巧用主元 事半功倍

安徽省樅陽縣宏實中學(xué)(246700) 江保兵

一.一道競賽試題和它的巧解

例1(1)求證：對于任意實數(shù)x,y,z,都有：.

這是2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽第11題,從公布的參考答案來看,本題主要考察基本不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于相關(guān)系數(shù)的配湊.在教學(xué)中,筆者從另外一種角度入手,得到一個比較簡單的解題方法.

證明這是一個二次結(jié)構(gòu),由于它對任意實數(shù)x恒成立,所以可以把它看作一個以x為主元的二次函數(shù),利用判別式,我們得到：

這又是一個二次結(jié)構(gòu),由于它對任意實數(shù)y恒成立,所以可以把它看作一個以y為主元的二次函數(shù),利用判別式,我們得到：

下面的兩個例子的證明和例1的證明方法完全相同,讀者不妨嘗試一下.

(1)設(shè)α,β,γ為任意三角形的三個內(nèi)角,x,y,z為任意實數(shù).求證：x2+y2+z2≥ 2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.

(2)(第2屆陳省身杯數(shù)學(xué)奧林匹克第6題)對任意的x,y,z∈R,證明：.

我們看到轉(zhuǎn)換思想,鎖定主元,不僅解題方法直觀簡單,而且便于發(fā)散.本文再結(jié)合幾道案例,進一步談?wù)勥@種解題方法的應(yīng)用.

二.解題方法的應(yīng)用

例2(《數(shù)學(xué)通訊》(上半月)2018年第5期問題征解345題)已知正實數(shù)a,b,c,d,滿足abcd=1,求證：.

解不妨設(shè)a≥b≥c≥d≥0,先固定b,c,構(gòu)造以a為主元的函數(shù).

所以f(a)在區(qū)間[d,+∞)上單調(diào)遞增,故f(a)≥f(d)=f(1)=7,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=1時,等號成立.

下面式子的證明和例2的證明方法完全相同,讀者不妨嘗試一下.

數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識世界,揭示數(shù)學(xué)規(guī)律,總結(jié)數(shù)學(xué)方法,形成數(shù)學(xué)思想.在平時的解題過程中,重視數(shù)學(xué)問題解法的追溯,刨跟問底,溯本求源,挖掘試題的數(shù)學(xué)本質(zhì),從中提煉出數(shù)學(xué)解題方法,這樣才能知其然,更知其所以然.