電場中非對稱高斯勢量子點(diǎn)內(nèi)極化子量子躍遷的厚度效應(yīng)

趙玉偉， 王國勝， 韓 超， 額爾敦朝魯

(河北科技師范學(xué)院 凝聚態(tài)物理研究所， 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

半導(dǎo)體量子點(diǎn)由于其重要的科學(xué)研究價值而正在成為量子信息、量子功能器件研究中的一個熱點(diǎn)領(lǐng)域[1-4]。然而，隨著技術(shù)的進(jìn)步，在本領(lǐng)域仍有一些有價值的課題亟待探討。首先，關(guān)于量子點(diǎn)存在厚度的問題：不難看出，人們對量子點(diǎn)的理論研究工作中，大多都未能考慮量子點(diǎn)的厚度所帶來的影響，其結(jié)果無疑是比較粗糙的。其次，關(guān)于量子點(diǎn)束縛勢的描寫：在許多研究中，單參量拋物勢被用來描述量子點(diǎn)中電子的束縛勢[5-8]。然而，拋物勢既沒有有限的深度也沒有范圍可言，是一種過于簡化的模型，不能很好地反映真實(shí)的束縛勢。一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果建議真實(shí)的束縛勢應(yīng)是非拋物形的阱狀勢[9]，如密度矩陣勢或非對稱三角勢[10]、高斯勢阱[11]等，其中高斯勢阱是一個很好的近似，它平滑并具有有限的勢壘和有限的寬度。Adamowski等[12]研究了在假想高斯勢阱束縛下的兩電子量子點(diǎn)系統(tǒng)，并討論了它的拋物近似。Xie[13]計算了高斯勢阱中兩電子量子點(diǎn)的能譜。谷娟等[9]利用數(shù)值矩陣對角化的方法計算了高斯勢束縛下施主中心量子點(diǎn)系統(tǒng)能譜并討論其特性。但這些工作均未考慮介質(zhì)的極化效應(yīng)。再次，關(guān)于極化效應(yīng)對電子態(tài)的影響：當(dāng)計及量子點(diǎn)厚度時，由于強(qiáng)量子受限效應(yīng)的存在，使得極化效應(yīng)表現(xiàn)得更為明顯[14-15]，毫無疑問，量子點(diǎn)厚度引起的介質(zhì)的極化效應(yīng)對量子點(diǎn)中電子態(tài)的影響不可忽視。

最近，Xiao[16]研究了RbCl反對稱高斯勢量子阱量子比特的電場效應(yīng)，Khordad等[17]研究了反對稱高斯勢量子阱中束縛極化子基態(tài)和壽命的溫度依賴性。本文在計及量子點(diǎn)厚度和氫化雜質(zhì)束縛情形下，分別選取簡諧勢和高斯勢描寫盤型量子點(diǎn)中電子的橫向束縛勢和縱向束縛勢，采用Pekar類型變分法研究了電子在外電場作用下的量子躍遷問題。本文的結(jié)果將有助于探索調(diào)控量子點(diǎn)的輸運(yùn)特性和光學(xué)性質(zhì)的途徑和方法。

2 模型與Pekar類型變分計算

考慮一個處于盤狀量子點(diǎn)中并與介質(zhì)的體縱光學(xué)聲子場相互作用的電子。建立直角坐標(biāo)系，盤的中心軸線在Oz軸上，盤的底面處于垂直于Oz軸的x-y平面上，施加沿z軸方向的電場F。采用拋物勢

(1)

(2)

描寫電子沿z軸方向的束縛勢，其中V0表示高斯勢的勢壘高度且V0>0，L表示高斯勢的束縛范圍，亦稱量子點(diǎn)的縱向受限長度或量子點(diǎn)的有效厚度。這樣，電場中量子點(diǎn)內(nèi)電子-LO聲子相互作用體系的哈密頓量可以寫為[16-17]

(3)

上式中各量的物理意義與文獻(xiàn)[16]和[17]相同。

為利用變分法得到體系的能量和波函數(shù)，首先，將哈密頓量H右邊寫成兩部分

H=H0+H′，

(4)

式中

(5)

H′=-e*zF，

(6)

然后，再討論變分函數(shù)U-1H0U在|Φ〉態(tài)中的期待值問題，按照變分原理

(7)

這里

(8)

|Φ0〉=ψ0(ρ,z)|0ph〉，

(9)

|Φ1〉=ψ1(ρ,z)|0ph〉，

(10)

其中，λ0和λ1為變分參數(shù)，ψ0(ρ,z)和ψ1(ρ,z)分別表示電子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)，|0ph〉是聲子的真空態(tài)，由bk|0ph〉=0確定。

將式(5)、(8)～(10)代入式(7)中，可分別確定變分參數(shù)fk(λ0)和fk(λ1)以及λ0和λ1。利用這些變分參數(shù)，并經(jīng)過冗長的計算，分別得到極化子的基態(tài)能量E0和平均聲子數(shù)N0以及第一激發(fā)態(tài)能量E1和平均聲子數(shù)N1如下：

(11)

E1=lim〈Φ1|U-1H0U|Φ1〉=

(12)

(13)

(14)

(15)

3 結(jié)果與討論

為了揭示電子的能量E、平均聲子數(shù)N和躍遷幾率Q隨高斯勢的勢壘高度V0和束縛勢范圍L、電場強(qiáng)度F、電聲耦合強(qiáng)度α、振蕩周期t的變化規(guī)律，我們給出了數(shù)值結(jié)果，如圖1～6所示。圖中以rp為長度單位，以F0=?ωLO/(e*rp)為電場強(qiáng)度F的單位，以(ωLO)-1為振蕩周期t的單位，以?ωLO為能量的單位。

圖1 描寫了基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)極化子平均聲子數(shù)N0和N1在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化。圖1表明，在相同條件下，N0>N1，這一結(jié)果符合統(tǒng)計物理規(guī)律。由圖1可以看出，在L的不同區(qū)域內(nèi)N0和N1隨L變化的形式有所不同：當(dāng)L較大時，N0和N1隨L的減小而單調(diào)增大。這是因?yàn)殡S著L(量子點(diǎn)的有效厚度)的減小，電聲相互作用由于粒子縱向運(yùn)動空間被壓縮而增強(qiáng)，導(dǎo)致電子周圍平均聲子數(shù)增加。其次，當(dāng)L較小時，N0和N1隨L的減小而增大至一個最大值。這是一種量子現(xiàn)象，量子點(diǎn)的厚度越小，量子尺寸效應(yīng)越加明顯[14-15]。再次，N0和N1隨L的減小而增大至一最大值后又迅速減小。這意味著當(dāng)量子點(diǎn)的厚度很薄時，體縱光學(xué)(LO)聲子效應(yīng)不再占主導(dǎo)作用，此時應(yīng)該考慮表面光學(xué)(SO)聲子或界面光學(xué)(IO)聲子效應(yīng)[20]，這超出了本文的研究范圍。由圖1還可以看出，在L給定時，N0和N1隨V0的增加而增大。這是因?yàn)榧s束勢增大，意味著介質(zhì)的極化增強(qiáng)，亦即電子周圍平均聲子數(shù)就越多。

圖1 平均聲子數(shù)N在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化

圖2 表示了極化子的基態(tài)能量E0和第一激發(fā)態(tài)能量E1在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化。由圖2可以看出，E0<0,E1<0且|E0|>|E1|，|E0|和|E1|隨L的增加而增大，增大的幅度隨L的增加而趨緩；同時，在給定L下，|E0|和|E1|隨V0的增加而增大。這是由于高斯勢函數(shù)V(z)=-V0exp[-z/(2L)]<0，而且，|V(z)|隨L(或V0)的增加而增大所致。

圖2 能量E在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化

圖3 表示了電子的躍遷幾率Q在不同耦合強(qiáng)度α下隨拋物束縛勢范圍R0(量子點(diǎn)的橫向半徑)的變化。由圖3可以看出，Q隨R0的縮小而減小。這是因?yàn)殡S著束縛勢范圍的減小，電子在x-y平面內(nèi)的受限增大，致使電子狀態(tài)的穩(wěn)定性提高而改變它的難度增大。由圖3還可以看出，當(dāng)R0較小(R0<2.0rp)時，Q隨R0的減小而減小的幅度較大，當(dāng)R0較大(R0>2.0rp)時，Q隨R0的減小而減小的幅度較小。由圖3還可以看出，在給定R0下，Q隨α的增大而減小。這是因?yàn)棣猎酱?，意味著電聲相互作用越?qiáng)，致使電子周圍聲子平均數(shù)越多，電子的自陷越深，改變電子狀態(tài)難度就越大。

圖4 描述了躍遷幾率Q在高斯束縛勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化。由圖4可以看出，在L的不同區(qū)域內(nèi)Q隨L變化的形式有所不同：當(dāng)L較大(L>1.3rp)時，Q隨L的減小而單調(diào)減小，這一結(jié)果與圖3所示的躍遷幾率Q隨拋物勢范圍R0的縮小而減小的規(guī)律相似；但是，當(dāng)L較小(L<1.3rp)時，Q隨L的減小而振蕩較小。這是一種量子現(xiàn)象，因?yàn)榘凑樟孔永碚?，束縛勢范圍L越小，量子尺寸效應(yīng)越明顯。比較圖4與圖3，不難看出，圖4給出的Q隨L的變化規(guī)律，無論從量子力學(xué)理論看，還是從實(shí)驗(yàn)結(jié)果[9]的檢驗(yàn)看，都比圖3給出的躍遷幾率Q隨拋物勢范圍R0的變化規(guī)律更加合理和符合實(shí)際。不過，當(dāng)束縛勢范圍(R0和L的取值)較大時，二者的變化規(guī)律趨于一致，這是因?yàn)楫?dāng)z/L?1時，高斯勢可以用拋物勢來近似?？傊?，對量子點(diǎn)中束縛勢下的電子態(tài)及其變化而言，不考慮量子點(diǎn)的厚度所帶來的影響，其結(jié)果無疑是比較粗糙的；與此同時，高斯束縛勢比拋物束縛勢更能精確地反映量子點(diǎn)中真實(shí)的束縛勢。由圖4還可以看出，對于給定的L，躍遷幾率Q隨勢壘高度V0的增加而減小。這是因?yàn)閂(z)<0，因此，勢壘高度V0越大，電子的能量越低，電子的狀態(tài)就越穩(wěn)定。

圖3 躍遷幾率Q在不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨拋物勢范圍R0的變化

圖4 躍遷幾率Q在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化

圖5 揭示了躍遷幾率Q在不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨電場強(qiáng)度F的變化。由圖5可以看出，當(dāng)F=0時，Q=0，這表明施加電場是電子態(tài)發(fā)生量子躍遷的必要條件。由圖5還可以看出，Q隨F的增大而振蕩變化，其規(guī)律為：從F=0開始，Q隨F的增大首先出現(xiàn)第一主極大和極小，然后依次出現(xiàn)Q的各級次極大和極小；第一主極大的峰值Qmax(對應(yīng)的電場強(qiáng)度為Fm)和峰寬明顯大于各級次極大的峰值和峰寬；而各級次極大的峰值和峰寬隨F的增大而略微收窄。這些特性預(yù)示著電場對量子點(diǎn)的輸運(yùn)性質(zhì)和光學(xué)性質(zhì)具有較強(qiáng)的調(diào)控作用。由圖5還可以看出，α對Q隨電場強(qiáng)度F的增大而振蕩變化的情形產(chǎn)生顯著影響：隨α的增大，Q-F曲線整體右移，第一主極大的峰值Qmax和峰寬隨α的增大而增加，各級次極大的峰值隨α的增大而減小，而其峰寬隨α的增大而略微增加。由此可見，在研究量子點(diǎn)中電子態(tài)的變化時不能忽略聲子(極化)效應(yīng)的影響。

圖6 表示了躍遷幾率Q在不同電場強(qiáng)度F下隨振蕩周期t的變化。由圖6可以看出，Q隨t的變化而作周期性振蕩。這是因?yàn)殡娮榆S遷幾率的時間演化規(guī)律由式(15)描寫所致，從物理上講，這是電子狀態(tài)隨時間的變化必須滿足其波動方程的必然結(jié)果。由圖6不難發(fā)現(xiàn)，Q隨t作振蕩變化的形式受到F的顯著影響：振蕩的幅度和頻率均隨電場強(qiáng)度F增大而增加(根據(jù)圖4，增加或減小與F的取值范圍有關(guān))。F對Q-t曲線的上述影響的機(jī)理分析與圖5的表述相同。

圖5 躍遷幾率Q在不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨電場強(qiáng)度F的變化

圖6 躍遷幾率Q在不同電場強(qiáng)度F下隨振蕩周期t的變化

4 結(jié) 論

本文在計及量子點(diǎn)厚度下，分別選取拋物勢和高斯勢描寫盤型量子點(diǎn)中電子的橫向束縛勢和縱向束縛勢，采用Pekar類型變分法研究了電子在外電場作用下的量子躍遷。數(shù)值結(jié)果表明:(1)高斯束縛勢比拋物束縛勢更能精準(zhǔn)反映量子點(diǎn)中電子真實(shí)的束縛勢；(2)量子點(diǎn)的厚度對電子躍遷幾率所帶來的影響不僅重要，而且有趣并具有實(shí)際意義；(3)電子的躍遷幾率Q對電聲耦合強(qiáng)度α、電場強(qiáng)度F、非對稱高斯勢的勢壘高度V0和范圍L的變化都很敏感。本文的結(jié)果有助于進(jìn)一步探討利用這些物理量調(diào)控量子點(diǎn)的輸運(yùn)特性和光學(xué)性質(zhì)的用途和方法。