考慮電勢(shì)非線性分布的電滲固結(jié)理論

儲(chǔ) 旭

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市 200092）

0 引言

電滲法或與真空預(yù)壓、堆載預(yù)壓等的聯(lián)合工法是目前處理軟基最有效的方法之一。Casagrande于1939年第一次將電滲技術(shù)應(yīng)用于巖土工程中，提出了電力滲流的概念[1]，此后，該方法應(yīng)用于不同類(lèi)型的軟土加固中。1968年，Esrig提出了一維電滲固結(jié)理論，用于解釋電滲過(guò)程中孔隙水壓力的增長(zhǎng)與消散現(xiàn)象[2]。Wan和Mitchell于1976年在Esrig理論的基礎(chǔ)上提出電滲聯(lián)合堆載預(yù)壓的一維固結(jié)理論[3]。Shang將其擴(kuò)展到二維空間，計(jì)算分析了某一電滲工程實(shí)例，取得了不錯(cuò)的效果[4]。在他們的電滲固結(jié)理論中，均假定電滲土體中電勢(shì)分布為線性分布，但此假定與實(shí)際是有明顯的偏差的[5,6]。莊艷峰等[7]根據(jù)導(dǎo)電面積的大小，突破土體電勢(shì)線性分布的局限，提出了電滲界面電阻理論，但未能與電滲固結(jié)理論相結(jié)合。蘇金強(qiáng)等[8]根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果擬合出一個(gè)電勢(shì)分布的經(jīng)驗(yàn)公式，給出了不同邊界條件下的二維電滲固結(jié)的理論解。但由于擬合的經(jīng)驗(yàn)公式不具有普遍性，使得其適用范圍受到限制，且某些計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度較低。

由于電滲本身屬于一種電學(xué)現(xiàn)象，在不考慮電化學(xué)作用的土體中不存在自由電荷，其電勢(shì)分布符合拉普拉斯分布，故本文采用電勢(shì)的拉普拉斯分布，對(duì)現(xiàn)有的電滲固結(jié)理論進(jìn)行重新求解。通過(guò)一個(gè)電滲模型箱算例及文獻(xiàn)中的一個(gè)室內(nèi)電滲模型實(shí)驗(yàn)的數(shù)值計(jì)算，以驗(yàn)證采用電勢(shì)拉普拉斯分布的合理性。

1 電滲固結(jié)理論

1.1 基本假定

（1）土體均勻飽和，正交各向同性，土粒與水的壓縮忽略不計(jì)，土的壓縮完全由孔隙體積的減小引起；

（2）土體的水力滲透系數(shù)和電滲透系數(shù)不隨時(shí)間而改變；

（3）不考慮土體中各種濃度和熱差而引起水流，不考慮電化學(xué)反應(yīng)；

（4）電滲電極和土體接觸良好，之間沒(méi)有電壓損耗；

（5）由電勢(shì)差和水頭差引起的水流可以疊加；（6）土體中電勢(shì)分布不隨時(shí)間變化。

1.2 電勢(shì)分布方程

根據(jù)電學(xué)原理[9]，當(dāng)空間電場(chǎng)為流電場(chǎng)時(shí)，電流密度為：

式中：I為電流密度；σe為土體的電導(dǎo)；ih為水力梯度，ih=grad（H）=grad（u）/γw；γw為水的容重；σh是由于水流引起的電導(dǎo)，σh=keγw；ke為電滲透系數(shù)；ie為電勢(shì)梯度，ie=grad（φ）；φ 為土體電勢(shì)。

由于土體中水流流速很低，且 σh≤σe，式（1）中水流流動(dòng)引起的電流可忽略不計(jì)，則：

根據(jù)基本假定（6）可得：

1.3 電滲固結(jié)方程

電滲過(guò)程中，土體中的水流是由水力梯度和電勢(shì)梯度驅(qū)動(dòng)的耦合流，由基本假定（5）可知：

式中：qh為水流；kh為水力滲透系數(shù)。由Tazaghi固結(jié)理論可知：

式中：mv為土體體積壓縮系數(shù)。

對(duì)于三維固結(jié)情況，由電滲耦合流式（4）可得：

故得：

根據(jù)基本假定（1），khx=khy=khz=kh，kex=key=kez=ke。將式（6），（7），（8）代入式（9），得

設(shè)定一個(gè)虛變量ξ

根據(jù)假定（6），可將式（10）變換成為：

1.4 定解問(wèn)題

由電勢(shì)分布式（3）、電滲固結(jié)式（12）聯(lián)立組成電滲控制方程組

（1）邊界條件

式中：n為邊界的外法線方向；為哈密頓算子。

陰極排水：由于u=uc（uc為在陰極處施加的孔壓值），φ=0，則

陰極不排水：qh=0，則

陽(yáng)極排水：由于u=ua（ua為在陽(yáng)極處施加的孔壓值），φ=φmax，則

陽(yáng)極不排水：qh=0，則

透水邊界：u=ub，ub為在透水邊界施加的孔壓值，φ=φb，φb為邊界處的電勢(shì)，則

不透水邊界：

（2）初始條件：u=u0，u0為初始時(shí)刻土體中的孔壓，則

以上式（13）～式（23）構(gòu)成了一個(gè)完備的定解問(wèn)題。

1.5 定解問(wèn)題的解

土體中任意一點(diǎn)t時(shí)刻的孔壓ut：

式中：ξt表示t時(shí)刻的虛變量ξ值。

排水邊界為Ω，t時(shí)刻的土體排水率D為：

沿高度H方向t時(shí)刻的沉降S：

電滲過(guò)程中，在總應(yīng)力不變的情況下，飽和土體有效應(yīng)力的增加等于孔隙水壓力的消散。因此，t時(shí)刻土體的含水率ωt為：

式中：av為壓縮系數(shù)；Gs為土粒比重；ω0為土體初始含水率。

2 算例分析

由于電滲幾何邊界條件的復(fù)雜性，以上定界問(wèn)題的解析解不易求出，本文采用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)一電滲模型箱試驗(yàn)進(jìn)行了求解。模型箱長(zhǎng)80 cm、寬40 cm，陰極和陽(yáng)極的直徑為2 cm，陰陽(yáng)極間距60 cm，其俯視圖見(jiàn)圖1。

圖1 電滲模型箱俯視圖（單位：cm）

選取某港口工程中飽和黏土的計(jì)算參數(shù)：ke=2×10-10m2/（s·V）；kh=4.6×10-10m/s；Gs=2.75；av=1.13 MPa-1；mv=0.49 MPa-1；ω=47.4%。

2.1 電勢(shì)分布

傳統(tǒng)的電滲固結(jié)理論中，都是假設(shè)陰陽(yáng)極之間的電勢(shì)分布為線性分布，并且只能計(jì)算陰陽(yáng)極之間的點(diǎn)，如圖1中的D、B、E點(diǎn)，寬度方向其他的點(diǎn)如A、C點(diǎn)則不能進(jìn)行計(jì)算。引入電勢(shì)的拉普拉斯分布，則能計(jì)算出各個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)。在陰陽(yáng)極之間施加4 V的總電勢(shì)，計(jì)算出的土體電勢(shì)分布見(jiàn)圖2，這與Shang等的結(jié)果相近[10]。

圖2 土體電勢(shì)分布圖

圖3為分別采用非線性方法和線性方法計(jì)算出的陰陽(yáng)極之間的電勢(shì)。從圖中可以看出，由非線性方法計(jì)算出來(lái)的電勢(shì)在電極附近下降很明顯，中間部分比較符合直線分布，總體偏向折線分布。這與很多文獻(xiàn)中的電滲試驗(yàn)測(cè)得的結(jié)果一致[4,11]。

圖3 陰陽(yáng)極之間的電勢(shì)線性分布和非線性分布圖

2.2 孔壓計(jì)算

在陰陽(yáng)極之間施加4 V電壓，陰極自由排水，陽(yáng)極和邊界不排水，初始孔壓為0 Pa，計(jì)算時(shí)間為12×106s（約140 d），計(jì)算土體產(chǎn)生的孔壓。

由Esrig的電滲固結(jié)理論可知，電滲平衡時(shí)土體中的孔壓分布與電勢(shì)分布一致，電勢(shì)大小決定孔壓大小，電勢(shì)梯度的大小決定了孔壓的收斂速度。圖4為分別采用電勢(shì)非線性和線性分布計(jì)算出的典型點(diǎn)孔壓的增長(zhǎng)過(guò)程。與圖3結(jié)合起來(lái)看，B點(diǎn)位于電極中點(diǎn)，采用電勢(shì)非線性分布和線性分布計(jì)算出的電勢(shì)大小相同，但采用非線性分布計(jì)算出的電勢(shì)梯度要小于線性分布的計(jì)算值。因此，圖4（a）中采用電勢(shì)非線性分布計(jì)算出的B點(diǎn)孔壓增長(zhǎng)速度低于線性分布計(jì)算值，后期兩者逐漸接近；D點(diǎn)采用電勢(shì)非線性分布計(jì)算出的電勢(shì)大于線性分布的計(jì)算值，電勢(shì)梯度小于線性分布計(jì)算值。圖4（b）中，電勢(shì)非線性分布計(jì)算出的D點(diǎn)孔壓值初始時(shí)小于線性分布計(jì)算值，然后逐漸超出；E點(diǎn)采用非線性分布計(jì)算出的電勢(shì)和電勢(shì)梯度均小于線性分布計(jì)算值。圖4（c）中，電勢(shì)非線性分布計(jì)算出的E點(diǎn)孔壓值一直小于線性分布計(jì)算值，收斂速度也低于線性分布計(jì)算值。

同時(shí)，在電極連線之外的A、C點(diǎn)則只能采用非線性分布進(jìn)行計(jì)算，兩點(diǎn)的電勢(shì)和電勢(shì)梯度大小與B點(diǎn)相差不大，所以孔壓值也比較接近。當(dāng)t=1.2×106s時(shí)孔壓變化很小，電滲固結(jié)基本完成。

2.3 排水率計(jì)算

在本計(jì)算模型中，陰極自由排水，陽(yáng)極和邊界不排水。圖5為電滲過(guò)程中土體的排水率?？梢?jiàn)，在整個(gè)計(jì)算時(shí)間內(nèi)，土體排水率的大小逐漸衰退，當(dāng)電滲穩(wěn)定時(shí)排水率衰減至0，符合一般規(guī)律。

3 實(shí)例分析

Guy和Fabien在2002年做了一個(gè)室內(nèi)電滲固結(jié)試驗(yàn)[12,13]，試驗(yàn)數(shù)據(jù)完整，被很多文獻(xiàn)引用。下面利用本文改進(jìn)的電滲固結(jié)理論對(duì)該試驗(yàn)進(jìn)行分析。

Guy共進(jìn)行了5組實(shí)驗(yàn)，與本文研究?jī)?nèi)容相似的為編號(hào)27ET的模型試驗(yàn)，選取其作為實(shí)例進(jìn)行分析。試驗(yàn)土樣為加拿大魁北克省圣勞倫斯低地的原狀土。計(jì)算所需的土樣基本參數(shù)為：ke=2.7×10-9m2/（s·V）、kh=3×10-10m/s、av=1.5 MPa-1、mv=0.54 MPa-1、ω=49%、Gs=2.79，均直接引自原文。

電滲試驗(yàn)在一PVC材料制作而成的圓筒內(nèi)進(jìn)行，圓筒直徑為25.4 cm，高為13 cm，見(jiàn)圖6。試樣頂面、底面各設(shè)置一層土工織物作為排水層。電極為 2根陰極（C1，C2），2根陽(yáng)極（A1，A2），直徑1 cm。陰陽(yáng)極并排布置，同極之間間距10 cm，陰陽(yáng)極之間間距15 cm。陰極處的水由泵抽出，使液面保持在土體上表面以下2 cm處。土樣陽(yáng)極附近注入某種鹽溶液，用以增加陽(yáng)極附近土體的導(dǎo)電性，尤其是后期的導(dǎo)電性。

圖4 采用電勢(shì)非線性和線性分布計(jì)算出的孔壓值

圖5 電滲排水率

電滲試驗(yàn)分為兩個(gè)階段。第一階段，土體在175 kPa的上部荷載作用下固結(jié)一段時(shí)間，水通過(guò)上下兩面的土工織物排出。固結(jié)后測(cè)得試樣高度10.0 cm，有效應(yīng)力為170 kPa，故得出電滲時(shí)的土體初始孔隙水壓力為5 kPa。第二階段，上部荷載保持為175 kPa不變，陰陽(yáng)極之間施加總電壓5.25 V，電滲6 d。由于該試驗(yàn)幾何邊界的復(fù)雜性，只考慮電勢(shì)線性分布的電滲固結(jié)理論無(wú)法進(jìn)行精確計(jì)算，更無(wú)法計(jì)算出土體排水率，而采用本文中所給出的考慮電勢(shì)拉普拉斯非線性分布的電滲理論則可以進(jìn)行計(jì)算。表1為電滲固結(jié)后試樣高度與含水率的實(shí)測(cè)值和計(jì)算值，兩者很接近，誤差不超過(guò)3%。原文中給出的電滲固結(jié)后的高度通過(guò)位移計(jì)測(cè)量而得，含水率為平均含水率。

圖6 電滲模型箱俯視圖（a）和正視圖（b）

表1 電滲固結(jié)后試樣高度與含水率的實(shí)測(cè)值與計(jì)算值

Guy在原文中給出了電滲相對(duì)排水量隨時(shí)間的變化。電滲相對(duì)排水量為電滲排水量與土體總體積的比值。圖7給出了計(jì)算值和實(shí)測(cè)值的對(duì)比，從中可以看出總體相差不大。

圖7 電滲相對(duì)排水量計(jì)算值和實(shí)測(cè)值

這個(gè)實(shí)例分析表明考慮電勢(shì)非線性分布的電滲固結(jié)理論的求解精度高，這主要原因是考慮了電勢(shì)的非線性分布。此外，實(shí)驗(yàn)中的電滲排水量與垂直沉降的體積幾乎一樣，這表明土體幾乎一直處于飽和狀態(tài)，沒(méi)有垂直向的裂隙。而且試驗(yàn)過(guò)程中的電勢(shì)比較穩(wěn)定，因?yàn)樵陉?yáng)極注射了某種鹽溶液，而實(shí)際電滲工程中當(dāng)施加的電勢(shì)梯度較大時(shí)，電勢(shì)不可能有這個(gè)試驗(yàn)中那樣穩(wěn)定，尤其是電滲后期。

4 討論

本文的電滲固結(jié)理論是基于6點(diǎn)假設(shè)建立起來(lái)的，而這些假設(shè)與實(shí)際情況必然有些出入，因此，有必要進(jìn)行相應(yīng)的討論：

（1）電滲固結(jié)后期，陽(yáng)極附近的土體會(huì)逐漸由飽和狀態(tài)變成非飽和狀態(tài)，并常常伴有裂隙產(chǎn)生，這時(shí)候還采用飽和土的電滲固結(jié)理論計(jì)算顯然不符合實(shí)際。

（2）電滲過(guò)程的本質(zhì)是土體的電化學(xué)反應(yīng)，但是電滲固結(jié)理論中忽略了電化學(xué)反應(yīng)的影響。這在電滲初始和中間階段還是能接受的，但是到了后期的影響越來(lái)越明顯，產(chǎn)生離子濃度流，甚至于改變土體電阻率等各種基本性質(zhì)，這時(shí)它對(duì)電滲固結(jié)的影響很大。

（3）文中假定土體電勢(shì)分布不隨時(shí)間改變。在實(shí)際問(wèn)題中，電滲前期和中期電勢(shì)分布變化不大，后期的電勢(shì)梯度開(kāi)始逐漸變化，等勢(shì)線向陽(yáng)極靠攏，這與文中假定有一定出入。

由以上討論可以看出，電滲固結(jié)理論在初期和中期還能夠進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，但是到了后期，土體各種性質(zhì)的改變限制了電滲固結(jié)理論的應(yīng)用。所以，對(duì)于長(zhǎng)期的電滲固結(jié)計(jì)算，文中的電滲固結(jié)理論不適用。

5 結(jié)語(yǔ)

在Esrig電滲固結(jié)理論的基礎(chǔ)上，本文引入電勢(shì)的拉普拉斯分布，配合以相應(yīng)的邊界條件，構(gòu)成了一個(gè)完備的定解問(wèn)題。該固結(jié)理論可以計(jì)算復(fù)雜幾何邊界的電滲固結(jié)土體，預(yù)測(cè)土體排水量，土中任意點(diǎn)的孔壓，沉降和含水率。由于土體性質(zhì)的改變，該電滲固結(jié)理論不適用于長(zhǎng)期的電滲固結(jié)計(jì)算。

致謝：本文在微分方程的推導(dǎo)和計(jì)算中得到了南京水利科學(xué)研究院傅中志博士的大力幫助，在此表示衷心感謝！