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    用愛因斯坦固體模型理解熵的微觀含義

    2018-11-19 06:47:08柳瀟凡
    中國設(shè)備工程 2018年20期
    關(guān)鍵詞:諧振子熱力學(xué)愛因斯坦

    柳瀟凡

    熵在物理學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念。通過對(duì)熵的深入了解,我們對(duì)于熱力學(xué)中物質(zhì)的演化過程將更加清楚。并且隨著科技的進(jìn)步,熵這一原本局限于實(shí)驗(yàn)室的概念,也流傳到了我們的日常生活中,熵這一名詞已經(jīng)進(jìn)入了環(huán)保、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)等諸多行業(yè)。為了更好地了解熵的概念,本文介紹了熵的宏觀定義與微觀定義,然后在愛因斯坦固體模型中具體計(jì)算相關(guān)的熵情況,同時(shí)介紹了熵的微觀與宏觀定義的等價(jià)性。

    1 熵的定義

    1.1 克勞修斯關(guān)于熵的宏觀定義

    若考慮工作物質(zhì)吸收的能量為正,放出能量為負(fù),則上述式子可改寫為:

    由此在工作物質(zhì)經(jīng)歷1次循環(huán)中,比熱容的代數(shù)和為零,也可以證明出:

    因此在圖2由A→B→A的過程中,

    由此可得:

    通過上式即可發(fā)現(xiàn),當(dāng)其初末態(tài)確定時(shí)比熱容的代數(shù)和唯一確定與過程無關(guān)。這一狀態(tài)函數(shù)被克勞修斯定義為熵,用S表示。

    圖1

    圖2

    1.2 玻爾茲曼關(guān)于熵的微觀定義

    20年后,玻爾茲曼從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的角度對(duì)熵進(jìn)行了微觀定義,在任意的宏觀狀態(tài)下,熵與該宏觀狀態(tài)下的微觀狀態(tài)數(shù)的自然對(duì)數(shù)成正比。后來普朗克將這個(gè)關(guān)系寫為:

    2 愛因斯坦固體模型與相關(guān)熵的定量計(jì)算

    由于能夠簡單算出微觀狀態(tài)數(shù)的狀態(tài)模型極少,此處我只分析愛因斯坦提出用于描述簡單晶體熱學(xué)性質(zhì)的固體模型。該模型可等效成1個(gè)由相同的量子諧振子組成的系統(tǒng),每個(gè)粒子有3個(gè)自由度,每個(gè)自由度上都可以看作是1個(gè)諧振子,這樣每個(gè)粒子就等效于成3個(gè)自由諧振子。而每個(gè)諧振子的能量是量子化的,并且其能量是相對(duì)于基態(tài)能量的某個(gè)能量單位的整數(shù)倍。通過了解愛因斯坦固體的微觀狀態(tài)數(shù),可以簡單計(jì)算相應(yīng)的熵值。

    我們不妨假設(shè)下述的1個(gè)愛因斯坦固體,其振子數(shù)為3,系統(tǒng)總能量U為4,當(dāng)其總能量為4時(shí),其能量分配方式共有15種,分別為(4,0,0),(3,1,0),(3,0,1),(2,2,0),(2,1,1),(2,0,2),(1,3,0),(1,2,1),(1,1,2),(1,0,3),(0,4,0),(0,3,1),(0,2,2),(0,1,3),(0,0,4)。當(dāng)其總能量為3時(shí),其能量分配方式共有10種,分別為(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,1,1),(1,0,2),(0,3,0),(0,2,1),(0,1,2),(0,0,3)。當(dāng)其總能量為2時(shí),其能量分配共有6種,分別為(2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1),(0,0,2)。當(dāng)其總能量為1時(shí),其能量分配共有3種,分別為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。當(dāng)其總能量為0時(shí),其能量分配有1種,為(0,0,0)。

    觀察上述數(shù)據(jù),不難得出規(guī)律N個(gè)諧振子的愛因斯坦固體,在總能量為U的情況下,其微觀狀態(tài)數(shù)為:

    我們可以換個(gè)角度看待該式,將量子化的1份能量看作1個(gè)小球,并使用1條豎線來分隔2個(gè)諧振子,則問題轉(zhuǎn)化為在小球間插入2塊隔板,使小球分為3份。

    通過以上我知道了一個(gè)孤立的愛因斯坦固體的微觀狀態(tài)數(shù),為了更加透徹地理解相互作用系統(tǒng)的熵值變化,再來看2個(gè)愛因斯坦固體的情況,設(shè)有A、B的2個(gè)愛因斯坦固體,初始能量為U1、U2,含有N1、N2個(gè)振子,則系統(tǒng)總能量為U= U1+ U2,而U在能量交換過程中不變。又因?yàn)椋珹、B的2個(gè)固體之間只存在比較弱的相互作用,所以可以將它們看成相對(duì)獨(dú)立的2個(gè)固體,故?,F(xiàn)假設(shè)在2個(gè)愛因斯坦固體組成的系統(tǒng)中,N1=N2=3,U=U1+U2=9,則可得到表1的數(shù)據(jù)。

    表1

    圖3

    而當(dāng)N1=N2=100,U=U1+U2=120時(shí),又有圖4。

    圖4

    3 關(guān)于熵的2種描述的一致性

    S與S1、S2的關(guān)系如圖5所示(其中橫坐標(biāo)代表U1)。

    圖5

    由圖像可知,當(dāng)S1曲線與S2曲線斜率的絕對(duì)值相同時(shí),S曲線取到峰值,此時(shí)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多,處于最可能的宏觀狀態(tài),且基本不再有能量流動(dòng)。

    此時(shí)滿足函數(shù)關(guān)系

    又∵ U=U1+U2

    又∵U為常數(shù)

    由此我們也可以看出熵的宏觀與微觀定義的一致性。根據(jù)熱力學(xué)第一定律,而此處體積不變,可將做功部分看作為零,故,根據(jù)克勞修斯的熵的定義,,而根據(jù)玻爾茲曼的定義,上式仍成立,這極好的驗(yàn)證了熵的宏觀、微觀定義的一致性。

    4 結(jié)語

    雖然19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的熱力學(xué)第一定律作為物理科學(xué)的重大發(fā)現(xiàn)之一,并備受推崇,但是對(duì)于熱力學(xué)第二定律,人們的重視程度卻一直不夠。然而,在20世紀(jì),熵理論的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了經(jīng)典熱力學(xué)的范疇。它不僅在非生物界,而且在生物界以及經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科的研究和應(yīng)用中都顯現(xiàn)出廣闊的發(fā)展前景,因此,進(jìn)一步對(duì)熵的研究很有必要。從克勞修斯的宏觀定義中,我了解到熵作為自發(fā)過程進(jìn)行方向的標(biāo)志,在系統(tǒng)自發(fā)演化的過程中,總是滿足熵增原理。在愛因斯坦固體中,可以清楚地看到系統(tǒng)的熵與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)有著密切的聯(lián)系,孤立的與外界沒有相互作用的系統(tǒng),總是從微觀狀態(tài)數(shù)少的熵較小的狀態(tài)變化到微觀狀態(tài)數(shù)大的熵較大的狀態(tài),而不會(huì)從熵大的狀態(tài)向熵小的狀態(tài)去變化發(fā)展。

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