淺談對培養(yǎng)學生數(shù)學的思維能力的思考

高中數(shù)學在傳授數(shù)學知識的同時，同樣重要的是培養(yǎng)學生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的，通過有效的訓練提高學生實際生活的能力，把數(shù)學思維應用到實際生活中去，故本文在了解、理解數(shù)學思維的同時，對數(shù)學思維的培養(yǎng)進行了部分探討。

首先，數(shù)學思維具有變通性，對應的知識不一樣，思維思考方向也會不一樣，故需要學生根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活設(shè)想和解題方案。數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性。學生有善于觀察的習慣，心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)學條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

例如：求和[11·2+12·3+13·4+]……[+1n+1]，這些分數(shù)相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且[1n（n+1）=1n-1n+1]，因此，原式等于[1-12+12-13+]……[+1n-1n+1=1-1n+1]問題很快就解決了。

同時在思考問題時善于聯(lián)想，聯(lián)想以前見過的、思考過、聽過的等，聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關(guān)知識，做出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。更深層次的我們要善于將問題進行轉(zhuǎn)化，數(shù)學家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

其次，數(shù)學為何成為學生從小必須學習的科目？因為它對孩子將來的做事能力的提升等實際問題非常重要，故在學習時要注意數(shù)學思維的反思性，根據(jù)自身的情況提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信，這也是實際生活的需要。數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設(shè)，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。故加強學生思維的嚴密性的訓練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。在實際操作中，注意檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。在數(shù)學題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。同時驗算的訓練也是反思訓練的一種，驗算是解題后對結(jié)果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。養(yǎng)成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。同時在實際生活中注意對事件的反省觀察，對事件結(jié)果的核實也是生活必須的。

在遇到實際的問題時要學會獨立思考，敢于發(fā)表不同見解，受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

再次，由于數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，數(shù)學思維的嚴密性，考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤，故在學習數(shù)學時提升前因后果的意識，問題的嚴密性。

中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：概念模糊，判斷錯誤，推理錯誤概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。

例如：“函數(shù)[y=（13）-x]是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷。推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴密。

思維的嚴密性是學好數(shù)學的關(guān)鍵之一。訓練的有效途徑之一是查錯，概念的訓練，推理的訓等。概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識的前提。”數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。

例如：證明勾股定理：已知在[?ABC]中，[∠C=90°]，求證[c2=a2+b2]。

錯誤證法：在[Rt?ABC]中，[sinA=ac]，[cosA=bc]而[sin2A][+cos2A=1]，[∴（ac）2+（bc）2=1]，即[c2=a2+b2]。

錯誤分析：在現(xiàn)行的中學體系中，[sin2A+cos2A=1]這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。

第四，對每個數(shù)學問題或生活的實際問題都具有多面性，解決問題可以從不同的地方著手，故需要關(guān)注數(shù)學思維的開拓性，對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發(fā)學習數(shù)學的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學思維的開拓性主要體現(xiàn)在：

一題的多種解法：

例如：已知復數(shù)[z]滿足[z=1]，求[z-i]的最大值。

我們可以考慮用下面幾種方法來解決：①運用復數(shù)的代數(shù)形式；②運用復數(shù)的三角形式；③運用復數(shù)的幾何意義；④運用復數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）[z1-z2≤z1-z2≤z1+|z2|]；⑤運用復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關(guān)系[z22=z·z]；⑥（數(shù)形結(jié)合）運用復數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓[z1=1]與[z-i=r]有公共點時，[r]的最大值。

一題的多種解釋：

例如：函數(shù)式[y=12ax2]可以有以下幾種解釋：①可以看成自由落體公式[s=12gt2]；②可以看成動能公式[E=12mv2]；③可以看成熱量公式[Q=12RI2]。

又如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：[logaa]，[xx]，[sin2x+cos2x]，[logab·][logba]，[sec2x-tg2x]，等等。

總之數(shù)學解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。對于數(shù)學解題思維過程，G.波利亞提出了四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧。這四個階段思維過程的實質(zhì)，可以用下列八個字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。理解問題是解題思維活動的開始。轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。而數(shù)學思維能力正是實際生活事件的解決問題的理論化，數(shù)學化，所以我們在教學時需結(jié)合實際來理解數(shù)學思維，提升數(shù)學思維，從而讓學生解決實際問題的能力得到提升。

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作者簡介

何德偉，性別：男；民族：漢；學歷：本科；中學教師；工作單位：四川省石室中學。