張紅,馮馳
摘 要:換元積分法是不定積分教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。文中詳細(xì)討論和總結(jié)了換元積分法的常用解題技巧,并實(shí)例分析。
關(guān)鍵詞:湊微分;拆微分
換元積分法(Integration By Substitution)是求積分的一種方法,主要通過(guò)引進(jìn)中間變量作變量替換使原式簡(jiǎn)易,從而來(lái)求較復(fù)雜的不定積分。它是由鏈?zhǔn)椒▌t和微積分基本定理推導(dǎo)而來(lái)的。
1 第一類換元法——湊微分法
Th1 若∫f(x)dx=F(x)+c,?準(zhǔn)(x)連續(xù)可導(dǎo),則
∫f(?準(zhǔn)(x))?準(zhǔn)'(x)dx=F(?準(zhǔn)(x))+c。
常見微分湊法:
湊法1 f(ax+b)dx=■f(ax+b)d(ax+b)
湊法2 xk-1f(xk)dx=■f(xk)d(xk)
湊法3 f(sin x)cos xdx=f(sin x)dsin x
f(cos x)sin xdx=-f(sin x)dsin x
f(tgx)sec2 xdx=f(tgx)dtgx
f(ctgx)csc2 xdx=-f(ctgx)dctgx
湊法4 exf(ex)dx=f(ex)dex
湊法5 f(ln x)■=f(ln x)d ln x
湊法6
2 第二類換元法——拆微法
Th2 設(shè)x=?準(zhǔn)(t)是單調(diào)的可微函數(shù),并且?準(zhǔn)(t)≠0,又f(?準(zhǔn)(t))?準(zhǔn)'(t)具有原函數(shù),則有換元公式
常用代換有所謂無(wú)理代換,三角代換,雙曲代換,倒代換,萬(wàn)能代換,Euler代換等。我們著重介紹三角代換和無(wú)理代換。
2.1 三角代換
(1)正弦代換: 正弦代換簡(jiǎn)稱為“弦換”。是針對(duì)型如■(a>0)的根式施行的,目的是去掉根號(hào)。方法:令x=asint,(a>0),■=acost,dx=a costdt,t=arcsin■。
(2)正切代換:正切代換簡(jiǎn)稱為“切換”。是針對(duì)型如■(a>0)的根式施行的,目的是去掉根號(hào)。方法是:利用三角公式sec2t-tg2t=1即tg2t+1=sec2t令x=atgt,(a>0),■=asect,t=arctg■,dx=a sec2tdt,變量變換時(shí),常用輔助三角形法。
(3)正割代換:正割代換簡(jiǎn)稱為“割換”。是針對(duì)型如■(a>0)的根式施行的,目的是去掉根號(hào)。方法是:利用三角公式sec2t-tg2t=1令x=asect,(a>0),■=atgt,dx=asect·tgtdt。變量變換時(shí),常用輔助三角形法。
2.2 無(wú)理代換
若被積函數(shù)是■,■…■ 的有理式時(shí),設(shè)n為ni(l?燮ni?燮k)的最小公倍數(shù),作代換x=tn,dx=ntn-1dt,t=■,可化被積函數(shù)為t的有理函數(shù)。
若被積函數(shù)中只有一種根式■或■可試作代換t=■或t=■。從中解出x來(lái)。
2.3 雙曲代換:利用雙曲函數(shù)恒等式ch2x-sh2x=1,令x=asht,可去掉型如■的根。dx=achtdt?;?jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式,如:
2.4 倒代換:當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù),且分子分母均為“因式”時(shí),可試用倒代換x=■,dx=■dt。
2.5 萬(wàn)能代換:萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分令t=tg■,就有
3 例題
采用總結(jié)的解題技巧對(duì)下面例題給予解答。
(1)解:設(shè)x=■sec t并限制0 則 本題同時(shí)采用湊微分和拆微分,較為靈活地解決了不定積分問題。 4 小結(jié) 換元積分法是數(shù)學(xué)分析中求積分的重要方法。要求牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)(或湊微分)的原則,并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)(或湊微分),熟練地應(yīng)用換元積分公式,從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。 參考文獻(xiàn) [1] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法究(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2006. [2]陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析第二版[M].北京:高等教育出版社,2004.5. [3]翟連林,姚正安.數(shù)學(xué)分析方法論[M].北京:北京農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社,1992. [4]龔冬保.高等數(shù)學(xué)典型題解法、技巧、注釋[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2000.