數(shù)學(xué)歸納法在三角形重心定理推廣中的應(yīng)用

☉湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李棽麗

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)證明題中的特殊方法，特別是在研究整數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)命題時(shí)經(jīng)常用到，運(yùn)用恰當(dāng)，就會事半功倍.眾所周知，三角形每個(gè)頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，稱該點(diǎn)為三角形的重心，且重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)距離的2倍.該結(jié)論對于平面上的四邊形［1］和三維空間中的四面體［2］也成立.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法自然可以把三角形的重心結(jié)論推廣到平面上的任意多邊形［3］，即平面上的（n+1）邊形的每個(gè)頂點(diǎn)到其對面n邊形的重心連線段交于一點(diǎn)，稱該點(diǎn)為（n+1）邊形的重心，且該重心到頂點(diǎn)的距離是其到對應(yīng)的n邊形重心距離的n倍.對于重心定理在更高維空間的推廣研究還很少，本文巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，把上述結(jié)論推廣到高維情形，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法給出重心的向量判別條件.

一、n維單形的重心定理

定義：對于n+1（n≥2）個(gè)點(diǎn)，如果其中任意一點(diǎn)與其余n個(gè)點(diǎn)作成的n個(gè)向量生成一個(gè)n維空間，則稱這（n+1）個(gè)點(diǎn)及其任意兩點(diǎn)的連線段組成的圖形為一個(gè)n維單形.通常稱這（n+1）個(gè)點(diǎn)為單形的頂點(diǎn)，去掉一個(gè)頂點(diǎn)后，剩余n個(gè)頂點(diǎn)及其兩兩連線段也組成一個(gè)（n-1）維單形，稱為該頂點(diǎn)對應(yīng)的（n-1）維面.

三角形即為二維單形，四面體為三維單形，并約定線段為一維單形.由三角形與四面體關(guān)于重心的定義，可以歸納定義n維單形的重心，并可以得到類似的結(jié)論：n維單形的每個(gè)頂點(diǎn)到其對應(yīng)的（n-1）維面的重心連線段交于一點(diǎn)，稱該點(diǎn)為n維單形的重心，且重心到頂點(diǎn)的距離是其到對應(yīng)（n-1）維面重心距離的n倍.

命題1：設(shè)P1P2…Pn+1是一個(gè)n維單形，頂點(diǎn)Pi（i=1，2，…，n+1）對應(yīng)的n-1維面的重心記為Gi.則n+1條線段

首先用歸納法證明如下引理.

引理：在命題1的假設(shè)下，如果命題1的結(jié)論對于小于n維的單形成立，則有：

當(dāng)n=2時(shí)，此時(shí)圖形為圖1，顯然有：

故結(jié)論成立.

圖1

圖2

現(xiàn)假設(shè)引理對小于n的情形成立.于是對于n維單形P1P2…Pn+1，頂點(diǎn)P2對應(yīng)的n-1維面P1P3P4…Pn+1是一個(gè)（n-1）維單形.在該單形中，設(shè)頂點(diǎn)P1所對應(yīng)的（n-2）維面P3P4…Pn+1的重心為M（圖2對應(yīng)n=3情形）.由歸納假設(shè)有：

另一方面，注意到在n-1維單形P1P3P4…Pn+1中，G2是其重心，M是此單形中頂點(diǎn)P1所對應(yīng)的（n-2）維面的重心.由引理假設(shè)，命題1結(jié)論對于小于n維的單形成立，故

即（1）成立.下面考慮（2）.故（2）成立，這就完成了引理的證明.

命題1的證明：當(dāng)n=2和n=3時(shí)即為三角形和四面體的結(jié)論［2］.現(xiàn)假設(shè)定理對小于n的情形成立，用歸納法證明結(jié)論對n維單形也成立.

由歸納假設(shè)知引理?xiàng)l件滿足，故由引理得

二、n維單形重心的判別條件

命題2：n維單形P1P2…Pn+1的重心是O當(dāng)且僅當(dāng)

證明：（必要性）若O為重心，則由命題1得

進(jìn)一步由引理中的（2）得

（充分性）用歸納法證明.當(dāng)n=2和3時(shí)，三角形和四面體［4］的情況顯然成立.假設(shè)結(jié)論對于小于n的情形成立（小于n維的單形命題1及引理均成立）.對于n的情形，若的情形類似.由假設(shè)有的頂點(diǎn)P1所對應(yīng)的n-1維面的重心為G1，則：

由引理中的（1）知，

借助向量載體，巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以進(jìn)一步探索平面上多邊形和高維空間中n維單形的相關(guān)性質(zhì)，加深對幾何圖形的直觀認(rèn)識，體會數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題證明中的奧妙.