：用待定系數(shù)法同樣可以求出函數(shù)的表達(dá)式，但必須求解相應(yīng)的線性方程組。一般地，若尋求一個(gè)次函數(shù)，則需求解一個(gè)元線性方程組，計(jì)算麻煩且易出錯(cuò)。

求函數(shù)在某點(diǎn)取值范圍：

例2：已知函數(shù)滿足：

，試判斷的取值范圍。

解2：取，應(yīng)用Lagrange插值公式，有：

利用已知條件，我們有，故 。

求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式：

例3：求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。

解3：取，應(yīng)用Lagrange插值公式，有：

注：任何一個(gè)有窮數(shù)列都有一個(gè)通項(xiàng)公式，并且通項(xiàng)可不唯一，例如：若給定，應(yīng)用Lagrange插值公式，我們可以得到一個(gè)通項(xiàng) ；同時(shí)注意到他們?yōu)橹撵巢瞧鯏?shù)列（通項(xiàng)為：）的前4項(xiàng)，這些通項(xiàng)公式均為原數(shù)列的通項(xiàng)公式。

通常工程和數(shù)學(xué)計(jì)算中，已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)會(huì)非常多，此時(shí)Lagrange插值公式將很難手動(dòng)計(jì)算。為實(shí)現(xiàn)對(duì)高維數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值計(jì)算，可以在計(jì)算機(jī)MATLAB軟件中編寫(xiě)一個(gè)M文件得到Lagrange插值公式的精確表達(dá)式和Lagrange插值算法子程序。設(shè)個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)用數(shù)組輸出，數(shù)組分別表示插值點(diǎn)和插值，分別編寫(xiě)名為lagrange.m和lagrange1.m的M文件實(shí)現(xiàn)Lagrange插值。

例4：表1為某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在某時(shí)刻t（min）與對(duì)應(yīng)測(cè)量值y：

那么在t=7min和t=10.5min時(shí)刻對(duì)應(yīng)的測(cè)量值分別是多少？

解4：調(diào)用MATLAB中編寫(xiě)的M文件，得到Lagrange插值公式為：

t=7min和t=10.5min時(shí)刻計(jì)算結(jié)果為：

Lagrange插值對(duì)應(yīng)的曲線圖2所示：

4 結(jié)語(yǔ)

本文從Lagrange插值原理的特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)給出了一些相關(guān)應(yīng)用，并結(jié)合MATLAB算法對(duì)某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的實(shí)例進(jìn)行了分析。同時(shí)我們注意到，Lagrange插值原理有很多推廣，比如重心Lagrange插值法等。尋找Lagrange插值方法及其推廣的更多實(shí)際應(yīng)用，是我們進(jìn)一步研究的工作。

參考文獻(xiàn)

[1]張韻華，奚梅成，陳效群.數(shù)值計(jì)算方法與算法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[2]李慶揚(yáng)，王超能，易大義.數(shù)值分析（第五版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]唐旭清.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[4]林昌華，楊巖.拉格朗日插值法在工程設(shè)計(jì)及CAD中的應(yīng)用[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，（12）：34-37.