圓錐曲線中的奧秘

馬超

圓錐曲線是到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡。當(dāng)e>1時(shí)，為雙曲線的1支；當(dāng)e=1時(shí)，為拋物線；當(dāng)0

我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽系其他行星也是如此，太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。希望了解更多圓錐曲線的知識(shí)，中國(guó)科技館“探索與發(fā)現(xiàn)”B廳的“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”會(huì)讓你在互動(dòng)體驗(yàn)中收獲更多。

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”由3件展品組成，分別展示橢圓、雙曲線和拋物線的光學(xué)性質(zhì)（圖1）。使參與者可以在對(duì)比中了解不同圓錐曲線的特性。

橢圓的光學(xué)性質(zhì)

展品由展臺(tái)、橢圓形外框、彈片和目標(biāo)塊等組成（圖2）。參與者參與時(shí)，將彈片放置在紅色圓點(diǎn)位置，這一位置為橢圓外框的焦點(diǎn)位置。參與者可以用手指將彈片朝任意方向彈出，隨后會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，無論朝向哪里彈出彈片，彈片經(jīng)過橢圓外框反射后，均會(huì)擊中處在橢圓另一焦點(diǎn)位置的目標(biāo)塊，甚至可以做到百發(fā)百中。這是為什么呢？

原來，橢圓具有這樣一個(gè)光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都會(huì)匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。這就容易理解參與者是如何做到百發(fā)百中了。我們將彈片想象成光線中的一個(gè)光子，沿著從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)位置發(fā)出的任意一條光線軌跡，均能到達(dá)另一焦點(diǎn)位置。

我們?nèi)粘Ｉ钪械碾娪胺庞硻C(jī)和照明燈具均是利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)原理進(jìn)行設(shè)計(jì)的（圖3）。在電影放映機(jī)中，聚光燈的反射鏡為旋轉(zhuǎn)橢圓面，將燈泡安裝在橢圓面的焦點(diǎn)位置，就能使光線經(jīng)過橢圓面的反射，匯聚于另一焦點(diǎn)位置的片門處，獲得最強(qiáng)的光線。

拋物線的光學(xué)性質(zhì)

展品由展臺(tái)、2條不同拋物線型擋板、彈片、目標(biāo)塊和障礙擋板等組成（圖4）。參與者參與時(shí)將彈片放在紅色圓點(diǎn)起始位置，該起始位置為其中1條拋物線的焦點(diǎn)位置，用手指朝向本側(cè)拋物線彈出彈片，若彈片能夠躲開中間位置的障礙擋板，經(jīng)過本側(cè)拋物線和遠(yuǎn)側(cè)拋物線的2次反彈后，會(huì)擊中在遠(yuǎn)側(cè)拋物線焦點(diǎn)位置的目標(biāo)塊。無論嘗試多少次，均能擊中目標(biāo)塊，這又是為什么呢？

拋物線作為圓錐曲線的一種，同樣具有獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì)。平行于拋物線焦軸的光線經(jīng)拋物線反射后會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)位置。本展品的2條拋物線的焦軸重合，當(dāng)從其中1個(gè)拋物線的焦點(diǎn)彈出的彈片經(jīng)過本側(cè)拋物線反彈后，運(yùn)動(dòng)方向?qū)⑥D(zhuǎn)變?yōu)槠叫杏谶@2條拋物線焦軸的方向，再經(jīng)遠(yuǎn)側(cè)的拋物線反彈后即可擊中遠(yuǎn)側(cè)拋物線焦點(diǎn)位置上的目標(biāo)塊。

日常生活中的探照燈和汽車燈均是利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)設(shè)計(jì)的，將光源設(shè)置在拋物面燈罩的焦點(diǎn)位置，通過燈罩反射后轉(zhuǎn)換為平行光。而太陽灶同樣利用了拋物線光學(xué)性質(zhì)將平行的太陽光通過拋物面型的反射鏡反射后匯聚到一點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)給水壺加熱的效果（圖5）。

雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

展品由展臺(tái)、2條雙曲線擋板、圓弧形導(dǎo)軌、彈射裝置和彈片等組成（圖6）。這件展品采用2種參與方式：手動(dòng)彈射和彈射裝置彈射。

手動(dòng)彈射方式：參與者首先將圓片放置在手動(dòng)彈射一側(cè)展臺(tái)的任意位置，根據(jù)臺(tái)面上指示，朝向遠(yuǎn)側(cè)雙曲線的焦點(diǎn)方向彈射圓片，如果彈射方向準(zhǔn)確，彈片經(jīng)過近處雙曲線擋板反彈后會(huì)擊中近側(cè)雙曲線焦點(diǎn)位置上的目標(biāo)塊。

彈射裝置方式：參與者首先可以在圓弧形導(dǎo)軌上任意移動(dòng)彈射裝置，由于圓弧形導(dǎo)軌的圓心是遠(yuǎn)側(cè)雙曲線的焦點(diǎn)位置，即彈射裝置無論在導(dǎo)軌什么位置，其出口方向一直指向遠(yuǎn)側(cè)雙曲線的焦點(diǎn)。隨后參與者將彈片塞入彈簧裝置底部，按下彈簧裝置上的彈射按鈕，將彈片彈出，這時(shí)彈片朝向遠(yuǎn)側(cè)雙曲線焦點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過近側(cè)雙曲線擋板反彈后會(huì)擊中近側(cè)雙曲線焦點(diǎn)位置上的目標(biāo)塊。為什么我們瞄準(zhǔn)的是遠(yuǎn)側(cè)雙曲線焦點(diǎn)，經(jīng)過反彈卻到達(dá)近側(cè)雙曲線的焦點(diǎn)位置呢？

和橢圓、拋物線等圓錐曲線一樣，雙曲線也具有獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì)。從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上。這件展品正是利用了這一性質(zhì)。由于光線是可逆的，當(dāng)光線指向遠(yuǎn)側(cè)雙曲線焦點(diǎn)位置時(shí)，經(jīng)過近側(cè)雙曲線的反射，光線能夠匯聚到近側(cè)雙曲線的焦點(diǎn)位置。彈射裝置所在的圓弧形滑軌的圓心指向遠(yuǎn)側(cè)雙曲線的焦點(diǎn)，所以無論彈射裝置在滑軌什么位置，從彈射裝置彈射出的彈片的運(yùn)動(dòng)方向均是指向遠(yuǎn)側(cè)雙曲線焦點(diǎn)位置的，經(jīng)過近側(cè)雙曲線反彈，必能擊中近側(cè)雙曲線焦點(diǎn)位置的目標(biāo)塊。

卡塞格倫天線是一種在微波通信中常用的天線，正是利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及拋物線的光學(xué)性質(zhì)原理設(shè)計(jì)的（圖7）。卡塞格倫天線由主反射面、副反射面和饋源3部分組成。其中主反射面為拋物面，副反射面為旋轉(zhuǎn)雙曲面。在結(jié)構(gòu)上，雙曲面的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物面的焦點(diǎn)重合，雙曲面的焦軸與拋物面的焦軸重合，饋源位于雙曲面的另一焦點(diǎn)上。工作時(shí)，饋源向副反射面發(fā)出電磁波，電磁波經(jīng)過副反射面反射到主反射面，由于副反射面（雙曲面）和主反射面（拋物面）的焦點(diǎn)重合，根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可推導(dǎo)出經(jīng)副反射面反射的電磁波的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過2個(gè)反射面的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，電磁波經(jīng)過主反射面反射后，可獲得平行于2個(gè)反射面焦軸的平面波波束，以實(shí)現(xiàn)定向發(fā)射。