拉格朗日乘子法求二元函數(shù)的最值的慣性誤區(qū)與正確解析

方 侃

（福州大學(xué)至誠(chéng)學(xué)院，福建 福州 350001）

一、二元函數(shù)求最值的錯(cuò)解呈現(xiàn)

二元函數(shù)z=f（x，y）在定義域上求最值的問(wèn)題，許多教材都沒(méi)有給出完整的解決方法，［1］吳傳生主編高等教育出版社出版的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—微積分下冊(cè)有談到二元函數(shù)的最大值與最小值的內(nèi)容，其中提到：“如果f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f（x，y）在此有界閉區(qū)域上一定能取到最大值和最小值。而使得函數(shù)取到最大值或最小值的點(diǎn)既有可能在此有界閉區(qū)域的內(nèi)部，也可能在此有界閉區(qū)域的邊界上。如果我們假設(shè)，f（x，y）在D上連續(xù)，在D內(nèi)可微且只有有限個(gè)駐點(diǎn)，這時(shí)候函數(shù)f（x，y）在D的內(nèi)部取得的最大值（最小值）也就是函數(shù)的極大值（極小值）。那么，在上述假設(shè)下，求函數(shù)的最值的過(guò)程是：求出函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)，然后將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與函數(shù)在D的邊界上的最值進(jìn)行比較，其中最大（?。┑木褪亲畲螅ㄐ。┲?。但是這種方法，需要求得函數(shù)在D的邊界上的最大值和最小值，此過(guò)程通常非常復(fù)雜。因而在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f（x，y）在D上的最大值（最小值）。教材中舉的例子也是有唯一駐點(diǎn)的實(shí)際例題，用拉格朗日乘子法求出唯一極值點(diǎn)后就是最值點(diǎn)。

二元函數(shù)的最值求解是一個(gè)難題，筆者在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)解二元函數(shù)最值的一個(gè)普遍性錯(cuò)誤，以下我們就探討［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編高等教育出版社出版的《微積分》下冊(cè)的教材關(guān)于有界閉集D上連續(xù)可微的二元函數(shù)求最值用拉格朗日乘子法計(jì)算時(shí)的錯(cuò)誤解法。

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的微積分下冊(cè)P111頁(yè)談到：“下面討論如何求二元函數(shù)z=f（x，y）在有界閉區(qū)域上的最值問(wèn)題。假設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)而且可微，則由連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知在D上必存在最大值和最小值。如果最大值或最小值在D的內(nèi)部取得，那么這些最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)。據(jù)此可以先求出f（x，y）在D的內(nèi)部所有駐點(diǎn)的函數(shù)值。然后利用求解條件極值的方法求出f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值。最后，將上面所得到的這些值加以比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值?！?/p>

例題4；求f（x，y）=2x2+y2在閉區(qū)域D={（x，y）|2（x-1）2+（y-1）2≤12}上的最大值和最小值。

解：先用拉格朗日乘子法求出f（x，y）在邊界D={（x，y）|2（x-1）2+（y-1）2=12}上可能的極值點(diǎn)。作 L（x，y，l）=2x2+y2+l［2（x-1）2+（y-1）2-12］，求解方程組：

解得f（x，y）在橢圓邊界D={（x，y）|2（x-1）2+（y-1）2=12}上的兩個(gè)可能極值點(diǎn)M1（3，3），M2（-1，-1）。

再求f（x，y）在D內(nèi)部{（x，y）|2（x-1）2+（y-1）2＜12}的可能極值點(diǎn)，由于fx=4x，fy=2y，因此由fx=fy=0解得唯一駐點(diǎn)M3（0，0）。

由于f（3，3）=27，f（-1，-1）=3，f（0，0）=0，因此f（x，y）在D上的最大值為27，在D上的邊界點(diǎn)M1取得；最小值為0，在D的內(nèi)點(diǎn)M3取得。

現(xiàn)在按照以上解題思路和過(guò)程，解答P113頁(yè)3.（3）：f（x，y）=1+xy-x-y，D是由曲線y=x2和直線y=4所圍成的有界閉區(qū)域。

解：先用拉格朗日乘子法求出f（x，y）在邊界D={（x，y）|y=x2}上可能的極值點(diǎn)。作L（x，y，l）=1+xy-x-y+l（y-x2），求解方程組：

解得f（x，y）在邊界上的兩個(gè)可能極值點(diǎn)M1（1，

先用拉格朗日乘子法求出f（x，y）在邊界D={（x，y）|y=4}上可能的極值點(diǎn)。作L（x，y，l）=1+xy-x-y+l（y-4），求解方程組：

再求f（x，y）在D內(nèi)部{（x，y）|x2＜y＜4}的可能極值點(diǎn)，由于fx=y-1，fy=x-1，因此由fx=fy=0解得唯一駐點(diǎn)M3（1，1）。

這樣算出的答案與習(xí)題后的參考答案一致，然而這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。因?yàn)閒（-2，4）=-9，f（2，4）=3，而這兩個(gè)點(diǎn)顯然包含在D={（x，y）|x2≤y≤4}這個(gè)有界閉區(qū)域上，因此f（-2，4）=-9，f（2，4）=3，就分別是 f（x，y）=1+xy-x-y在D={（x，y）|x2≤y≤4}這個(gè)有界閉區(qū)域上的最小值和最大值。

二、二元函數(shù)求最值的錯(cuò)因分析

我們從一元函數(shù)求最值來(lái)分析。一元函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上求最值的過(guò)程：先求極值點(diǎn)，再比較端點(diǎn)y=f（a），y=f（b）的值，最后得到最大最小值。因此，二元函數(shù)z=f（x，y）在有界閉區(qū)域Dxy求最值，我們同樣是要先求二元函數(shù)z=f（x，y）在D的內(nèi)部的極值點(diǎn)，再跟邊界值比較，得到最大值最小值。只是二元函數(shù)的邊界要比一元函數(shù)復(fù)雜許多，一元函數(shù)就是兩個(gè)端點(diǎn)，二元函數(shù)是由若干條曲線構(gòu)成。在求內(nèi)部極值點(diǎn)的時(shí)候，上面例4的過(guò)程沒(méi)有任何問(wèn)題，問(wèn)題出在用拉格朗日乘子法求邊界值的時(shí)候，其實(shí)仍然解決的是內(nèi)部的極值問(wèn)題，而不是最值問(wèn)題，要解決最值，還必須把邊界約束條件代入二元函數(shù)z=f（x，y）化為一元函數(shù)y=f（x）后的x端點(diǎn)值考慮進(jìn)去比較。

三、二元函數(shù)求最值的正確解法

例4解（一）：的第一部分用拉格朗日乘子法求完，必須再跟兩個(gè)x的端點(diǎn)后的二元函數(shù)值比較結(jié)果終比較過(guò)，雖然答案不變，但那只是因?yàn)闃O值點(diǎn)恰好是最值點(diǎn)，事實(shí)上，［3］顧江永李紅玲的文章中列出四種解法的解法三，用拉格朗日乘子法求邊界點(diǎn)的時(shí)候也是忽略了要用端點(diǎn)值來(lái)比較的這個(gè)細(xì)節(jié)問(wèn)題。此外，例四也可以用參數(shù)代換法化為一元函數(shù)來(lái)解題。

例4解（二）：先求f（x，y）在D內(nèi)部{（x，y）|2（x-1）2+（y-1）2＜12}的可能極值點(diǎn)，由于fx=4，fy=2y，因此由fx=fy=0解得唯一駐點(diǎn)M3（0，0）得f（0，0）=0。

將兩個(gè)駐點(diǎn)代入函數(shù)得f1（q）=27，f2（q）=3。

而［2］教材中課后習(xí)題3.（3）答案就錯(cuò)了，正確的解法如下：

法一（拉格朗日乘子法）：

解：內(nèi)部問(wèn)題：求f（x，y）在D內(nèi)部{（x，y）|x2＜y＜4}的可能極值點(diǎn)，由于fx=y-1，fy=x-1因此由fx=fy=0解得唯一駐點(diǎn)M3（1，1）。

邊界問(wèn)題：按照上面第一次解答所述的過(guò)程用拉格朗日乘子法求出極值點(diǎn)后，再比較端點(diǎn)值f（-2，4）=-9，f（2，4）=3，由此比較得到f（x）的最小值為-9，最大值為3。

法二（化為一元函數(shù)）：

解：內(nèi)部問(wèn)題：求f（x，y）在D內(nèi)部{（x，y）|x2＜y＜4}的可能極值點(diǎn)，由于fx=y-1，fy=x-1因此由fx=fy=0解得唯一駐點(diǎn)M3（1，1）.

邊界問(wèn)題；將y=x2（-2≤x≤2）代入f（x，y）得，f（x）=1+x3-x-x2，f ′（x）=3x2-1-2x=0，得駐加上端點(diǎn)x=±2。

將y=4（-2≤x≤2）代入f（x，y）得，f（x）=1+4x-x-4=3x-3，由此比較得到f（x）的最小值為-9，最大值為3。

四、二元函數(shù)求最值的總結(jié)啟示

在閉區(qū)域上連續(xù)可微的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，用拉格朗日乘子法求以邊界曲線為約束的條件極值，得到的僅僅是極值，和將邊界曲線代入二元函數(shù)化為一元函數(shù)求導(dǎo)得到的極值點(diǎn)性質(zhì)是一樣的，都只能解決的是極值。要想得到最值，必須把邊界曲線代入二元函數(shù)化為一元函數(shù)后，一元變量的端點(diǎn)值考慮進(jìn)去，最后比較得到的才是最大值和最小值。文章糾正了［2］《微積分》下冊(cè)第六章關(guān)于用拉格朗日乘子法求在有界閉區(qū)域上連續(xù)可微的函數(shù)的最值過(guò)程中的一個(gè)慣性思維解題的錯(cuò)誤。二元函數(shù)求最值的題型通常是困難的，解決此類問(wèn)題，必須要細(xì)心，注重培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。平常教學(xué)中，我們應(yīng)盡量降低難度，重點(diǎn)立足于解決最值的應(yīng)用問(wèn)題,即唯一駐點(diǎn)就是最值點(diǎn)的實(shí)際問(wèn)題，以便學(xué)生能更好理解此類解法的本質(zhì)。