磁懸浮高速鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算與振型分析*

（合肥通用機(jī)械研究院，壓縮機(jī)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；合肥通用環(huán)境控制技術(shù)有限責(zé)任公司）

0 引言

磁懸浮轉(zhuǎn)子利用不接觸的可控電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮在磁場(chǎng)中，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的無(wú)機(jī)械接觸、無(wú)磨損和無(wú)潤(rùn)滑的運(yùn)轉(zhuǎn)，具有定位精度高、適應(yīng)轉(zhuǎn)速范圍廣(幾萬(wàn)～十幾萬(wàn)轉(zhuǎn)/分)等一系列優(yōu)點(diǎn)而廣受關(guān)注。準(zhǔn)確計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，對(duì)于采用磁力軸承支撐的高速鼓風(fēng)機(jī)來(lái)說(shuō)尤為重要。

磁力軸承的支承特性對(duì)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性有重要的影響。對(duì)于磁力軸承，通過(guò)選擇合適的靜態(tài)偏置電流和控制系統(tǒng)的參數(shù)，總可以使得電磁力與轉(zhuǎn)子的微小位移成近似線(xiàn)性關(guān)系，利用成熟的線(xiàn)性控制方法就可以使被控轉(zhuǎn)子獲得優(yōu)良的性能，可以通過(guò)系統(tǒng)控制參數(shù)的選擇來(lái)控制磁力軸承的動(dòng)態(tài)特性[1-4]，即提供合適的支承剛度和阻尼。磁力軸承的控制器根據(jù)傳感器檢測(cè)出的位移變化進(jìn)行控制，因此磁力軸承和位移傳感器不能布置在本征振型的節(jié)點(diǎn)上[5-6]。將傳感器安裝在磁軸承內(nèi)是比較困難的，所以磁軸承的傳感器和磁力軸承不在一個(gè)位置。如果轉(zhuǎn)子的本征振型的節(jié)點(diǎn)處于傳感器和磁軸承之間，將出現(xiàn)反作用反饋，就可能導(dǎo)致磁軸承系統(tǒng)失穩(wěn)，根據(jù)振型合理布置傳感器是必須的。所以準(zhǔn)確計(jì)算磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速和振型是非常必要的。

轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算大多采用傳遞矩陣法和有限元法[6-10]，目前傳遞矩陣法占據(jù)主導(dǎo)地位。本文在分析磁力軸承支承特性的基礎(chǔ)上，采用傳遞矩陣法計(jì)算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和振型，根據(jù)振型分析位移傳感器布置位置的合理性。計(jì)算中考慮了磁力軸承的支承剛度在一定范圍內(nèi)變化時(shí)對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響。

1 計(jì)算模型

1.1 磁力軸承支承特性分析

要計(jì)算磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，首先需要分析其軸承的支承特性，主要為磁力軸承的支承剛度。

在磁力軸承中，一般采用差動(dòng)控制模式，其原理如圖1所示（僅畫(huà)出y方向的懸浮力控制）。

圖1 磁力軸承控制原理Fig.1 Magnetic bearing control principle

當(dāng)轉(zhuǎn)子位于中間位置時(shí)，為了建立偏置磁場(chǎng)，在上下勵(lì)磁線(xiàn)圈中通有相同的電流I0。在任意工作狀態(tài)下入轉(zhuǎn)子發(fā)生偏移y，則轉(zhuǎn)子與上磁體之間的氣隙為δ0+y，與下磁體之間的氣隙為δ0-y，則一對(duì)磁極所產(chǎn)生的合力：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；A為磁極截面積；N為繞組匝數(shù)；δ0為轉(zhuǎn)子在中間位置時(shí)的氣隙值；I0為靜態(tài)偏置電流；iy為反饋控制電流；y為轉(zhuǎn)子位移。

電磁力式（1）線(xiàn)性化[9-11]為

式中：ky為力-位移剛度系數(shù)；ki為力-電流剛度系數(shù)。

根據(jù)實(shí)際控制方式，引入反饋控制電流比例系數(shù)kp，即iy=kpy，代入式（2），由文獻(xiàn)[12]當(dāng)kp=2I0/δ0時(shí)，將獲得理想的線(xiàn)性支承剛度。

由式（5）可知，線(xiàn)性支承剛度可通過(guò)改變結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)磁力軸承設(shè)計(jì)支承剛度為1.0MN/m。

1.2 磁懸浮轉(zhuǎn)子離散化

其中Ti稱(chēng)為兩截面間的傳遞矩陣，詳細(xì)推導(dǎo)和程序化計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)如圖2所示，轉(zhuǎn)子全長(zhǎng)698mm，主軸的材料為合金鋼，楊氏彈性模量為206GPa，

采用傳遞矩陣法離散轉(zhuǎn)子，共分N段N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)于轉(zhuǎn)子的第i個(gè)截面，其狀態(tài)矢量為Zi，它由截面的徑向位移xi、撓角αi、彎矩Mi和剪力Qi的幅值所組成，記作它與截面i+1的狀態(tài)矢量Zi+1之間存在一定的關(guān)系。密度為7 850kg/m3，泊松比0.3。轉(zhuǎn)子左右兩端分別采用徑向磁力軸承支承，轉(zhuǎn)子最高轉(zhuǎn)速為24 000r/min。

圖2 磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Magnetic suspension blower rotor structure

電機(jī)永磁體部分、磁軸承部件、位移測(cè)量軸套及葉輪等部件過(guò)盈安裝在主軸上，使主軸抗彎剛度增加，隨著轉(zhuǎn)速的增加過(guò)盈量會(huì)變小，過(guò)盈量減小到零時(shí)，即為主軸的抗彎剛度，因此，計(jì)算時(shí)考慮零部件過(guò)盈引起主軸抗彎剛度變化對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響。采用傳遞矩陣法離散轉(zhuǎn)子，共分36段，37個(gè)節(jié)點(diǎn)從左至右依次編排，兩個(gè)徑向磁軸承分別處于第10（108.5mm）和第24（550.5mm）個(gè)節(jié)點(diǎn)上，兩個(gè)位移測(cè)量分別處于第6（67.5mm）和第28個(gè)（591.5mm）節(jié)點(diǎn)上，永磁體及護(hù)套、風(fēng)機(jī)葉輪分別處于第17和第34個(gè)節(jié)點(diǎn)上，因涉及知識(shí)產(chǎn)權(quán)，故轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)和尺寸略。

2 磁懸浮轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算與分析

2.1 不考慮零部件過(guò)盈轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速

主軸上過(guò)盈安裝的電機(jī)永磁體部分、磁軸承部件、位移測(cè)量環(huán)等軸套類(lèi)零部件不考慮過(guò)盈引起的主軸抗彎剛度的變化，按集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量考慮。計(jì)算得到臨界轉(zhuǎn)速見(jiàn)表1，振型見(jiàn)圖3～圖6。

表1 不考慮過(guò)盈臨界轉(zhuǎn)速及振型Tab.1 Critical speed and mode without the interference

圖3 第1階振型-剛體擺動(dòng)Fig.3 First mode shape-rigid body swing

圖4 第2階振型-剛體擺動(dòng)Fig.4 Second mode shape-rigid body swing

圖5 第3階振型-一階彎曲Fig.5 Third mode shape-first-order bending

圖6 第4階振型-二階彎曲Fig.6 Fourth mode shape-second-order bending

從圖中可知，第1階振型為以繞左側(cè)軸承為主剛體擺動(dòng)，第2階振型以繞右側(cè)軸承為主的剛體擺動(dòng)，前兩階臨界轉(zhuǎn)速比較低，轉(zhuǎn)子的動(dòng)能小，磁力軸承需要的控制力的幅值和頻率都比較小，所以轉(zhuǎn)子可以較容易的跨越這兩階臨界轉(zhuǎn)速。第3,4階振型分別為一階彎曲和二階彎曲，臨界轉(zhuǎn)速比較高，要使轉(zhuǎn)子工作在該臨界轉(zhuǎn)速以上時(shí),對(duì)磁力軸承控制系統(tǒng)的要求非常高。因此，一般要求磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子工作在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速以下，一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速為最高轉(zhuǎn)速的1.33倍，滿(mǎn)足剛性轉(zhuǎn)子條件。

2.2 考慮零部件過(guò)盈轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速

軸套類(lèi)零部件過(guò)盈安裝引起的主軸抗彎剛度變化與過(guò)盈量、軸向?qū)挾取?nèi)徑和外徑等參數(shù)有關(guān)，按文獻(xiàn)[14]方法計(jì)算剛度當(dāng)量直徑。程序計(jì)算時(shí)，主軸的質(zhì)量直徑不變，有過(guò)盈部件處剛度直徑按計(jì)算的當(dāng)量直徑，過(guò)盈部件按集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量考慮。計(jì)算得到臨界轉(zhuǎn)速及振型見(jiàn)表2。

表2 考慮過(guò)盈臨界轉(zhuǎn)速及振型Tab.2 Critical speed and mode consider the interference

由表2可知，前兩階臨界轉(zhuǎn)速基本不變，這是由于前兩階振型為剛體擺動(dòng)，主軸沒(méi)有發(fā)生彎曲變形，零部件過(guò)盈引起的主軸抗彎剛度對(duì)這兩階臨界轉(zhuǎn)速?zèng)]有影響。第3,4階臨界轉(zhuǎn)速明顯增大，這是因?yàn)檗D(zhuǎn)子為彎曲振型，零部件過(guò)盈引起抗彎剛度增加，從而使該振型的臨界轉(zhuǎn)速增加。然后過(guò)盈引起的抗彎剛度增加量隨著轉(zhuǎn)速的增加而降低，實(shí)際這兩階彎曲振型的臨界轉(zhuǎn)速分別在31 945～33 190r/min和86 687～95 283r/min之間，工程設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)保守考慮取下限值。

2.3 磁力軸承支承剛度對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響

磁力軸承一個(gè)非常顯著的優(yōu)點(diǎn)在于其支承剛度可以在一定范圍內(nèi)根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行改變，磁力軸承支承剛度在一定范圍內(nèi)變化時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響，見(jiàn)圖7所示。磁力軸承支承剛度對(duì)剛體擺動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速有非常明顯的影響，隨著支承剛度的增大，剛體擺動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速增大，且增大趨勢(shì)越加明顯；在研究范圍內(nèi)，支承剛度對(duì)一階彎曲和二階彎曲臨界轉(zhuǎn)速影響非常小，1%左右。

圖7 臨界轉(zhuǎn)速與軸承支承剛度的關(guān)系Fig.7 Relationship between critical speed and bearing support stiffness

3 振型分析

從圖3～圖5振型圖可見(jiàn)，擺動(dòng)和第一階彎曲振型兩側(cè)磁力軸承和傳感器都沒(méi)有安裝在本征振型節(jié)點(diǎn)上，并且磁力軸承和傳感器在節(jié)點(diǎn)的同一側(cè)；從圖6的振型圖可知，左側(cè)磁力軸承和右側(cè)傳感器基本在本征振型的節(jié)點(diǎn)上，若轉(zhuǎn)子在一階彎曲之上，二階彎曲之下工作時(shí)，則磁力軸承和傳感器布置不合理。本轉(zhuǎn)子是工作在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速以下的剛性轉(zhuǎn)子，因此該轉(zhuǎn)子的磁力軸承和傳感器布置是合理的。

圖8為磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)運(yùn)行時(shí)磁力軸承控制電流和傳感器測(cè)量值，前徑向、后徑向分別為圖2轉(zhuǎn)子圖中的右側(cè)徑向軸承和左側(cè)徑向軸承，再結(jié)合圖5的振型圖，左側(cè)磁力軸承（后徑向）和傳感器較右側(cè)磁力軸承（前徑向）和傳感器偏離中心位置更多，這與實(shí)際運(yùn)行結(jié)果相符。

圖8 磁力軸承控制電流和振動(dòng)值Fig.8 Magnetic bearings control current&vibration values

4 結(jié)論

1）磁力軸承氣隙變化較小時(shí)，其產(chǎn)生的電磁力與轉(zhuǎn)子偏離中心位移成線(xiàn)性關(guān)系，磁力軸承支承剛度與其結(jié)構(gòu)參數(shù)和控制參數(shù)密切相關(guān)。

2）轉(zhuǎn)子的最大轉(zhuǎn)速低于一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速，不考慮零部件過(guò)盈引起的抗彎剛度增加臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果偏低，而對(duì)于剛性轉(zhuǎn)子則結(jié)果是偏保守的。

3）本轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，從振型圖知，兩側(cè)磁力軸承和傳感器都沒(méi)有布置在本征振型的節(jié)點(diǎn)上，且磁力軸承和傳感器在節(jié)點(diǎn)的同一側(cè)，表明該鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子的磁力軸承和傳感器布置合理，并且與實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)相符。

4）通過(guò)一臺(tái)實(shí)際磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了本文方法計(jì)算磁懸浮轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速及振型的有效性。