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    找準“變”與“不變”,架起“平面”與“立體”

    2018-11-19 08:31:54韓文美
    新高考·高二數(shù)學 2018年7期
    關(guān)鍵詞:空間圖形線線線面

    韓文美

    立體幾何的翻折問題是指將一平面圖形翻折后變成空間圖形,然后根據(jù)平面圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等的變化與否來研究空間圖形中各元素間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等問題.所以,解決翻折問題的關(guān)鍵是確定翻折前后的不變量與改變量.

    一般情況下,在折線同側(cè)的量,折疊前后不變,“跨過”折線的量,折疊前后可能會發(fā)生變化,這是解決這類問題的關(guān)鍵.

    一、翻折中的判定問題

    通過平面圖形的翻折后變成空間圖形,進而研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的位置關(guān)系,判定相關(guān)的點、線、面的平行或垂直關(guān)系,以及相應(yīng)量的變化等.

    點評 平面圖形翻折為空間圖形問題的關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化,不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征,據(jù)此可加以分析與判斷.

    二、翻折中的距離問題

    通過平面圖形的翻折后變成空間圖形后的距離問題,往往涉及空間幾何體的表面積與體積,以及空間距離等數(shù)量關(guān)系的證明與計算等.

    例2 如圖3,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H,將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

    三、翻折中的探究問題

    結(jié)合平面圖形的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的開放與創(chuàng)新探索問題,包括點、線的位置確定,存在性或探究性問題等.

    例4 如圖4,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點.將△ADE沿DE翻折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖5.

    (1)求證:DE∥平面AlCB;

    (2)求證:A1F⊥BE;

    (3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.

    分析 (1)由D,E分別為AC,AB的中點,通過線線平行的轉(zhuǎn)化,易證DE∥平面AlCB;

    (2)由題中線線垂直可證DE⊥平面A1 DC,進而有DE⊥A1F,結(jié)合線面垂直的判定可證A1F⊥平面BCDE,進而得到對應(yīng)的線線垂直關(guān)系;

    (3)分別取A1C,A1B的中點P,Q,可得PQ∥BC,平面DEQ即為平面DEP,結(jié)合(2)中的線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,利用線線垂直關(guān)系來證明對應(yīng)的線面垂直關(guān)系,進而得以解決存在性問題.

    證明 (1)因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DE∥BC,

    義因為DE 平面AlCB,BC 平面A1CB,所以DE∥平面AlCB.

    (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC,

    所以DE⊥A1D,DE⊥CD,

    義A1D ∩ CD=D,所以DE⊥平面A1DC,

    而A1F 平面A1DC,所以DE⊥A1F,

    又因為A1F⊥CD,CD∩ DE=D,所以A1F⊥平面BCDE,所以A1F⊥BE.

    (3)線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ.

    理由如下:如圖6,分別取AlC,AiB的中點P,Q,則PQ∥BC,

    又因為DE∥BC,所以DE∥PQ,所以平面DEQ即為平面DEP,

    由(2)知,DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C,

    又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點,

    所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ,

    故線段A1B上存在點Q,使得AlC⊥平面DEQ.

    點評 在解決翻折中的開放、創(chuàng)新或探究性問題時,一般通過先確定存在性、位置關(guān)系等開放性結(jié)論,再通過合理的推理與分析來說明.而正確的翻折處理、直觀圖的判定以及科學的推理論證都是必不可少的.

    立體幾何的翻折問題背景簡單,立意深遠,對考生的空間想象能力要求很高,可以有效改善同學們對立體幾何的思維定勢,構(gòu)造空間立體幾何結(jié)構(gòu)直觀圖,使靜態(tài)數(shù)學動態(tài)化,優(yōu)化思維品質(zhì).

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