利用開(kāi)普勒定律研究拋物線(xiàn)軌跡天體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
——以第34 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題第2題為例

蒲存瑤 李 裔 楊 浩 蘭小剛

(西華師范大學(xué)物理與空間科學(xué)學(xué)院,四川 南充 637002)

1 引言

天體運(yùn)動(dòng)及相關(guān)知識(shí)是物理競(jìng)賽的考察重點(diǎn)之一,涉及橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)等多種運(yùn)動(dòng)軌跡.[1,2]這其中由于橢圓具有很多特殊性質(zhì),因此處理橢圓軌跡天體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的途徑比較靈活多變,學(xué)生也較為容易提出解決方案.但對(duì)于拋物線(xiàn)軌跡天體,由于此類(lèi)曲線(xiàn)不閉合,求解其運(yùn)動(dòng)時(shí)間則相對(duì)復(fù)雜些.往往需要借助微、積分等高等數(shù)學(xué)方法:首先求出位移與時(shí)間的微分關(guān)系,再對(duì)時(shí)間和位移分別積分.該方法對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的.[3,4]接下來(lái),我們以2017年第34 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題第2題為例,先簡(jiǎn)要介紹下利用積分求解拋物線(xiàn)軌跡天體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方法.再詳細(xì)介紹我們提出的一種基于開(kāi)普勒定律,運(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí),求解拋物線(xiàn)軌跡天體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方法.

2 題目

(a) (b)

(1) 彗星先后兩次穿過(guò)地球軌道所用的時(shí)間;

(2) 彗星經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)時(shí)速度的大小.

已知積分公式

-2a(x+a)1/2+C,

式中C是任意常數(shù).

解法1:由于彗星的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線(xiàn),其具有偏心率為1,機(jī)械能為0的性質(zhì),即

ε=1,E=0.

(1)

故彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為

(2)

根據(jù)彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒,[5]可得

(3)

(3)式中,V(r)=-GMm/r為系統(tǒng)的引力勢(shì)能.

當(dāng)彗星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)A時(shí),其徑向速度為0.設(shè)其到太陽(yáng)的距離為rmin,由(3)式得

(4)

由(4)式及題設(shè)條件,可得近日點(diǎn)距離為

(5)

由(3)式還可得到

(6)

設(shè)彗星由近日點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到與地球軌道的交點(diǎn)C所需得時(shí)間為Δt,對(duì)(6)式兩邊積分,并利用(5)式得

(7)

對(duì)(7)式應(yīng)用題設(shè)給出的積分公式,可得

(8)

便可求得彗星由近日點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間,其中RE、G、M皆為已知常數(shù),最后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析,可知彗星兩次穿過(guò)地球軌道所用的時(shí)間為T(mén)=2Δt≈6.40×106s.

3 進(jìn)階研究

上述求解方法要求學(xué)生必須具備一定的微積分知識(shí),且積分過(guò)程比較繁瑣.盡管在題設(shè)中已給出相關(guān)不定積分公式,但由于本題求解過(guò)程和涉及的表達(dá)式較為復(fù)雜,學(xué)生在解題過(guò)程中很難得到與參考公式形式一致的不定積分公式.此外,就解題思路而言,絕大多數(shù)中學(xué)生也不習(xí)慣采用此類(lèi)分析方法.接下來(lái),我們提出一種基于開(kāi)普勒定律,結(jié)合初等數(shù)學(xué)知識(shí),處理此類(lèi)問(wèn)題的方法.

首先,由開(kāi)普勒第二定律可知:行星與太陽(yáng)的連線(xiàn)(矢徑)在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積,[6]即vrsinθ=常數(shù).因此,可利用彗星先后經(jīng)過(guò)地球軌道上(C、D兩點(diǎn)),并相對(duì)太陽(yáng)所掃過(guò)總面積Se與彗星單位時(shí)間掃過(guò)面積Sv的比值,來(lái)計(jì)算彗星先后經(jīng)過(guò)地球軌道所用時(shí)間Δt.

如圖1(b)所示,彗星經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)相對(duì)太陽(yáng)掃過(guò)面積,可視為拋物線(xiàn)弓形區(qū)域面積(S△eDA)與三角形CDS面積(S△CDS)之差,即

Se=S△eDA-S△CDS.

(9)

由阿基米德拋物弓形面積算法可知:[7]對(duì)于任意拋物線(xiàn),若A是頂點(diǎn),CD是垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦,則拋物線(xiàn)與弦CD圍成弓形的面積就是△CDA面積的4/3倍.具體到本題中,即

其中

S△CDA=AE·CE,S△CDS=SE·CE.

(10)

令∠CSA=α,則SE=CS·cos(π-α)=-REcosα,將A、C點(diǎn)位置矢量代入曲線(xiàn)方程,可得cosα=k/RE-1.由此可得到以下關(guān)系

(11)

由(9)～(11)式,得出

(12)

(13)

由(12)、(13)式求得彗星先后兩次穿過(guò)地球軌道所用時(shí)間為

(14)

代入相關(guān)數(shù)據(jù),得出結(jié)果Δt≈6.40×106s.

4 總結(jié)

天體運(yùn)動(dòng)一直是高中物理競(jìng)賽的考察熱點(diǎn).但對(duì)于沿拋物線(xiàn)軌跡運(yùn)動(dòng)的天體,學(xué)生往往覺(jué)得比較棘手.其中一個(gè)重要的原因就是:對(duì)于拋物線(xiàn)這類(lèi)非閉合曲線(xiàn),學(xué)生缺乏足夠的高等數(shù)學(xué)知識(shí),來(lái)研究此類(lèi)天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.本文中我們提出了一種研究拋物線(xiàn)軌跡天體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方法,在求解過(guò)程中,充分的運(yùn)用了中學(xué)生熟悉的開(kāi)普勒定律,也不會(huì)涉及微、積分運(yùn)算.本方法為研究拋物線(xiàn)軌跡天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律提供了一種新思路.

此外,原參考答案中的第(3)式的表述形式,容易讓學(xué)生產(chǎn)生誤解:是否可以將動(dòng)能表示為徑向分量與切向分量的形式?但實(shí)際上,動(dòng)能是標(biāo)量,不能夠分解.因此我們建議先將該式表示為

(15)

再分別把徑向速度和切向速度代入上述表達(dá)式,得到相關(guān)結(jié)果.這樣顯得更為嚴(yán)謹(jǐn).