基于空間誤差分量Fay-Herriot模型的小域估計(jì)

李 騰，魏傳華，蘇宇楠

(中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京 100081)

一、引言

近20年來，小域估計(jì)(Small area estimation)作為抽樣調(diào)查領(lǐng)域的一種方法，得到了越來越多的重視。在理論方面，小域估計(jì)模型的設(shè)定以及有關(guān)的估計(jì)和檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷問題得到了深入的研究；在應(yīng)用方面，小域估計(jì)方法已經(jīng)被廣泛使用到了經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、環(huán)境、衛(wèi)生和流行病等多個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際問題中。有關(guān)小域估計(jì)的詳細(xì)介紹可參考Rao和Molina的著作[1]。

小域估計(jì)方法主要分為兩類：基于設(shè)計(jì)的方法和基于模型的方法?；谀Ｐ偷姆椒ㄒ蚰軌虺浞掷闷渲械妮o助信息而得到重視。一般而言，基于模型的小域估計(jì)方法所使用的模型一般分為兩類，即區(qū)域?qū)哟文Ｐ秃蛦卧獙哟文Ｐ?，其中區(qū)域?qū)哟文Ｐ褪褂幂^多的是Fay和Herriot提出的能將直接估計(jì)和未知參數(shù)聯(lián)系起來的一類隨機(jī)效應(yīng)模型，文獻(xiàn)都稱之為Fay-Herriot模型[2]，而關(guān)于該模型的理論研究可參考Yoshimori和Lahiri[3]、Benavent和Morales[4]的有關(guān)研究。

目前，在關(guān)于Fay-Herriot模型的研究和使用上大都假定了各個(gè)區(qū)域之間是不相關(guān)的。然而，很多實(shí)際問題中特別是當(dāng)區(qū)域具有空間屬性時(shí)，區(qū)域之間并不獨(dú)立，而是具有空間自相關(guān)特點(diǎn)。為了刻畫空間自相關(guān)，Singh等人最早將傳統(tǒng)Fay-Herriot模型設(shè)置為空間誤差自相關(guān)形式[5]；Pratesi和Salvati在此基礎(chǔ)上又給出了小區(qū)域估計(jì)量的表達(dá)式以及對應(yīng)均方誤差的估計(jì)[6]；更進(jìn)一步，Marhuenda等將Pratesi和Salvati的結(jié)果推廣到一類時(shí)空Fay-Herriot模型上[7]。值得注意的是，以上文獻(xiàn)關(guān)于空間效應(yīng)的刻畫都是通過空間誤差自相關(guān)形式；而不同于空間誤差自相關(guān)模型，Kelejian和Robinson提出的空間誤差分量(Spatial error component)模型是空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中用來刻畫空間自相關(guān)的另外一種常用方法。該模型將模型誤差分解為相互獨(dú)立的兩部分，即空間溢出項(xiàng)和非空間溢出項(xiàng)，能夠直接有效地刻畫觀測單元之間的相互影響，彌補(bǔ)了空間誤差自相關(guān)設(shè)定的不足[8]。為了更好地刻畫抽樣區(qū)域之間的空間相關(guān)性，本文將在傳統(tǒng)Fay-Herriot模型的基礎(chǔ)上考慮將模型誤差設(shè)定為空間誤差分量形式，提出一類空間誤差分量Fay-Herriot模型，以研究相應(yīng)的小域估計(jì)量的構(gòu)造及其性質(zhì)。

二、目標(biāo)參數(shù)估計(jì)量的構(gòu)造

(一)模型構(gòu)建

(1)

其中e為抽樣誤差，期望為0；協(xié)方差矩陣為ψ，且ψ=diag(ψi)是已知的。假設(shè)目標(biāo)參數(shù)與輔助變量之間存在某種線性關(guān)系：

θ=Xβ+Wu+ε

(2)

將上面兩個(gè)模型相結(jié)合，就可得到如下的空間誤差分量Fay-Herriot模型：

(3)

(4)

(二)參數(shù)估計(jì)

基于以上模型，根據(jù)混合線性模型的理論可知，未知固定參數(shù)β的最佳線性無偏估計(jì)量(BLUE)和隨機(jī)效應(yīng)u的最佳線性無偏預(yù)測(BLUP)分別為：

(5)

(6)

從而第i個(gè)區(qū)域目標(biāo)參數(shù)的最佳線性無偏預(yù)測估計(jì)可記為：

(7)

(8)

(三)協(xié)方差參數(shù)的估計(jì)

1.ML算法

1)計(jì)算極大似然函數(shù)：

(9)

(10)

(11)

2.REML算法

1)計(jì)算邊際似然函數(shù)：

(12)

其中P=Ω-1-Ω-1X(XTΩ-1X)-1XTΩ-1

(13)

(14)

三、小域估計(jì)量的均方誤差及估計(jì)

(一)BLUP的MSE

(15)

(16)

(17)

(二)EBLUP的MSE

(18)

因此

進(jìn)而有

(三)EBLUP的MSE估計(jì)

通過Harville和 Jeske[11]、Zimmerman和Cressie[12]的研究可得如下結(jié)論：

1.采用ML算法時(shí)小域估計(jì)量MSE的估計(jì)

2.采用REML算法時(shí)小域估計(jì)量MSE的估計(jì)

四、數(shù)值模擬

本部分采用數(shù)值模擬考察所提方法的有效性。為進(jìn)行比較，模擬實(shí)驗(yàn)分別考慮在協(xié)方差參數(shù)已知和未知的情況下估計(jì)模型參數(shù)。首先假定研究區(qū)域是邊長為m-1個(gè)距離單位的正方形，n個(gè)空間觀測單元正好在m×m個(gè)格子點(diǎn)上，考慮如下模型：

(i=1，2，…，n)

(19)

以上公式可整理為：

表1 參數(shù)β估計(jì)結(jié)果表

表2 小域估計(jì)量指標(biāo)對比表

表3 小域估計(jì)量均方誤差均值比較表

五、總結(jié)與展望

為了更好地刻畫區(qū)域之間的空間效應(yīng)，本文提出了一類空間誤差分量Fay-Herriot模型用于小域估計(jì)，并給出目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)以研究其均方誤差的估計(jì)問題，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提方法的有效性。本文結(jié)果推廣了小域估計(jì)的現(xiàn)有模型。

作為一類區(qū)域?qū)哟文Ｐ?，類似于Marhuenda等的研究[7]，本文方法同樣可以推廣到具有多個(gè)時(shí)間點(diǎn)觀測的情形。此外，呂萍和郭淡泊討論了域的樣本量分配問題，并結(jié)合小域估計(jì)模型在計(jì)劃域的情況下討論樣本量的分配問題[13]，這也是值得研究的。