基于柔度矩陣主對角斜率的結構損傷識別方法*

王立憲 周宇 狄生奎 吳長

（1.蘭州理工大學西部土木工程防災減災教育部工程研究中心 730050；2.蘭州理工大學甘肅省土木工程防災減災重點實驗室 730050）

結構損傷多由于設計和建造缺陷或使用不規(guī)范等原因導致混凝土開裂、鋼筋銹蝕等多因素非線性疊加，損傷進而會體現(xiàn)在結構自振特性的退化上，并可通過結構局部或整體剛度下降來描述，良好的結構損傷識別指標可以定性、定位、定量的描述結構損傷［1］。Pandey A K和Biswas M提出柔度差法，采用損傷前后柔度矩陣做差得到柔度差矩陣，通過模型試驗及數(shù)值算例驗證柔度矩陣用于梁結構損傷識別的有效性［2－3］。Aktan A E和Zhao J均通過算例和實驗驗證了柔度指標相比于頻率和振型指標對損傷診斷有更好的敏感性［4－6］。柔度矩陣可通過較低階模態(tài)參數(shù)獲取較高的精度，較高階模態(tài)參數(shù)對柔度矩陣貢獻反而漸小，因此柔度矩陣類損傷指標可避免大量運算和有限元建模修正，諸多學者據(jù)此對基于柔度矩陣類損傷指標做了大量研究［7－10］。Ko等提出柔度矩陣改變率指標作為損傷診斷指標［11］。孫宗光等提取損傷前后柔度矩陣對角元素之間的比值求柔度矩陣變化率，用來識別斜拉橋損傷位置［12］。荊龍江和項貽強提出利用柔度矩陣主對角元素的變化絕對值判定大跨斜拉橋損傷位置［13］。曲率指標是對曲線平坦程度的衡量，包含二階導數(shù)以及平方項可放大損傷處數(shù)值差異。Zhang Z和Aktan A E提出柔度曲率的結構損傷識別指標［14］。曹暉等提出模態(tài)柔度曲率差指標［15］，并在文獻［16］里驗證了模態(tài)柔度曲率差用于框架結構損傷識別。姚京川等提出柔度曲率改變率指標用于損傷診斷［17］。李永梅等提出柔度差曲率指標，并用于不同支承條件下梁結構損傷識別研究［18，19］。彭念等通過簡支梁和兩跨連續(xù)梁數(shù)值算例驗證所提出僅基于損傷柔度曲率的損傷識別新指標［20］。

本文提出基于柔度矩陣主對角元素斜率的兩個損傷識別指標：柔度矩陣斜率差（Flexibility Slope Difference，F(xiàn)SD）、柔度矩陣差斜率（Flexibility Difference Slope，F(xiàn)DS），通過提取損傷前后柔度矩陣主對角元素，按行順序排成n×1階列向量，柔度矩陣斜率差是對列向量求一次差分得到差分向量后做差得到，柔度矩陣差斜率通過對損傷前后列向量的差向量后求一次差分得到。通過簡支梁不同位置、不同程度單點、兩點和連續(xù)梁不同程度多點損傷工況，驗證指標FDS和指標FSD識別效果并比較研究。

1 基于柔度矩陣斜率的損傷指標

斜率可以表示數(shù)列相對某一標準水平的傾斜程度和平均變化率。柔度矩陣內第i行第j列的元素為在單元j處施加單位力，單元i上產(chǎn)生位移，其主對角元素由相鄰單元貢獻疊加而成，相比其他非對角線元素有代表性。本文通過結合柔度矩陣對角元素與斜率提出柔度矩陣差斜率（FDS）指標、柔度矩陣斜率差（FSD）指標，構建方法過程如下。

1.1 構建損傷指標FSD和FDS

柔度矩陣可通過提取頻率和振型向量構建［2］：

式中：上標d代表已損傷量；上標u代表無損量；diag（·）表示取括號內矩陣主對角元素按行順序構成列向量，fii為構建列向量的柔度矩陣主對角元素。

1.2 構建柔度矩陣斜率差指標（FSD）

求損傷前后的柔度矩陣主對角元素斜率，即對diag（Fu）和diag（Fd）求一次差分，得到損傷前后主對角元素斜率列向量：

再求斜率列向量的差向量得：

取式（4）式列向量中各元素絕對值得到柔度矩陣斜率差FSD指標：

1.3 構建柔度矩陣差斜率指標（FDS）

對損傷前后柔度矩陣主對角向量求差得：

由式（6）各元素絕對值構成新的列向量Δ：

對差向量求一次差分，再取絕對值得柔度矩陣差斜率FDS指標：

1.4 識別損傷

利用上述兩種新指標，以x軸為單元號，y軸為損傷指標函數(shù)值，采用MatLab繪制損傷指標曲線圖用于損傷位置判別和損傷程度評價。通過損傷指標曲線圖的階躍畸變點位置對損傷位置進行定位識別，利用損傷指標曲線圖畸變幅值對損傷程度進行定量判別。

2 簡支梁算例

2.1 模型概況和損傷工況

本文采用有限元軟件MIDAS／Civil對簡支梁進行損傷識別，采用梁單元進行模擬。建立的簡支梁有限元模型基本參數(shù)：簡支梁長為2m，材料彈性模量取33.141GPa，材料密度取2549kg／m3，材料泊松比取0.2，梁截面尺寸為0.15m ×0.2m，截面慣性矩為1×10－4。全梁共100個梁單元，從左至右依次排列，如圖1所示。

圖1 簡支梁有限元模型Fig.1 Finite element model of a simple beam

簡支梁各損傷工況通過降低單元彈性模量的5%、10%、20%、30%、40%方式來降低局部剛度，以此模擬局部損傷相應的百分數(shù)，單元質量不變且截面不削弱。各損傷工況匯總于表1。

表1 簡支梁損傷工況Tab.1 Damage cases of a simple beam

2.2 損傷識別結果分析

使用MIDAS／Civil提取簡支梁模型損傷前后前三階模態(tài)參數(shù)并作歸一化處理，通過MatLab程序編寫柔度斜率差FSD和柔度差斜率FDS公式，處理模擬數(shù)據(jù)，并繪制FSD和FDS曲線進行分析研究。損傷指標曲線圖均以單元號作為橫坐標、損傷指標值為縱坐標，通過損傷指標曲線畸變點標識損傷位置，以畸變幅值標識損傷程度。

1.單點損傷工況

簡支梁單點損傷工況下（損傷工況見表1）損傷指標曲線如圖2～圖4所示。

圖2 簡支梁跨中單點損傷工況Fig.2 One damaged element in the mid-span

通過圖2比較FSD和FDS識別效果可以看出，兩指標曲線均在跨中處第50單元出現(xiàn)階躍畸變，且不同損傷程度呈現(xiàn)幅值差異，精確地識別了損傷的發(fā)生、損傷的位置，有效地標識了損傷程度的不同。尤其對跨中輕微損傷如5%時，該兩種指標仍可較好的識別。

圖3 簡支梁四分之三跨單點損傷工況Fig.3 One damaged element in the 3／4th span

圖4 簡支梁支座單點損傷工況Fig.4 One damaged element near the support

由圖3曲線形態(tài)特征可知，簡支梁3／4跨單點損傷工況下，柔度矩陣主對角元素在第20單元和第65單元處出現(xiàn)變化率峰值。圖3中FSD和FDS曲線在3／4跨（第75單元）處出現(xiàn)階躍畸變點，精確地指出了損傷發(fā)生的位置，對損傷程度給出了定性判別。

由圖4表明，在支座處出現(xiàn)不同程度損傷時，F(xiàn)SD和FDS曲線均在第18單元和第72單元附近出現(xiàn)峰值，F(xiàn)DS指標可以通過曲線階躍畸變點精確地識別損傷發(fā)生位置，即支座附近（第98、第99單元），通過曲線階躍畸變點處幅值標識出損傷程度差異。FSD指標僅在損傷超過20%時能準確標識階躍畸變點位置。

單點損傷工況下，F(xiàn)SD相比于FDS曲線光滑、圓潤，曲線數(shù)據(jù)不穩(wěn)定點更少，識別精度更高。由圖2～圖4可以看出，在跨中、3／4跨、支座單點損傷工況下，F(xiàn)SD損傷指標幅值分別為9.8 × 10－3、5.8 × 10－3、1.4 × 10－3，F(xiàn)DS 損傷指標幅值分別為9.8 ×10－8、5.8 ×10－8、1.4 ×10－8。損傷曲線幅值從跨中向支座呈現(xiàn)出近似線性降低趨勢，說明從對應梁跨中單元向對應支座單元的柔度矩陣主對角元素變化率下降。

2.兩點損傷工況

簡支梁在兩點損傷工況下（損傷工況見表1）損傷指標曲線如圖5～圖7所示。

由圖5中FSD和FDS曲線可以發(fā)現(xiàn)，跨中和1／4跨兩點損傷的FDS和FSD曲線均在第49單元（跨中）、第76單元（四分之三跨）處出現(xiàn)峰值和階躍畸變點，階躍畸變點位置和幅值準確標識了損傷發(fā)生的位置和損傷程度。比較圖5中FDS和FSD曲線，同一損傷程度下，跨中損傷處階躍值大于1／4跨，其損傷識別敏感性優(yōu)于1／4跨。

由圖6中FSD和FDS曲線可看出，簡支梁1／4和3／4跨兩點損傷工況下，曲線在第26單元、第74單元處同時出現(xiàn)峰值和階躍點，說明該兩個指標在該工況下識別損傷位置和程度的整體效果良好?？缰刑庪m出現(xiàn)極小值，但未出現(xiàn)階躍畸變點，所以并不影響損傷識別效果。

由圖7中FSD和FDS曲線可知，跨中和支座處兩點同時發(fā)生同等程度損傷時，曲線在跨中第50單元處出現(xiàn)階躍畸變點，畸變位置明顯且幅值大，標識了跨中不同程度損傷，但在支座附近階躍幅值較輕微，識別效果相比跨中不明顯。

圖5 簡支梁跨中 ＆ 四分之三跨兩點損傷工況Fig.5 Two damaged elements in the mid-span ＆ the 3／4th span

圖6 簡支梁四分之一 ＆ 四分之三跨兩點損傷工況Fig.6 Two damaged elements in the 1／4th span ＆ the 3／4th span

圖7 簡支梁跨中 ＆ 支座兩點損傷工況Fig.7 Two damaged elements in the mid-span ＆ near the support

兩點損傷工況下，F(xiàn)DS指標曲線的平滑性和數(shù)據(jù)穩(wěn)定性優(yōu)于FSD指標曲線。參照單點損傷識別結果可得到同樣結論，F(xiàn)SD和FDS兩個指標識別損傷的敏感性由跨中位置向支座位置呈現(xiàn)降低趨勢。

3 連續(xù)梁算例

3.1 模型概況和損傷工況

采用有限元軟件MIDAS／Civil對連續(xù)梁進行損傷識別，采用梁單元進行模擬。建立的連續(xù)梁

有限元模型基本參數(shù)：連續(xù)梁尺寸為3×2.0m，材料及截面特性同簡支梁算例。全梁共300個梁單元，從左至右依次排列，如圖8所示。

圖8 連續(xù)梁有限元模型Fig.8 Finite element model of a continuous beam

連續(xù)梁局部損傷的模擬方法與簡支梁算例相同，以降低單元剛度實現(xiàn)。損傷工況見表2。

表2 連續(xù)梁損傷工況Tab.2 Damage cases in a continuous beam

3.2 損傷識別結果分析

連續(xù)梁多點損傷工況下（損傷工況見表2）損傷指標曲線如圖9所示。

圖9 連續(xù)梁多點損傷工況Fig.9 Multiple damaged elements in a continuous beam

通過比較圖9中FSD和FDS指標曲線，可以看出兩曲線形態(tài)特征差別不大，均表現(xiàn)在左跨跨中（第50單元）、右跨1／4跨（第225單元）和3／4跨（第275單元）出現(xiàn)明顯階躍畸變，在兩負彎矩支座（第100單元和第200單元）處，指標曲線階躍畸變輕微。FSD和FDS指標應用于連續(xù)梁多點損傷識別時，在支座處損傷識別敏感性較低，但可以精確識別非支座部位損傷的位置并定性判別損傷程度。

4 結論

本文提出對提取損傷前后柔度矩陣主對角元素，先進行一次差分再求差向量得到柔度矩陣斜率差FSD損傷識別指標，同時先求差向量后做一次差分得到柔度矩陣差斜率FDS指標。通過建立簡支梁和連續(xù)梁算例，繪制FSD曲線及FDS曲線進行對比研究，驗證所提出的FSD和FDS兩個新?lián)p傷識別指標的識別效果。研究分析表明：

1.柔度矩陣斜率差（FSD）和柔度矩陣差斜率（FDS）均可作為簡支梁結構單點、兩點損傷識別指標和連續(xù)梁非支座處損傷識別指標，識別過程中可通過曲線階躍畸變點位置精確標識損傷位置，并通過畸變曲線幅值大小定性判別損傷程度。

2.FSD和FDS兩個指標對簡支梁和連續(xù)梁非支座部位不同程度損傷診斷精確度高，行之有效。簡支梁和連續(xù)梁從跨中向兩側支座呈現(xiàn)出指標識別敏感性下降趨勢，對支座處輕微損傷識別精度較低。

3.在簡支梁結構損傷識別過程中，F(xiàn)DS損傷指標曲線相對于FSD損傷指標曲線光滑，數(shù)據(jù)均勻穩(wěn)定，識別精確程度相對較高。

4.本文所提出的柔度矩陣斜率差（FSD）和柔度矩陣差斜率（FDS）在計算工作量上較柔度曲率類指標少一次中心差分，用于快速判定損傷發(fā)生、定位最危險點具有一定優(yōu)勢。