基于非凸稀疏模型的優(yōu)化算法在金融投資組合中的應(yīng)用

李 蒙

(渭南師范學(xué)院網(wǎng)絡(luò)安全與信息化學(xué)院，陜西渭南714099)

1 Markowitz投資組合理論

1.1 Markowitz投資組合理論及其現(xiàn)狀

1952年，Markowitz提出的投資組合理論［1］奠定了現(xiàn)代金融學(xué)的基礎(chǔ)，該理論認(rèn)為分散投資、進(jìn)行投資資產(chǎn)的多樣化可以有效降低市場(chǎng)的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。該理論包含兩個(gè)重要內(nèi)容:均值—方差分析方法和投資組合有效邊界理論。Markowitz經(jīng)過(guò)大量觀察和分析得出:假定在相同回報(bào)率的兩個(gè)資產(chǎn)之間進(jìn)行選擇的話，理性投資者都會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)小的資產(chǎn)。這也表明投資者在追求高回報(bào)的同時(shí)要承擔(dān)高風(fēng)險(xiǎn)。因此，出于回避風(fēng)險(xiǎn)的考慮，投資者一般會(huì)持有多樣化的投資組合。Markowitz從對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的定量分析出發(fā)，系統(tǒng)地研究了投資組合的特性，從數(shù)學(xué)上解釋了投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的行為，并提出了投資組合優(yōu)化方法。

實(shí)際上，人們進(jìn)行投資，是在不確定性的收益和風(fēng)險(xiǎn)之間選擇博弈。投資組合理論用均值—方差來(lái)刻畫(huà)這兩個(gè)關(guān)鍵因素。所謂均值，指投資組合的期望收益率，它是單只證券的期望收益率的加權(quán)平均，權(quán)重為對(duì)應(yīng)的投資比例。所謂方差，指投資組合的收益率的方差。我們把收益率的標(biāo)準(zhǔn)差稱為波動(dòng)率，它刻畫(huà)了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。

投資組合理論研究的核心問(wèn)題是確定人們?cè)谕顿Y決策中如何權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)。如果將一個(gè)投資組合在一個(gè)以波動(dòng)率為橫坐標(biāo)、收益率為縱坐標(biāo)的二維平面中描繪出來(lái)，將形成一個(gè)點(diǎn)。而對(duì)于所有的有效投資組合，在上述坐標(biāo)平面中將形成一條連續(xù)的凹曲線，稱之為投資組合的有效邊緣。投資組合的有效邊緣一經(jīng)確定，就可以在這條有效邊緣上確定效用最大的投資組合了。在波動(dòng)率—收益率二維平面上，任意一個(gè)投資組合要么落在有效邊緣上，要么落在有效邊緣下。因此，有效邊緣包含了全部最優(yōu)投資組合，理性投資者只需在有效邊緣上選擇投資組合。

Markowitz提出投資組合理論后，產(chǎn)生了諸多的投資組合新發(fā)展:多期的投資組合，在不同風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度下的投資組合，基于交易費(fèi)用和流動(dòng)性的投資組合，基于非效用最大化的投資組合理論等等。在投資組合理論的發(fā)展歷史中，以Sharpe的工作最為突出，其于1964年發(fā)表論文開(kāi)辟了投資組合的另一途徑，通過(guò)引入描述證券收益的單因子模型從而大大簡(jiǎn)化了Markowitz理論的模式，為實(shí)際投資過(guò)程中成功運(yùn)用Markowitz理論提供了便利。然而該理論并不完善，隨后Cox、Ingersoll和Ross等人提出了多因子模型，我們稱之為套利定價(jià)模型。Fama于1965年從理論和經(jīng)驗(yàn)兩方面出發(fā)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)資本市場(chǎng)證券價(jià)格作了深入研究，提出了有效市場(chǎng)理論。隨后的投資組合發(fā)展均是以上述一些理論為基礎(chǔ)。在我國(guó)對(duì)投資組合的研究最早可以追溯到20世紀(jì)90年代，當(dāng)然也涌現(xiàn)出很多有價(jià)值的文獻(xiàn)。

1.2 Markowitz模型解釋

投資組合理論研究的是在最大化預(yù)期收益和最小化投資風(fēng)險(xiǎn)的前提下如何分配一個(gè)投資者的可用資產(chǎn)到預(yù)設(shè)的資產(chǎn)集中。我們用n表示可用資產(chǎn)的數(shù)目，用μ表示資產(chǎn)的預(yù)期收益向量，Q是一個(gè)對(duì)稱半正定矩陣，Q中的元素qij表示資產(chǎn)i和j的收益方差。通常情況下，向量μ和矩陣Q都是不知道的，但是可以通過(guò)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)。

假定每一份資產(chǎn)都是可用的，而且可以進(jìn)行完全投資。令向量x∈Rn為決策變量，x中的每一個(gè)元xi是向資產(chǎn)i的投資份額，i=1，2，···，n。因?yàn)榭捎觅Y本可以完全用來(lái)投資，而且不允許賣空，向量x滿足約束條件eTx=1，x≥0。其中e是一個(gè)全1的列向量，μTx度量投資的預(yù)期收益，xTQx度量投資風(fēng)險(xiǎn)。經(jīng)典的Markowitz投資組合模型是需要同時(shí)考慮兩個(gè)目標(biāo):收益最大化和風(fēng)險(xiǎn)最小化。

經(jīng)典的Markowitz投資組合模型中，這個(gè)雙目標(biāo)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，即在預(yù)期收益給定的條件下，最小化投資風(fēng)險(xiǎn)。一般的，這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題可以描述為凸二次規(guī)劃問(wèn)題:

這是一個(gè)凸二次規(guī)劃問(wèn)題。

給定參數(shù)β的值，β是投資的預(yù)期收益，問(wèn)題(1)具有唯一的最優(yōu)解:

上述凸二次規(guī)劃模型主要的問(wèn)題在于:資產(chǎn)的均值和協(xié)方差是通過(guò)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)得來(lái)的，不具備充分的準(zhǔn)確性。事實(shí)上，收益的均值是很難進(jìn)行估計(jì)的，這種現(xiàn)象被稱為均值模糊。此外，均值方差模型對(duì)輸入?yún)?shù)的分布非常敏感，這樣會(huì)放大估計(jì)誤差，導(dǎo)致極限投資，樣本外測(cè)試結(jié)果差。后來(lái)又提出了一些改進(jìn)的Markowitz模型，得到穩(wěn)健的投資。在文獻(xiàn)Combining invest views with market equilibrium中均值和方差的估計(jì)用的是貝葉斯估計(jì)。后來(lái)，為了使投資的優(yōu)化進(jìn)程更加多樣化，模型中又加入了額外的投資約束，針對(duì)最小化風(fēng)險(xiǎn)的投資分配，提出了James－Steiner估計(jì)，接著又有了穩(wěn)健估計(jì)。為了降低交易費(fèi)用，減少投資管理的復(fù)雜程度，提出了一類重要的投資組合問(wèn)題，這類問(wèn)題通過(guò)限制資本的投資數(shù)量來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目的。加入這一約束，模型轉(zhuǎn)化為求解稀疏的投資組合問(wèn)題，補(bǔ)救了傳統(tǒng)的投資組合模型的高度不穩(wěn)定性。

特別地，通過(guò)對(duì)問(wèn)題(1)加入控制資產(chǎn)數(shù)目的約束條件對(duì)Markowitz模型進(jìn)行修改。這類問(wèn)題被稱為基數(shù)約束的投資組合問(wèn)題:

其中:‖x‖0是x的零范數(shù)，表示向量x中的非零元的個(gè)數(shù);參數(shù)K是投資項(xiàng)目個(gè)數(shù)的上限。

總之，現(xiàn)代投資組合問(wèn)題主要包含以下3個(gè)目標(biāo)函數(shù):

(1)最小化投資風(fēng)險(xiǎn)xTQx，即min xTQx;

(2)最大化投資預(yù)期收益μTx，即max μTx;

(3)最小化所選投資項(xiàng)目數(shù) ‖x‖0，即min‖x‖0。

上述基數(shù)約束的投資組合問(wèn)題(3)中對(duì)于投資項(xiàng)目數(shù)量的限制可以轉(zhuǎn)化為將參數(shù)K控制為一個(gè)充分小的值，即得到本文主要研究稀疏投資組合問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型:

其中:μ為各資產(chǎn)收益率，Q為各資產(chǎn)方差協(xié)方差矩陣，α為投資者可接受風(fēng)險(xiǎn)上限，β為投資者期望收益率。事實(shí)上，這是一個(gè)NP－h(huán)ard問(wèn)題。

2 罰函數(shù)分解法

本文主要考慮稀疏近似問(wèn)題，一般的l0最小化問(wèn)題都伴隨著l0范數(shù)是目標(biāo)函數(shù)或約束條件的一部分。2013年，Lu等［2］針對(duì)這一問(wèn)題提出罰函數(shù)分解法(Penalty Decomposition)，該算法可以有效求解此類問(wèn)題。

首先給出這類問(wèn)題的一階最優(yōu)性條件，然后介紹解決這類問(wèn)題的罰函數(shù)分解算法，即將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列罰函數(shù)子問(wèn)題，通過(guò)分塊協(xié)同下降法求解罰函數(shù)子問(wèn)題，從而得到原問(wèn)題的解。理論證明，在合理的假設(shè)下，通過(guò)罰函數(shù)分解法所得序列的收斂點(diǎn)滿足一階最優(yōu)性條件。此外，原問(wèn)題中l(wèi)0是惟一的非凸項(xiàng)，經(jīng)證明該收斂點(diǎn)是局部極小點(diǎn)且可以證明通過(guò)分塊協(xié)同下降法產(chǎn)生的序列的收斂點(diǎn)是罰函數(shù)子問(wèn)題的鞍點(diǎn)。因?yàn)閘0是唯一的非凸項(xiàng)，所以該收斂點(diǎn)是罰函數(shù)子問(wèn)題的局部極小點(diǎn)。

現(xiàn)如今，稀疏問(wèn)題應(yīng)用十分廣泛。例如，在壓縮傳感中，大的稀疏信號(hào)可以通過(guò)相對(duì)小數(shù)量的線性度量進(jìn)行編碼，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一組線性等式組或線性不等式組。相似的方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于線性回歸領(lǐng)域。近年來(lái)，稀疏逆協(xié)方差選擇成為發(fā)現(xiàn)圖像模型中條件獨(dú)立項(xiàng)的重要工具。目前比較主流的方法是在最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)的同時(shí)，尋找近似的稀疏逆協(xié)方差矩陣。同樣，聚類問(wèn)題中處理特征選取問(wèn)題時(shí)提出了一個(gè)很有前景的稀疏Logistic回歸方法，即在最小化平均Logistic損失的同時(shí)尋求稀疏解。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的方法，以上所有的應(yīng)用都可以表述為下面的l0最小化問(wèn)題:

其中:r＞0，υ＞0，通過(guò)調(diào)整r、υ的大小來(lái)控制問(wèn)題的稀疏程度，X是n維歐氏空間Rn的閉凸集，f:Rn→R，g:Rn→Rm，h:Rn→Rp都是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，‖xJ‖0指x中被指標(biāo)集J標(biāo)注的子向量的基數(shù)。針對(duì)這類問(wèn)題的特殊情況提出了一些算法。例如，迭代閾值方法和匹配追蹤方法都是為了解決壓縮傳感中出現(xiàn)的l0正則化最小二乘問(wèn)題發(fā)展起來(lái)的，但是它們不能用來(lái)處理一般的l0最小化問(wèn)題(5)和(6)。處理問(wèn)題(5)和(6)的一個(gè)流行的方法是用l1－norm‖·‖1替換 ‖·‖0，然后求解這個(gè)松弛問(wèn)題。在諸如壓縮傳感應(yīng)用方面，在一些合理的假設(shè)下，這個(gè)方法可以用來(lái)求解問(wèn)題(5)和(6)。近年來(lái)，又提出了另外一些松弛方法，即用lp替換l0。一般地，對(duì)于這些方法的解的性質(zhì)不是很明確。2014年，Lu［3］針對(duì)帶上下界約束的L0正則化問(wèn)題

提出Hard閾值算法如下:

本文中我們用罰分解方法求解問(wèn)題(5)和(6)，即通過(guò)分塊協(xié)同下降法求解一系列罰函數(shù)子問(wèn)題。在一些合理的假設(shè)下，通過(guò)罰分解方法產(chǎn)生的序列的收斂點(diǎn)滿足問(wèn)題(5)和(6)一階最優(yōu)性條件。另外，當(dāng)h是仿射函數(shù)，f和g是凸函數(shù)時(shí)，該收斂點(diǎn)是問(wèn)題(5)和(6)的局部最小點(diǎn)。同時(shí)證明了通過(guò)分塊協(xié)同下降法產(chǎn)生的序列的極限點(diǎn)是罰函數(shù)子問(wèn)題的鞍點(diǎn)。另外，當(dāng)h是仿射函數(shù)，f和g是凸函數(shù)時(shí)，該收斂點(diǎn)是罰函數(shù)子問(wèn)題的局部最小點(diǎn)。

2.1 問(wèn)題(5)的罰函數(shù)分解法

經(jīng)分析，問(wèn)題(5)可以等價(jià)的表述為:

與之相關(guān)的二次罰函數(shù)定義如下:

其中:罰參數(shù)ρ＞0。

現(xiàn)在提出解決問(wèn)題(9)的罰函數(shù)分解法，可以等價(jià)的處理問(wèn)題(5)。每一個(gè)罰函數(shù)子問(wèn)題通過(guò)分塊協(xié)同下降法近似地解決。

(1)令l=0，通過(guò)步驟(a)(b)(c)(d)應(yīng)用分塊協(xié)同下降法求解罰函數(shù)子問(wèn)題

的近似解。

轉(zhuǎn)向(2)，

(d)令 l← l+1，轉(zhuǎn)向(a);

(2)令 ρk+1:= σρk;

(4)令 k←k+1，轉(zhuǎn)向(1)。

2.2 問(wèn)題(6)的罰函數(shù)分解法

經(jīng)分析，問(wèn)題(6)可以等價(jià)的表述為:

與之相關(guān)的二次罰函數(shù)定義如下:

其中:罰參數(shù)ρ＞0。

現(xiàn)在提出解決問(wèn)題(15)的罰函數(shù)分解法，可以等價(jià)的處理問(wèn)題(6)。每一個(gè)罰函數(shù)子問(wèn)題通過(guò)分塊協(xié)同下降法近似地解決。

令 εk{ }為正項(xiàng)遞減序列，對(duì)于給定的ρ0＞0，σ＞1，q0定義如(11)。選取任意的∈Y，常數(shù)γ滿

(1)令l=0，通過(guò)步驟(a)(b)(c)(d)描述的分塊協(xié)同下降法求解罰函數(shù)子問(wèn)題

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及算法比較

這一部分主要是通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)測(cè)試我們前面介紹的罰函數(shù)分解法，將其應(yīng)用于稀疏投資組合模型(4)中，并將結(jié)果與遺傳算法運(yùn)行結(jié)果相比較。

選取滬深300指數(shù)中的10個(gè)成分股(蘇寧電器、上港集團(tuán)、寶鋼股份、中國(guó)石化、中信證券、招商銀行、中國(guó)聯(lián)通、上海汽車、貴州茅臺(tái)、中國(guó)平安)從2009年1月5日至2009年6月4日100個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)(單位:元)，數(shù)據(jù)來(lái)源于新浪財(cái)經(jīng)數(shù)據(jù)中心。分別通過(guò)罰函數(shù)分解法和遺傳算法計(jì)算投資者在這10個(gè)成分股中的最優(yōu)資產(chǎn)配置比例。

3.1 罰函數(shù)分解法

目標(biāo)函數(shù)

與之相關(guān)的二次罰函數(shù)定義如下:

其中:罰參數(shù)ρ＞0。

運(yùn)用罰函數(shù)分解法求解結(jié)果為:x=［0 0 0 0 0 0 0 0.6732 0.3268 0］。

結(jié)果解釋:將用于投資總資產(chǎn)的67%買(mǎi)入上海汽車股票，33%買(mǎi)入貴州茅臺(tái)股票。

3.2 遺傳算法

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)［4］是借鑒生物界自然選擇和群體進(jìn)化機(jī)制形成的一種全局尋優(yōu)算法。應(yīng)用遺傳算法求解優(yōu)化問(wèn)題［5］時(shí)，首先將解空間的設(shè)計(jì)變量轉(zhuǎn)換為遺傳算法中的基因型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，形成遺傳算法中的染色體;然后通過(guò)選擇、重組、變異模擬生物在自然界中的遺傳過(guò)程，得到新一代群體;不斷迭代，直到新一代群體滿足要求，即可得到問(wèn)題的解。將遺傳算法應(yīng)用于稀疏投資組合模型(4)中，在與上述實(shí)驗(yàn)同樣的數(shù)據(jù)下，計(jì)算投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置比例。

運(yùn)用遺傳算法工具箱［6］進(jìn)行求解，參數(shù)設(shè)定如圖1所示，結(jié)果為:

圖1 遺傳算法工具箱求解界面

遺傳算法的收斂解與罰函數(shù)分解法得到的結(jié)果一致，因此，罰函數(shù)分解法可以用來(lái)處理投資組合問(wèn)題，且效果較好。

4 結(jié)論

稀疏問(wèn)題已經(jīng)遍布各個(gè)領(lǐng)域，比如投資組合、指數(shù)追蹤、壓縮傳感、醫(yī)學(xué)光源重建等，而對(duì)于稀疏問(wèn)題的求解一直是NP難問(wèn)題。因此，罰函數(shù)分解算法的提出有效地解決了這一問(wèn)題，該算法對(duì)不同領(lǐng)域的稀疏問(wèn)題有廣泛的適用性，同時(shí)算法的收斂性保證了求解結(jié)果的有效參考價(jià)值。