基于響應(yīng)面法的制動(dòng)盤多目標(biāo)及穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)

谷 婷 婷

(泛亞汽車技術(shù)中心有限公司，上海 201201)

0 引 言

汽車制動(dòng)過程中的制動(dòng)噪音、制動(dòng)熱抖動(dòng)、制動(dòng)熱衰退等會(huì)影響車輛的舒適性和行駛安全性。因此，在制動(dòng)器開發(fā)設(shè)計(jì)過程中，尋找切實(shí)有效的措施控制制動(dòng)噪音、熱抖動(dòng)、提高抗熱衰退性能一直倍受關(guān)注。

復(fù)特征值模態(tài)耦合理論的分析結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果具有較好的一致性，已有效用于制動(dòng)器噪聲機(jī)理研究[1]。王登峰等[2]基于制動(dòng)器總成的接觸摩擦耦合有限元模型，計(jì)算分析了可能產(chǎn)生制動(dòng)尖叫的不穩(wěn)定模態(tài)及其影響因素，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了有限元模型的可靠性，為控制制動(dòng)尖叫提供了途徑。P. LIU 等[3]建立了制動(dòng)器系統(tǒng)的有限元耦合模型，針對一系列幾何參數(shù)和材料特性參數(shù)，分別求解了制動(dòng)器的復(fù)模態(tài)，提出了降低摩擦系數(shù)和修改制動(dòng)片幾何形狀的優(yōu)化方法，以減小不穩(wěn)定模態(tài)的不穩(wěn)定系數(shù)來達(dá)到控制制動(dòng)噪聲的目的。

汽車在制動(dòng)過程中，制動(dòng)盤受到交變循環(huán)熱應(yīng)力而產(chǎn)生變形，引起制動(dòng)抖動(dòng)。制動(dòng)盤的熱變形、熱抖動(dòng)等都是典型的熱機(jī)耦合問題。施一鳴[4]建立了盤式制動(dòng)器熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元模型，計(jì)算了不同制動(dòng)工況下制動(dòng)盤的溫升以及應(yīng)力場分布，并試驗(yàn)驗(yàn)證了制動(dòng)熱效應(yīng)引起的制動(dòng)盤抖動(dòng)。陳友飛等[5]建立了制動(dòng)盤的熱分析有限差分模型，進(jìn)行了單次制動(dòng)和循環(huán)制動(dòng)工況下的溫度場仿真分析，結(jié)果與有限元模型分析結(jié)果一致。張磊[6]在制動(dòng)器熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了表征制動(dòng)器關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)與制動(dòng)力矩、最高溫度及應(yīng)力關(guān)系的代理模型；以最高溫度及應(yīng)力為約束條件，制動(dòng)力矩最大化為目標(biāo)，采用多島遺傳算法進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高了制動(dòng)器性能。

從現(xiàn)有研究工作看，制動(dòng)器制動(dòng)噪聲機(jī)理、熱機(jī)耦合分析已有較多研究，但相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究相對較少[7-8]。此外，制動(dòng)噪聲還受到制動(dòng)器材料、結(jié)構(gòu)、運(yùn)行工況等各種隨機(jī)因素的影響，因此，有必要從系統(tǒng)穩(wěn)健性角度出發(fā)，合理進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)，提高制動(dòng)器噪聲的穩(wěn)健性。P. KAPADNIS等[9]以摩擦因數(shù)等作為噪聲因素，以制動(dòng)器系統(tǒng)復(fù)特征值實(shí)部最大化為目標(biāo)，采用田口方法和正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定具有穩(wěn)健性的參數(shù)組合方案。目前，針對制動(dòng)器某一部件的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)等進(jìn)行穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的研究仍很罕見[7]。

制動(dòng)盤是制動(dòng)器核心部件之一，工作時(shí)與制動(dòng)塊直接接觸，產(chǎn)生摩擦作用。制動(dòng)盤的模態(tài)耦合是制動(dòng)噪聲的關(guān)鍵影響因素；制動(dòng)盤的熱機(jī)耦合變形是制動(dòng)熱抖動(dòng)產(chǎn)生的重要原因，影響制動(dòng)盤的使用壽命。

筆者從工程應(yīng)用的實(shí)際出發(fā)，針對某制動(dòng)盤設(shè)計(jì)要求，提出了一種基于響應(yīng)面法的多目標(biāo)優(yōu)化/穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法。筆者建立了制動(dòng)盤多工況下的有限元模型，基于正交試驗(yàn)構(gòu)建了制動(dòng)盤的Kriging響應(yīng)面模型。為抑制制動(dòng)盤模態(tài)耦合引起的制動(dòng)噪聲、熱機(jī)耦合引起的熱抖動(dòng)，采用多目標(biāo)遺傳算法對制動(dòng)盤進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)；優(yōu)化過程中，以結(jié)構(gòu)參數(shù)公差作為噪聲因子，采用蒙特卡洛方法進(jìn)行穩(wěn)健性設(shè)計(jì)；有限元仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的可靠性。

1 制動(dòng)盤設(shè)計(jì)要求及優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

1.1 制動(dòng)盤設(shè)計(jì)要求

為預(yù)防制動(dòng)高頻噪聲和熱抖動(dòng)等現(xiàn)象，制動(dòng)盤必須滿足以下設(shè)計(jì)要求：

1)模態(tài)隔離值大于設(shè)定值。為預(yù)防制動(dòng)高頻噪聲，制動(dòng)盤面內(nèi)壓縮模態(tài)和相鄰的軸向模態(tài)隔離值要大于設(shè)定值，降低因制動(dòng)盤壓縮模態(tài)和軸向模態(tài)耦合產(chǎn)生制動(dòng)高頻噪聲風(fēng)險(xiǎn)。按照工程開發(fā)要求，對第1階和第2階面向壓縮和相鄰軸向模態(tài)隔離值必須要大于300 Hz。

2)熱翹曲變形小于設(shè)定值。熱翹曲指制動(dòng)盤在制動(dòng)過程中因摩擦生熱，溫度升高，引起其工作面整體向某一方向偏斜，失去平面度而呈圓錐化的現(xiàn)象。為避免制動(dòng)過程中出現(xiàn)因制動(dòng)盤熱變形導(dǎo)致的熱抖動(dòng)，要求制動(dòng)盤的熱翹曲變形z2-z1小于某一設(shè)定值。筆者定義熱翹曲變形為距離制動(dòng)盤外緣10 mm處與距離制動(dòng)盤內(nèi)緣10 mm處軸向的變形差值，如圖1。

圖1 制動(dòng)盤熱翹曲示意Fig. 1 Schematic diagram of brake disc thermal coning

3)散熱能力良好。制動(dòng)過程中約90%動(dòng)能通過制動(dòng)器的摩擦轉(zhuǎn)化為熱能，制動(dòng)器過熱會(huì)導(dǎo)致熱衰退、抖動(dòng)、噪聲以及異常磨損等問題。制動(dòng)器通過熱傳導(dǎo)、熱對流以及熱輻射3種傳熱方式將摩擦轉(zhuǎn)為的熱能最終傳遞到外界環(huán)境中耗散掉。筆者用冷卻系數(shù)表征制動(dòng)盤的散熱能力，冷卻系數(shù)越大，制動(dòng)盤散熱能力越好。汽車在制動(dòng)過程中產(chǎn)生的熱量可以表示為

Pin=Pstored+Pout

(1)

即制動(dòng)過程產(chǎn)生的熱量Pin等于制動(dòng)盤本身儲(chǔ)存的能量Pstored與制動(dòng)盤散發(fā)的熱量Pout之和。假設(shè)所有熱量都由摩擦生成并散發(fā)，則式(1)可寫為

(2)

將式(2)轉(zhuǎn)換為

(3)

筆者根據(jù)通用汽車公司制動(dòng)盤制動(dòng)平衡溫度的要求，推導(dǎo)出滿足該車型制動(dòng)平衡溫度的冷卻系數(shù)。計(jì)算得到制動(dòng)盤的冷卻系數(shù)在50 km/h必須大于0.003 2才能滿足制動(dòng)盤平衡溫度要求，如圖2。因通用保密規(guī)定，并未對制動(dòng)平衡工況做特定說明。

圖2 冷卻系數(shù)與制動(dòng)盤溫升關(guān)系Fig. 2 Relationship between cooling coefficient and temperaturerise of brake disc

4)單次制動(dòng)溫升小于設(shè)定值。為減小制動(dòng)過程中制動(dòng)盤溫度升高引起的熱抖動(dòng)，要求從100 km/h車速制動(dòng)到停車時(shí)制動(dòng)盤溫升不超過90 ℃。

5)滿足輕量化設(shè)計(jì)。制動(dòng)盤在滿足各種設(shè)計(jì)要求的前提下，質(zhì)量盡可能小。

1.2 制動(dòng)盤優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

考慮制動(dòng)盤設(shè)計(jì)要求，將試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面法近似建模、蒙特卡羅法與穩(wěn)健性設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合，提出基于響應(yīng)面法的制動(dòng)盤多目標(biāo)和穩(wěn)健性設(shè)計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。圖3為優(yōu)化設(shè)計(jì)流程。

流程圖說明如下：

1)明確制動(dòng)盤設(shè)計(jì)要求，確定制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)形式，建立各工況有限元模型；

2)結(jié)構(gòu)參數(shù)主效應(yīng)分析，選擇設(shè)計(jì)變量，確認(rèn)目標(biāo)函數(shù)及約束條件；

3)設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，構(gòu)建滿足精度要求的Kriging響應(yīng)面模型；

4)基于響應(yīng)面模型，采用多目標(biāo)遺傳算法對制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)；

5)多目標(biāo)尋優(yōu)過程中，考慮設(shè)計(jì)變量噪聲因子對目標(biāo)函數(shù)的影響，應(yīng)用蒙特卡洛方法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)一步進(jìn)行穩(wěn)健性尋優(yōu)；

6)優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證。

圖3 制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)多目標(biāo)/穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig. 3 Flow chart of multi-objective and robust optimal designfor brake disc

2 制動(dòng)盤多目標(biāo)優(yōu)化和穩(wěn)健性設(shè)計(jì)

2.1 制動(dòng)盤有限元模型

制動(dòng)盤的盤頸結(jié)構(gòu)、筋結(jié)構(gòu)形式對其性能有著重要影響。筆者選擇的制動(dòng)盤頸及筋的形式如圖4?；赨G三維建模軟件建立了制動(dòng)盤的幾何模型，并在Hypermesh軟件中進(jìn)行網(wǎng)格劃分。根據(jù)制動(dòng)盤的設(shè)計(jì)要求，在Abaquas和Fluent軟件中建立了相應(yīng)工況的制動(dòng)盤有限元模型。圖5為制動(dòng)盤的有限元網(wǎng)格模型。

圖4 制動(dòng)盤盤頸結(jié)構(gòu)、筋結(jié)構(gòu)形式Fig. 4 The neck and vane of brake disc

圖5 制動(dòng)盤有限元網(wǎng)格模型Fig. 5 Finite element model of brake disc

2.2 基于正交試驗(yàn)的制動(dòng)盤響應(yīng)面模型

1)設(shè)計(jì)變量選取與設(shè)置

制動(dòng)盤盤面及筋結(jié)構(gòu)參數(shù)對制動(dòng)盤的模態(tài)頻率、制動(dòng)噪音、制動(dòng)抖動(dòng)以及熱變形等都有影響。以制動(dòng)盤的模態(tài)隔離值、熱變形量、冷卻系數(shù)、單次制動(dòng)溫升以及質(zhì)量等指標(biāo)作為響應(yīng)函數(shù)，對這些結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行主效應(yīng)分析后，選取制動(dòng)盤盤面高度、外面厚度、內(nèi)面厚度、筋寬度、盤頸半徑、筋數(shù)目等為設(shè)計(jì)變量。設(shè)計(jì)變量示意如圖6，變量范圍設(shè)置見表1。

圖6 設(shè)計(jì)變量示意Fig. 6 Schematic diagram for design variables

表1 設(shè)計(jì)變量變化范圍及其水平Table 1 Range and levels of design variables

2)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在變量變化區(qū)間內(nèi)選擇模態(tài)頻率、熱翹曲變形、冷卻系數(shù)、單次制動(dòng)溫升等性能的樣本點(diǎn)，通過有限元試驗(yàn)計(jì)算得到樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，為構(gòu)建響應(yīng)面模型提供原始數(shù)據(jù)。將每個(gè)設(shè)計(jì)變量分為5個(gè)水平，設(shè)計(jì)正交矩陣，共獲得25個(gè)樣本點(diǎn)。通過有限元計(jì)算，可以得到每個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)對應(yīng)的制動(dòng)盤自由模態(tài)頻率隔離值、性能響應(yīng)以及制動(dòng)盤質(zhì)量。試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量水平設(shè)置如表1，表2、表3為正交試驗(yàn)的樣本設(shè)計(jì)方案及對應(yīng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)的部分結(jié)果。通過對正交試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行主效應(yīng)分析可知，筋寬度、外面厚度、內(nèi)面厚度對制動(dòng)盤模態(tài)隔離值、冷卻系數(shù)和單次制動(dòng)溫升影響較大，而內(nèi)面厚度對制動(dòng)熱翹曲影響較大。

表2 正交試驗(yàn)樣本設(shè)計(jì)(部分)Table 2 Partial samples of orthogonal experimental design

表3 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果(部分)Table 3 Partial results of orthogonal experimental design

3)Kriging響應(yīng)面模型

根據(jù)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果，用最小二乘法構(gòu)造Kriging響應(yīng)面模型[10]，定義如下：

(4)

(5)

式中：f(x)為以x為變量的多項(xiàng)式函數(shù)；k為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；β0、βi、βii、βij分別為常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)和交叉項(xiàng)待定系數(shù)；z(x)為服從正態(tài)隨機(jī)分布的函數(shù)。

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R([r(xi,xj)])

(6)

式中：σ2為z(x)的方差；R為相關(guān)矩陣；r(xi,xj)為相關(guān)函數(shù)。

高斯相關(guān)函數(shù)為

(7)

基于z(x)的無偏性和估計(jì)方差最小得出相關(guān)參數(shù)θl由最大可能估計(jì)給出，即在θ>0時(shí)使式(8)最大：

(8)

筆者對前述的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)分別進(jìn)行有限元分析，借助ISIGHT多學(xué)科優(yōu)化平臺(tái)進(jìn)行Kriging響應(yīng)面擬合。采用絕對系數(shù)R2、均方誤差RMSE對擬合面的精度進(jìn)行評價(jià)，如表4。

表4 Kriging響應(yīng)面精度檢驗(yàn)Table 4 Check for the accuracy of Kriging RSM

由于所關(guān)注的制動(dòng)盤性能指標(biāo)較多，因此在擬合過程中設(shè)定絕對系數(shù)R2大于0.9時(shí)，即認(rèn)為擬合的響應(yīng)面模型達(dá)到精度要求。根據(jù)郭勤濤等[11]的研究可知，當(dāng)響應(yīng)面的RMSE達(dá)到0.04時(shí)，可認(rèn)為模型精度達(dá)到要求。因此，擬合得到的響應(yīng)面模型具有可信度，可以用于后續(xù)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.3 制動(dòng)盤多目標(biāo)和穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)

選擇制動(dòng)盤冷卻系數(shù)c最大、質(zhì)量m最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，其他性能要求為約束條件，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型：

max：y1=c,y2=1/m

subject to：minfND-f1T≥300 Hz;

minfND-f2T≥300 Hz;

STC<0.25 mm;

TS<90 ℃

(9)

式中：fND為制動(dòng)盤軸向模態(tài)頻率；f1T、f2T分別為第1、2階壓縮模態(tài)頻率；STC為熱翹曲變形量；TS為單次制動(dòng)溫升。

基于制動(dòng)盤的響應(yīng)面模型，采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。考慮到制動(dòng)盤的加工過程中，各個(gè)尺寸參數(shù)需控制在一定的公差范圍內(nèi)；實(shí)際的制造公差表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，難以人為控制。因此，為提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的穩(wěn)健性，將制動(dòng)盤尺寸公差作為噪聲因子(見表5)，應(yīng)用蒙特卡洛方法[12]對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行穩(wěn)健性設(shè)計(jì)。具體地，首先進(jìn)行多目標(biāo)遺傳進(jìn)化，執(zhí)行遺傳算子后得到設(shè)計(jì)變量的更新值；設(shè)尺寸設(shè)計(jì)變量值在其公差范圍內(nèi)滿足均勻分布，則將尺寸設(shè)計(jì)變量更新值在其公差范圍內(nèi)均勻離散化，進(jìn)一步進(jìn)行最優(yōu)搜索，獲得具有穩(wěn)健性的設(shè)計(jì)變量更新值；將獲得的設(shè)計(jì)變量更新值作為新一代進(jìn)化的父代，繼續(xù)執(zhí)行多目標(biāo)尋優(yōu)，直到獲得具有穩(wěn)健性的Pareto最優(yōu)解。

表5 尺寸設(shè)計(jì)變量的公差水平Table 5 Tolerance level for dimension design variables mm

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果及驗(yàn)證

根據(jù)前述的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程及方法對制動(dòng)盤進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)，在獲得的Pareto解集中選取一組滿意的設(shè)計(jì)變量值對制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)更新設(shè)計(jì)，并進(jìn)行有限元仿真分析和驗(yàn)證。優(yōu)化前后的設(shè)計(jì)變量及性能參數(shù)值的對比如表6和表7。

表6 制動(dòng)盤優(yōu)化前后的設(shè)計(jì)變量值Table 6 Design variables of brake disc before and after optimization mm

表7 制動(dòng)盤優(yōu)化前后及有限元計(jì)算的性能參數(shù)Table 7 Brake disc performance index obtained by optimization andfinite element method

從表6可以看出，優(yōu)化后盤面高度和筋寬度的變化較大，其他變量的改變值則較小。由表7可知，優(yōu)化后冷卻系數(shù)增大約8.1%，制動(dòng)盤質(zhì)量減小約6.2%，符合優(yōu)化預(yù)期；第6階軸向模態(tài)與第1階壓縮模態(tài)、第2階壓縮模態(tài)與第8階軸向模態(tài)的隔離值都大于300 Hz，已滿足設(shè)計(jì)要求；熱翹曲變形量減小，而單次制動(dòng)溫升略有提高，但仍在可接受的范圍內(nèi)。從3 σ穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果可以看到，制動(dòng)盤冷卻系數(shù)和制動(dòng)盤模態(tài)隔離滿足3σ要求，熱翹曲和制動(dòng)盤單腳溫升滿足6σ水平。通過穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)后，不僅目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)波動(dòng)減小而且響應(yīng)分布的3σ水平落在約束界限范圍內(nèi)，大大地提高了產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證模態(tài)隔離值是否滿足要求，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果制造了制動(dòng)盤樣品，進(jìn)行了自由模態(tài)試驗(yàn)，圖7為制動(dòng)盤模態(tài)試驗(yàn)現(xiàn)場，表8為制動(dòng)盤有限元計(jì)算模態(tài)及試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果對比。

圖7 制動(dòng)盤模態(tài)試驗(yàn)現(xiàn)場Fig. 7 Modal test for brake disc

表8 制動(dòng)盤有限元計(jì)算模態(tài)及實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果Table 8 Brake disc modes obtained by finite element method and modal testHz

從表8可以看出，優(yōu)化后的制動(dòng)盤模態(tài)有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差在1%左右，在合理的誤差范圍內(nèi)，這就進(jìn)一步說明了優(yōu)化結(jié)果的可靠性。

4 結(jié) 語

筆者將制動(dòng)盤模態(tài)耦合理論、熱機(jī)耦合理論、多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)以及穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，提出了基于響應(yīng)面法的制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)多目標(biāo)和穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。從某制動(dòng)盤的工程應(yīng)用出發(fā)，明確了設(shè)計(jì)目標(biāo)及優(yōu)化流程，建立了以制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)參數(shù)為變量，設(shè)計(jì)目標(biāo)為響應(yīng)的Kriging響應(yīng)面模型，以此為基礎(chǔ)，將多目標(biāo)優(yōu)化算法和蒙特卡羅方法相結(jié)合，完成了某制動(dòng)盤結(jié)構(gòu)參數(shù)的多目標(biāo)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，優(yōu)化后的制動(dòng)盤設(shè)計(jì)要求符合預(yù)期，性能有所提高，提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可靠有效。