擴(kuò)散的多用戶分子通信系統(tǒng)的信道容量分析

程 珍,章益銘,趙慧婷,林 飛

(浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,杭州 310023)

1 引 言

近年來,納米技術(shù)發(fā)展迅猛,這為作為納米級(jí)通信基本單元的納米機(jī)器(Nanomachine)[1]的制造鋪平了道路.由于單個(gè)納米機(jī)器的功能和通信能力相當(dāng)有限,能夠?qū)⑦@些納米機(jī)器互聯(lián)協(xié)作以便完成更復(fù)雜任務(wù)的納米級(jí)通信網(wǎng)絡(luò)[2,3]被提出.在微納米尺度上,由于電磁信號(hào)波長和天線尺寸比例等因素的限制,基于電磁的納米通信并不適用[4],而以分子作為信息傳遞載體的分子通信模型被普遍認(rèn)為最具前景的解決方案之一[5].

在分子通信中,分子可以遵循特定的路徑或由流體介質(zhì)引導(dǎo)到達(dá)目的地[6],其傳播方式通常被限制于擴(kuò)散,例如昆蟲之間通過彌漫在空氣中的信息素交流[7]或活細(xì)胞之間的鈣信號(hào)傳導(dǎo)[8].作為納米通信技術(shù)的新前沿—擴(kuò)散的分子通信(Diffusive Molecular Communication,DMC)一直受到重視和關(guān)注.在DMC中[9],發(fā)送方納米機(jī)器(Transmitter Nanomachine,TN)將被調(diào)制和編碼的信息分子釋放到流體介質(zhì)中,分子的運(yùn)動(dòng)遵循布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)則,通過自由擴(kuò)散進(jìn)入接收方納米機(jī)器(Receiver Nanomachine,RN)的接收范圍并可能被RN接收.

近年來,較多的學(xué)者對(duì)DMC模型進(jìn)行了詳細(xì)的研究.在信道模型方面,Pierobon等人[10]則是為分子通信引入了一種新的包含發(fā)射機(jī)、信號(hào)傳播、接收機(jī)三個(gè)模塊的物理端到端DMC模型,并給出了該模型的歸一化增益及時(shí)延的性能分析.對(duì)于信道噪聲,Akyildiz等人[11]為DMC的計(jì)數(shù)噪聲及分子采樣噪聲建立了物理模型和隨機(jī)模型,并評(píng)估了隨機(jī)模型捕獲產(chǎn)生噪聲的物理過程的行為能力.在信道容量方面,Kadloor等人在文獻(xiàn)[12]中提出了一個(gè)加性逆高斯噪聲信道模型,并分析了該模型信道容量的上限和下限.Kabir等人[13]針對(duì)基于分子濃度編碼的DMC模型,分析了前一個(gè)時(shí)隙對(duì)當(dāng)前時(shí)隙干擾的信道容量.而Pierobon等人[14]為DMC模型的信道容量提供了以系統(tǒng)帶寬及TN每個(gè)時(shí)隙發(fā)送的分子個(gè)數(shù)為參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.Meng[15]等人提出了二元DMC模型,考慮了多個(gè)時(shí)隙對(duì)當(dāng)前時(shí)隙的碼間干擾(Inter-symbol Interference,ISI),導(dǎo)出了使互信息最大化的最佳判決閾值.Yeh[16]等人針對(duì)端到端的多時(shí)隙ISI的DMC模型,提出了最優(yōu)檢測(cè)方案.Cheng[17]等人考慮了多時(shí)隙的ISI以及不同時(shí)隙TN發(fā)送1或0的概率不同情況下,對(duì)二元DMC模型的信道容量進(jìn)行了優(yōu)化.

在多用戶DMC模型中,多個(gè)TN共享相同信道,由于不同TN釋放相同的分子,而相同信息分子具有不可區(qū)分性,用戶間干擾(Inter-User Interference,IUI)不可避免地存在.Ergin[18]等人考慮了接收器吸收分子會(huì)飽和的情況,為多用戶DMC系統(tǒng)引入了能計(jì)算RN接收分子預(yù)期數(shù)量的分析框架.Jiang等人[19]考慮了ISI和IUI的多用戶分子通信模型,并對(duì)該系統(tǒng)比特錯(cuò)誤率性能進(jìn)行了分析,但文獻(xiàn)[19]中僅僅討論了兩個(gè)用戶以及一個(gè)碼間干擾時(shí)隙的情況,應(yīng)用場(chǎng)景相對(duì)簡單;Meng[20]等人主要考慮了多輸入多輸出(Multiple-input Multiple-output,MIMO)系統(tǒng)中IUI的干擾類型,并假設(shè)ISI可以忽略,首次分析了MIMO分子通信系統(tǒng)的誤碼率.Koo等人[21]針對(duì)2×2MIMO分子通信系統(tǒng),建立了基于ISI和鏈路間干擾(Inter-link Interference,ILI)兩種干擾類型的信道模型,提出了MIMO系統(tǒng)的檢測(cè)算法,分析了信噪比和比特錯(cuò)誤率的性能,但該論文并未對(duì)系統(tǒng)的信道容量進(jìn)行理論和仿真分析.

因此,在上述研究基礎(chǔ)上,我們研究了DMC模型在ISI和IUI兩種類型干擾及多時(shí)隙情況下的信道容量以及比特錯(cuò)誤率.首先,推導(dǎo)了ISI和IUI兩種類型干擾總和的數(shù)學(xué)表達(dá)式;其次,采用最小誤差準(zhǔn)則求得最佳判決閾值,從而得到系統(tǒng)的互信息表達(dá)式;最后,根據(jù)仿真結(jié)果,可以通過控制不同參數(shù)的值使得該系統(tǒng)的信道容量達(dá)到最大化,同時(shí)比特錯(cuò)誤率最低.這一思路,對(duì)擴(kuò)散的多用戶分子通信系統(tǒng)的研究有重要的科學(xué)意義.

2 系統(tǒng)模型

圖1為多用戶DMC系統(tǒng)拓?fù)鋱D.如圖1所示,該系統(tǒng)由M個(gè)TN構(gòu)成的信息源和一個(gè)RN組成.第i個(gè)TN,用TNi表示,它到RN中心的距離記為di,R為RN半徑.我們假定這些TN具有相同的物理特性,但這里并不討論其具體的物理結(jié)構(gòu).假設(shè)TN與RN在時(shí)間上完全同步,同時(shí)不考慮分子間的碰撞效應(yīng),這些分子一旦被RN接收后會(huì)被立即吸收,不再存在生物環(huán)境中.此外,假設(shè)所有分子被接收的事件發(fā)生在離散時(shí)間點(diǎn).分子傳輸時(shí)間被劃分為大小相同的時(shí)隙,記為t=nts.其中,t為信息傳輸?shù)臅r(shí)間,ts為每個(gè)時(shí)隙持續(xù)時(shí)間,n為所劃分的時(shí)隙的個(gè)數(shù).

圖1 多用戶DMC系統(tǒng)拓?fù)鋱D

在本文中,我們采用OOK(On-Off Keying)作為調(diào)制技術(shù).即在每個(gè)時(shí)隙開始時(shí),TNi釋放數(shù)量為Qi的分子代表發(fā)送比特1,不釋放任何分子表示發(fā)送比特0.信息分子被釋放后,經(jīng)由流體媒介自由擴(kuò)散至RN的檢測(cè)范圍.分子的運(yùn)動(dòng)遵循布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)則.我們考慮一維環(huán)境中的分子擴(kuò)散情況,在分子從釋放到進(jìn)入RN的接收范圍的擴(kuò)散過程中,描述任一個(gè)分子在t時(shí)刻之前從TNi到達(dá)RN的概率記作Fi(t),表示如下[22]:

(1)

其中,di表示兩個(gè)納米機(jī)器TNi和RN間的距離,D為生物環(huán)境的擴(kuò)散系數(shù),R為RN半徑.由上述可知,當(dāng)TNi在第(n-k)個(gè)時(shí)隙釋放分子之后,該分子在第n個(gè)時(shí)隙被RN接收的概率Pi(k)為:

Pi(k)=Fi((k+1)ts)-Fi(kts)

(2)

其中,ts為每個(gè)時(shí)隙的持續(xù)時(shí)間,k∈{1,2,…,n-1}.特別地,TNi在當(dāng)前時(shí)隙釋放的分子在當(dāng)前時(shí)隙被RN接收的概率為Pi(0)=Fi(ts).

在多用戶DMC系統(tǒng)中,分子在被釋放入流體媒介后,在忽略碰撞效應(yīng)以及不考慮它們之間相互反應(yīng)的情況下,所有分子的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的.假定TNi在第(n-k)個(gè)時(shí)隙釋放的分子在當(dāng)前第n個(gè)時(shí)隙被RN接收的數(shù)量用Ni(k)表示,根據(jù)上述公式(2)可知,Ni(k)滿足如下二項(xiàng)分布,記作:

Ni(k)～B(Qi,Pi(k))

(3)

圖2為Pi(k)與當(dāng)前時(shí)隙相差的時(shí)隙個(gè)數(shù)k的關(guān)系圖.設(shè)置D=100μm2/s,R=10μm,d=25μm,ts=1s,由圖2可知,當(dāng)Pi(k)較小,Qi充分大時(shí),二項(xiàng)分布B(Qi,Pi(k))可以用對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布N(QiPi(k),QiPi(k)(1-Pi(k)))來近似逼近,則(3)式可表示為:

Ni(k)～N(QiPi(k),QiPi(k)(1-Pi(k)))

(4)

圖2 TNi在前k個(gè)時(shí)隙釋放的分子在當(dāng)前時(shí)隙收到的概率Pi(k)與前面時(shí)隙個(gè)數(shù)的關(guān)系圖

(5)

3 多用戶DMC系統(tǒng)的信道容量分析

3.1 ISI分析

假設(shè)TNi的信息比特集用Si表示:Si={Si[1],Si[2],…,Si[n]},比特集彼此之間相互獨(dú)立.由于我們采用OOK調(diào)制技術(shù)對(duì)信息進(jìn)行編碼,即在每個(gè)時(shí)隙開始時(shí),當(dāng)Si[n]=0時(shí),TNi不釋放任何分子代表發(fā)送比特0;當(dāng)Si[n]=1時(shí),TNi在第n個(gè)時(shí)隙釋放的分子數(shù)量為Qi*Si[n]代表發(fā)送比特1.

(6)

證明:由于Si[n-k]Ni(k)在發(fā)送比特1的情況下服從N(QiPi(k),QiPi(k)(1-Pi(k)),而在發(fā)送比特0時(shí)的值等于0.因此,Si[n-k]Ni(k)的均值μ為piQiPi(k).其方差σ2的計(jì)算公式為:

σ2=E[(Si[n-k]Ni(k))2]-E[Si[n-k]Ni(k)]2

(7)

(8)

證畢.

(9)

3.2 IUI分析

(10)

(11)

(12)

(13)

3.3 信道容量分析

本章節(jié)我們將采用信息論的方法討論上述系統(tǒng)的信道容量,即信道能每秒無錯(cuò)誤傳送的最大信息量.我們首先建立基于DMC的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?然后計(jì)算TNi和RN之間的互信息,而互信息的最大值即為系統(tǒng)的信道容量.

圖3 基于DMC的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

(14)

根據(jù)信息論的知識(shí),結(jié)合公式(14)可得信道容量C的計(jì)算公式[15]如下:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中,P(H1)=pi,表示TNi發(fā)送比特1的概率,P(H0)= 1-pi代表TNi發(fā)送比特0的概率.P(z|H1)和P(z|H0)則分別對(duì)應(yīng)這兩個(gè)事件下RN收到z個(gè)分子的概率.用∧(z)表示似然比,由公式(20)可知,似然比計(jì)算公式為:

(21)

(22)

因此,根據(jù)公式(21)(22)我們可以得到似然比為:

(23)

結(jié)合公式(21)、公式(23),對(duì)等式兩邊取自然對(duì)數(shù),可得:

(24)

利用公式(24),進(jìn)一步求解z可得:

(25)

其中,η為的最佳判決閾值,即如果RN在當(dāng)前時(shí)隙收到的分子總數(shù)yi[n]≥η,則RN輸出1;如果yi[n]<η,則RN輸出0.而參數(shù)A、B、C為:

(26)

(27)

其中,Q(x)函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的互補(bǔ)累計(jì)分布函數(shù),定義如下:

(28)

(29)

4 數(shù)值結(jié)果

表1 參數(shù)取值范圍

圖5 Qj(2≤j≤4)取不同時(shí)互信息與Q1的關(guān)系

圖6 M取不同時(shí)互信息與外部噪聲方差的關(guān)系

圖7 n取值不同時(shí)互信息與先驗(yàn)概率p1的關(guān)系

圖8 M取不同時(shí)比特誤碼率與Q1的關(guān)系

圖9 d1取不同時(shí)比特誤碼率與Q1的關(guān)系

5 結(jié) 論

在本文中,我們首先通過對(duì)碼間干擾ISI以及用戶間干擾IUI的分析,得出多用戶分子通信系統(tǒng)干擾總和的表達(dá)式;然后,采用最小誤差準(zhǔn)則得出接收方納米接收器的最佳判決閾值以及系統(tǒng)的互信息;最后,通過實(shí)驗(yàn)仿真分析了不同的參數(shù)對(duì)多用戶分子系統(tǒng)中TN1與RN的信道容量和比特錯(cuò)誤率的影響.仿真結(jié)果表明,不同的參數(shù)包括TN1與RN之間的距離,TN每個(gè)時(shí)隙發(fā)送的分子數(shù),用戶數(shù)量,時(shí)隙個(gè)數(shù)以及外部噪聲對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度不同.其中,用戶數(shù)M是多用戶DMC系統(tǒng)通信效率的主要制約因素,外部噪聲也限制著系統(tǒng)的信道容量,而時(shí)隙個(gè)數(shù)n的影響則相對(duì)較小.同時(shí),我們也發(fā)現(xiàn)減小TN與RN的距離或增大TN每個(gè)時(shí)隙釋放的分子數(shù)均能提高系統(tǒng)信道容量和降低RN接收該TN的BER.