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    可違約債券的現(xiàn)值推導(dǎo):假定利率和違約強度服從Cox—Ingersoll—Ross過程

    2018-11-12 10:58:26秦絲絲
    經(jīng)濟研究導(dǎo)刊 2018年23期

    秦絲絲

    摘 要:可違約債券定價模型在金融衍生品盛行的現(xiàn)今已大量存在。首先,假定利率和違約強度服從CIR過程,該過程可以捕捉到不確定過程的均值回歸和條件異方差性,由于其利率和收益率都非負,其瞬時利率由非中心卡方分布表示,所以要優(yōu)于Vasicek模型。但是,CIR模型的操作要難于Vasicek模型。最后,通過擴展了的D-S模型,通過引入隨機過程作為可違約票據(jù)的部分持有成本,構(gòu)造了有流動性風(fēng)險的可違約債券價格,最大限度捕捉流動性風(fēng)險的市場特征。

    關(guān)鍵詞:可違約債券;CIR模型;D-S模型

    中圖分類號:F830.91 文獻標(biāo)志碼:A 文章編號:1673-291X(2018)23-0157-02

    CDS(信用違約互換)作為信用衍生品的主流產(chǎn)品,同時也是金融市場上進行風(fēng)險管理的新工具。2018年金融風(fēng)暴的來襲提示著我們管理信用風(fēng)險已成為當(dāng)務(wù)之急。許多經(jīng)濟學(xué)家對CDS的定價模型做了不同的研究,一般在對參數(shù)做出一兩個相關(guān)的假設(shè)后,模擬金融數(shù)據(jù)、模型的相關(guān)性以及定價的解。本文主要考察信用違約互換的定價模型,基于簡化模型的原理,通過改變仿真參數(shù),假設(shè)信用違約互換與利率之間的關(guān)系與違約強度之間的關(guān)系,借助均值方差對沖方法來研究違約風(fēng)險,并通過自己的假設(shè)給出違約債券的定價公式。

    文章從基本的D-S模型入手,該模型的基本思想是用調(diào)整后的短期匯率過程R=r+λ替代普通的短期利率過程r,然后利用無風(fēng)險債券的定價模型推導(dǎo)出可違約債券的價值,基于Duffie and Singleton(1999)的風(fēng)險中性概率:

    V(t,T)=E (exp(- Rtdt)X)=E (exp(- rt+λtdt)X)

    這里的X代表不發(fā)生違約時應(yīng)該支付給債券持有人的報酬,本文將通過設(shè)定利率和違約強度都服從CIR過程來對該方法進行延伸。

    令利率r和違約概率λ都服從Cox-Ingersoll-Ross過程,首先設(shè)置三個假設(shè)。

    1.利率和違約概率都服從CIR模型:

    其中,ab>0、αβ>0反應(yīng)風(fēng)險中立過程的平衡值,wr、wλ代表標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動,ɑ、α代表均值回歸的調(diào)整速度,θ、δ是瞬時方差。

    2.無風(fēng)險利率過程和違約概率過程不相關(guān),意味著布朗運動wr和wλ也不相關(guān)。這個假設(shè)可以確保該模型最終得到一個顯示表達式。

    3.違約債券面值的恢復(fù),即如果假定當(dāng)違約發(fā)生時預(yù)期損失率w是一個外生變量,那么債券持有者可以得到(1-w)作為債券面值的一小部分。

    基于以上假設(shè)和Duffie and Singleton(1999)可以得到含有定期付款違c的可違約債券價格:

    V(r,λ,t)

    =E [c exp(- rs+λsds)dt]

    +E [exp(- rt+λtdt)]

    +E [(1-w) λtexp(- rs+λsds)](3)

    第一部分表示到期日無違約事件發(fā)生的利潤現(xiàn)值,第二部分表示到期日無違約事件發(fā)生的債券面值的現(xiàn)值,最后一部分代表違約發(fā)生時的回收價值的現(xiàn)值。為了得到該表達式的值,設(shè)置:

    由邊界條件F(T,T)=1,可以得到A(T,T)=1、B(T,T)=0。以上公式的解為:

    A(t,T)=ln( )

    B(t,T)=

    h= (14)

    由于無風(fēng)險利率和可違約概率服從相同的過程,最終的解也應(yīng)該相似,利用同樣的方法設(shè)置:

    M(λ,t)=C(t,T)exp(-D(t,T)λ)(15)

    解為:C(t,T)=ln( )

    D(t,T)=

    m= (16)

    接下來需要找到G的解,基于伊藤定理G(λ,t)應(yīng)該滿足:

    從公式(6)得到G(T,T)=λ,假設(shè):

    G(λ,t)=[M(t,T)+N(t,T)λ]exp(-F(t,T)λ)(18)

    邊界條件為M(T,T)=F(T,T)=0、N(T,T)=1,F(xiàn)(t,T)的值類似D(t,T)的值。滿足:

    基于最初的三重假設(shè)可以得到可違約債券的值為:

    V(r,λ,t)=c A(t,t)exp(-B(t,t)r)C(t,t)exp(-D(t,t)λ)dt+A(t,T)exp(-B(t,T)r)C(t,T)exp(-D(t,T)λ)+(1-w) A(t,t)exp(-B(t,t)r)(U(t,t)+V(t,t)λ)exp(-D(t,t)λ)dt(20)

    實證文獻已經(jīng)證明,收益率不能完全被信用風(fēng)險因素所解釋(Hull、Predescu、White2004),流動性風(fēng)險是收益率的另一種重要的影響因素??紤]到證券價格的流動性,低流動性的證券價格低,高收益可以補償投資人的額外風(fēng)險,超額收益被稱為流動性溢價。此外,可允許流動性效應(yīng)可以通過引入隨機過程l作為可違約票據(jù)的部分持有成本,這里僅需要增加一個額外的項目:dl=?漬(?滋-λ)dt+g dwl(意味著流動性風(fēng)險服從Vasicek模型),同時有:Q(l,t)=E [exp(- ltdt)]=K(t,T)exp(-Z(t,T)λ)

    最后得到包含流動性風(fēng)險的可違約債券的值,最初的方程(3)變?yōu)椋?/p>

    V(r,λ,t)

    =E [c exp(- rs+λs+lsds)dt]

    +E [exp(- rt+λt+ltdt)](21)

    +E [(1-w) λtexp(- rs+λs+lsds)dt]

    這種情況下可違約債券的解為:

    V(r,λ,t)=c A(t,t)exp(-B(t,t)r)C(t,t)exp(-D(t,t)λ)K(t,t)exp(-Z(t,t)l)dt+A(t,T)exp(-B(t,T)r)C(t,T)exp(-D(t,T)λ)K(t,T)exp(-Z(t,T)l)+(1-w) A(t,t)exp(-B(t,t)r)K(t,t)exp(-Z(t,t)l)(U(t,t)+V(t,t)λ)exp(-D(t,t)λ)dt(22)

    對應(yīng)的解類似于之前的模型。鑒于Duffie-Singleton模型的靈活性,這部分?jǐn)U展了D-S模型,同時構(gòu)造了有流動性風(fēng)險的可違約債券價格。假定隨機過程服從均值回歸的平方根擴散,最大限度地捕捉流動性風(fēng)險的市場特征??紤]到定價一個可違約債券的流動性風(fēng)險可以更加準(zhǔn)確地估量風(fēng)險中立的違約強度,這有利于對信用衍生品進行準(zhǔn)確定價。

    本文通過從基本的可違約債券現(xiàn)值推倒模型入手,假設(shè)利率和違約概率都遵循Cox-Ingersoll-Ross過程,并結(jié)合基于Duffie-Singleton模型的面值恢復(fù)假設(shè),來得到可違約債券的現(xiàn)值。另外,文章后續(xù)擴展了D-S模型,加入了在定價模型中存在流動性風(fēng)險的情況下可違約債券的現(xiàn)值的解,這也是論證的新穎之處。

    參考文獻:

    [1] Choudhry,M. (2006).The credit default swap basis(Vol. 45). New York,NY:Bloomberg press.

    [2] Fouque,J. P.,Sircar,R. and S lna,K.(2006). Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance,13(03),215-244.

    [3] Ericsson,J.,& Renault,O. (2006). Liquidity and credit risk. The Journal of Finance,61(05),2219-2250.

    [4] Fouque,J. P.,Sircar,R. and S lna,K.(2006). Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance,13(03),215-244.

    [責(zé)任編輯 本 然]

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