基于離散單元法的鋁粉沖擊加載過程三維數(shù)值模擬

羅曉龍 劉 軍 田始軍 林 立 周 純

寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，寧波，315211

0 引言

高速壓制（high velocity compaction，HVC）［1?3］技術(shù)是一種新型的粉末成形技術(shù)。高速壓制技術(shù)［4］通過液壓驅(qū)動(dòng)的重錘產(chǎn)生高頻的沖擊波，在0.02 s內(nèi)將壓制能量從壓機(jī)傳遞到粉末壓坯，從而實(shí)現(xiàn)致密化。因此，金屬粉末在沖擊加載條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是該技術(shù)的主要難點(diǎn)及熱點(diǎn)。

離散單元法（discrete element method，DEM）最先用于分析研究巖土力學(xué)的相關(guān)問題，目前已廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域［5?7］。近年來，隨著三維離散元仿真技術(shù)的發(fā)展，許多領(lǐng)域的學(xué)者對(duì)三維離散元的應(yīng)用進(jìn)行了嘗試，并取得顯著成果。在粉末冶金領(lǐng)域，MARTIN等［8?9］利用離散元原理模擬了冷等靜壓和閉模壓制條件下，粉末顆粒的重排和不同顆粒硬度復(fù)合材料的壓實(shí)過程。SADD等［10］應(yīng)用離散元理論對(duì)顆粒物質(zhì)中應(yīng)力波的傳播進(jìn)行了分析。鄭洲順等［11?13］根據(jù)離散元原理對(duì)粉末的高速壓制過程進(jìn)行了一系列模擬，并取得很多成果。胡仙平等［14］利用PFC2D軟件，對(duì)碰撞過程中顆粒間的觸力傳遞及顆粒排列過程進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)在壓制過程中顆粒會(huì)在自身位置的微小區(qū)域內(nèi)振動(dòng)并轉(zhuǎn)動(dòng)。

目前，基于離散元原理對(duì)粉末沖擊壓制過程的模擬多限于二維平面模型，而實(shí)際情況下，顆粒的配位要比二維接觸中復(fù)雜得多。本文基于離散元原理，嘗試?yán)肞FC3D軟件對(duì)粉末單次沖擊加載過程進(jìn)行三維模擬，對(duì)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)所測(cè)透射波波形進(jìn)行對(duì)比，并利用模型模擬金屬粉末的單次加載過程，對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了動(dòng)態(tài)分析。

1 離散元數(shù)學(xué)模型

離散元原理是：把被研究系統(tǒng)當(dāng)作由眾多能獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的離散性單元構(gòu)成的系統(tǒng)，每個(gè)單元都具有一定的幾何特性和物理特性，單元的運(yùn)動(dòng)規(guī)則遵循經(jīng)典力學(xué)理論，每個(gè)單元都只能與相鄰的單元發(fā)生作用，材料整體的變化可由各單元之間的力與位移的關(guān)系求出。

相互接觸的2個(gè)顆粒的相對(duì)位移U可在自然軸系上被分解為法向分量un和切向分量us：

其中，n、τ分別表示法向和切向的單位矢量。因此可以確定顆粒的相對(duì)位移在法向和切向的分量：

進(jìn)而確定2個(gè)顆粒的相對(duì)速度在法向和切向上的分量：

PFC3D軟件使用的平行約束線性方程將一組具有恒定的法向剛度和切向剛度的彈性彈簧均勻地設(shè)定在兩球之間的圓形接觸面上，并將應(yīng)力集中在接觸點(diǎn)。當(dāng)相接觸的2個(gè)顆粒發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些相互平行的電接觸彈簧可以傳遞力和轉(zhuǎn)矩。根據(jù)Cundall建立的數(shù)學(xué)模型［11］，作用點(diǎn)上線性部分的作用力F同樣可分解為法向分量Fn和切向分量Fs：

模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示，gr為參考縫隙，kn、ks分別為法向和切向的剛度，βn、βs分別為法向和切向的阻尼系數(shù)，μ為摩擦因數(shù)。當(dāng)實(shí)際縫隙gc＜gr時(shí)，碰撞發(fā)生。

圖1 彈簧阻尼并聯(lián)模型Fig.1 Model of the force-displacement relationship

由圖1可以看出，法向分量由線性彈簧力和阻尼力兩部分構(gòu)成：

式中，mc為有效慣性質(zhì)量，由相互撞擊的兩球質(zhì)量ma、mb決定，mc=mamb/（ma+mb）。

式中，kˉs、kˉn分別為平行約束中法向和切向的剛度系數(shù)ˉ為兩球重疊部分截面圓形的面積；Rˉ為截面圓的半徑；θt、θb分別為扭轉(zhuǎn)和彎曲的相對(duì)角度。

通過式（2）～式（12）可以建立力與位移、力矩與角位移的關(guān)系。

2 實(shí)驗(yàn)方案

實(shí)驗(yàn)材料為-100目鋁粉，其成分見表1。由于分離式霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)設(shè)備為臥式安置，不適用于離散材料的實(shí)驗(yàn)，因此根據(jù)本次實(shí)驗(yàn)設(shè)備的尺寸設(shè)計(jì)了粉末套筒，套筒內(nèi)徑為14.6 mm，外徑為20.6 mm，與入射桿、透射桿均屬于間隙配合，如圖2所示。使用JM?B電子天平稱取粉末1 g。

表1 鋁粉中各成分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)Tab.1 Content of aluminite powder %

圖2 粉末裝粉裝置Fig.2 Device for filling powder

采用?14.5 mm分離式霍普金森壓桿測(cè)試系統(tǒng)對(duì)預(yù)壓后的粉末進(jìn)行沖擊撞擊，入射桿長1 m，透射桿長1 m，子彈長300 mm，沖擊壓力為1 MPa。使用TDS?3014C數(shù)字示波器（最高采樣頻率為1 GHz）記錄霍普金森壓桿中輸入、輸出桿上的入射波、透射波及反射波。為減小套筒內(nèi)壁的摩擦，裝入試件前在套筒內(nèi)壁噴一層脫模劑。壓制完成后，將套筒拿到MTS上面對(duì)壓坯進(jìn)行脫模。

3 模擬過程及參數(shù)選擇

使用離散元計(jì)算軟件PFC3D建立鋁粉單向沖擊壓制的三維離散元模型。PFC軟件生成大量顆粒的方式有兩種：ball generate（不容許生成的顆粒間發(fā)生重疊）和ball distribute（容許生成的顆粒間發(fā)生重疊）。為了更接近實(shí)際情況下金屬顆粒的隨機(jī)分布情況，本次模擬選擇distribute顆粒生成方式，令顆粒間分布著大小不等的作用力，經(jīng)過適當(dāng)?shù)难h(huán)計(jì)算，顆粒間的作用力被均勻分布在各顆粒之間。去除上方墻壁后，受顆粒間的作用力和重力的共同作用，顆粒會(huì)在小范圍內(nèi)發(fā)生位移，因此顆粒間產(chǎn)生了不均勻分布的縫隙，并且位于模型表層的顆粒分布凹凸不平。這樣的模型更接近實(shí)際情況。

為了便于模型尺寸參數(shù)的設(shè)定，本次模擬建立半徑為5 mm、高5 mm的圓柱形空間，內(nèi)部填充直徑為0.15 mm的17 680個(gè)圓形顆粒（圖3），壓板以10 m/s的速度沿Z軸向下運(yùn)動(dòng)。本次模擬步長設(shè)置為10-8s，壓板下行行時(shí)間25×10-6s，加載前，顆粒重排用時(shí)1 000步，加載完成后運(yùn)算時(shí)間忽略不計(jì)，總共進(jìn)行計(jì)算3 500步。模擬主要參數(shù)如表2所示。

圖3 離散元模型圖Fig.3 The 3D discrete element model

表2 模擬的主要參數(shù)Tab.2 Main parameters of the simulation

4 模擬結(jié)果及實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖4所示為在鋁粉沖擊壓制的模擬中采集到的底板中投射波的波形，該圖與分離式Hopkin?son桿撞擊試驗(yàn)中采集的透射波波形圖（圖5）基本一致。由圖4可以看出，在加載過程中，曲線呈鋸齒狀上升。不同于連續(xù)體材料，粉末材料為多孔型離散性排列，顆粒間存在著一定的空間。在高速率的加載情況下，顆粒間通過高頻率的撞擊傳遞擾動(dòng)，因此在透射波的上升過程中會(huì)看到明顯的振動(dòng)，加載前期的振動(dòng)幅度較大，會(huì)出現(xiàn)局部卸載，隨著粉末的壓實(shí)，振動(dòng)情況逐漸減弱。

圖4 透射波波形的模擬結(jié)果Fig.4 Transmission waveform of simulation

圖5 透射波波形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Transmission waveform of experiment

5 顆粒運(yùn)動(dòng)分析

選取位于模型中部、厚0.3 mm（即取兩個(gè)顆粒直徑長度。由于模型中的顆為隨機(jī)排列，選取一個(gè)顆粒直徑厚度時(shí)，區(qū)間內(nèi)顆粒過少）的垂直橫截區(qū)域，分析區(qū)間內(nèi)顆粒的速度矢量分布及變化規(guī)律，如圖6所示。1 000時(shí)步時(shí)，所有顆粒只受到重力作用，顆粒默認(rèn)速度矢量方向?yàn)榇怪狈较?。加載到1 100時(shí)步時(shí)，上層顆粒受到?jīng)_擊，由于顆粒間仍存在較大空隙，因此顆粒相互間會(huì)發(fā)生劇烈的碰撞，此時(shí)上層顆粒的速度方向分布較為混亂，而位于底層的顆粒未受到擾動(dòng)，速度方向仍為垂直向下。

圖6 不同時(shí)步時(shí)顆粒速度的分布規(guī)律Fig.6 Distribution of particle velocity at different time steps

加載到1 500時(shí)步時(shí)，區(qū)域內(nèi)顆粒已全部受到擾動(dòng)，顆粒速度方向的分布較為混亂，但可以看出，顆粒之間已初步形成剪切帶。當(dāng)加載到2 000時(shí)步時(shí)，從速度方向分布圖中已經(jīng)可以看到明顯的M型剪切帶。模型上部靠近模壁的顆粒會(huì)向模壁移動(dòng)；模型底層的顆粒受到上層顆粒的擠壓和底板的阻擋，向四周擴(kuò)散。2 500時(shí)步時(shí)，顆粒間的接觸更加緊密，速度矢量的分布更加規(guī)律。在整個(gè)壓制過程中，可以看到壓坯中顆粒速度存在分布梯度。

從側(cè)面對(duì)上述區(qū)域內(nèi)顆粒的速度矢量進(jìn)行觀察分析，如圖7所示。第1 000時(shí)步時(shí)，區(qū)域內(nèi)顆粒未受到?jīng)_擊，顆粒速度方向默認(rèn)向下。1 100時(shí)步時(shí)，顆粒已受到撞擊，上層顆粒發(fā)生橫向移動(dòng)，而下層顆粒并未受到擾動(dòng)。隨著壓制的進(jìn)行，下層顆粒逐步受到擾動(dòng)，速度方向?yàn)闄M向，而上層顆粒的速度方向正逐步向下偏轉(zhuǎn)，如圖7中1 500、2 000時(shí)步時(shí)所示。2 500時(shí)步時(shí)，顆粒間的接觸更加緊密，上部顆粒的速度矢量方向變得更加規(guī)律，垂直向下。而下部顆粒，由于受到底板的阻擋，速度仍保持橫向。

圖7 不同時(shí)步時(shí)顆粒速度的側(cè)面分布Fig.7 Side distribution of particle velocity at different time steps

6 結(jié)論

（1）粉末中顆粒的速度分布形狀為不規(guī)則的弧形，且存在分布梯度。壓制過程中可以看到明顯的剪切帶。

（2）顆粒剛受到?jīng)_擊時(shí)，其移動(dòng)方向多為橫向，隨著顆粒速度的增加，顆粒的運(yùn)動(dòng)方向會(huì)逐漸向下偏移，最終接近于垂直狀態(tài)。壓坯上部的顆粒以縱向移動(dòng)為主，而下部顆粒多為橫向移動(dòng)，因此導(dǎo)致了壓制過程中剪切帶的形成。