非線(xiàn)性耦合Klein-Gordon方程組的精確行波解與分支

汪春江， 舒 級(jí)， 李 倩， 王云肖， 楊 袁

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

一直以來(lái)，非線(xiàn)性現(xiàn)象都是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)注的主題，對(duì)于非線(xiàn)性演化方程的精確解研究在數(shù)學(xué)物理上有著重大作用，常系數(shù)方程［1-3］、變系數(shù)方程［4-5］、隨機(jī)方程［6-7］的精確解已經(jīng)被廣泛研究，并給出了很多研究精確解的方法，如逆散映射法［8-9］、Backlünd 變換［10-11］、達(dá)布變換［12］、齊次平衡法［13］、（G′／G）- 展開(kāi)法［14］等.

本文考慮帶有標(biāo)量場(chǎng)ν的非線(xiàn)性耦合Klein-Gordon方程組

解方程組（1）有很多方法，例如，雙曲正切法［15］、首次積分法［16］等.應(yīng)用這些方法可以得到許多類(lèi)型的精確解.在這里，將應(yīng)用動(dòng)力系統(tǒng)方法來(lái)獲得方程組（1）的行波解的分支與相圖.

本文運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論，在相平面（φ，y）中得到了行波系統(tǒng)的所有分支與相圖，而且所有精確行波解與方程組（1）的相圖軌道相關(guān).與此同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)方程組（1）有孤立波解、周期波解［17］，而且所有行波解都是參數(shù)表示形式.在物理上，這2類(lèi)解有不同的意義，其中孤立波解表示方程的波函數(shù)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有一個(gè)波峰或波谷，而周期波解則表示波函數(shù)以某個(gè)周期在運(yùn)動(dòng).

1 行波系統(tǒng)

首先作行波變換：

u（x，t）＝ φ（ξ）， v（x，t）＝ ψ（ξ）， ξ＝ （x-λt），其中，λ2≠1.將行波變量 ξ＝x-λt代入方程組（1），得到

對(duì)方程組（2）第一個(gè)方程的ξ進(jìn)行積分得到

其中，c1是積分常數(shù).

將方程（3）代入到方程組（2）第一個(gè)方程得到

于是方程組（2）等價(jià)于平面可積系統(tǒng)

假設(shè) u（x，t）＝φ（ξ）是方程組（1）在（-∞，+∞）上的連續(xù)解，并且

則下面2個(gè)結(jié)論是眾所周知的：

（i）當(dāng) α ＝ β 時(shí)，稱(chēng) u（ξ）是孤立波解；

（ii）當(dāng) α≠β 時(shí)，稱(chēng) u（ξ）是扭波解.

一般來(lái)說(shuō)，方程組（1）的一個(gè)孤立波解對(duì)應(yīng)著方程組（5）的同宿軌道；方程組（1）的一個(gè)扭波解對(duì)應(yīng)著方程組（5）的異宿軌道；方程組（1）的一個(gè)周期波解對(duì)應(yīng)著方程組（5）的周期軌道.因此，為了考察方程組（1）的孤立波和扭波的所有分支，就必須找出Hamilton系統(tǒng)（5）在參數(shù)空間（λ，c1）下對(duì)應(yīng)的周期環(huán)、同宿和異宿軌道.在我們的研究中，平面動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論［18-21］起著重要的作用.

2 Klein-Gordon方程組的分支與相圖

下面研究平面Hamilton系統(tǒng)（5）的分支集和相圖.顯然，在（φ，y）-平面上，系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)

若（φi，0）是系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)，則在這一點(diǎn)處系統(tǒng)（5）所決定的Jacobi行列式為

根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論，如果J（φi，0）＜0，稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)；如果 J（φi，0）＞0 且Trace（M（φi，0））＝0，稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)為中心點(diǎn)；如果J（φi，0）＞0 且（Trace（M（φi，0）））2-4J（φi，0）＞0，稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)；如果 J（φi，0）＝0且這個(gè)平衡點(diǎn)的 Poincaré指數(shù)為 0，稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)為尖點(diǎn)［22］.

接下來(lái)，對(duì)參數(shù)λ、c1的不同情況進(jìn)行討論.

情形 1 c1＞1.

a）當(dāng) λ∈（1，2c1-1）時(shí)，有3 個(gè)平衡點(diǎn)：

把這3個(gè)根分別帶入（9）式的線(xiàn)性化系統(tǒng)的行列式，得到：

圖1 當(dāng) c 1＞1，λ∈（1，2c 1-1）時(shí)，系統(tǒng)（5）的相圖Fig.1 When c 1＞1，λ∈（1，2c 1-1），phase portraits of the system （5）

b）當(dāng)λ∈（-∞，1）∪［2c1-1，+∞）時(shí)，有1個(gè)平衡點(diǎn)φ1＝0，把這個(gè)根帶入系統(tǒng)（5）的線(xiàn)性化系統(tǒng)的行列式，得到

此時(shí)，系統(tǒng)（5）有 1 個(gè)鞍點(diǎn)（0，0）.在點(diǎn)（0，0）周?chē)嬖跓o(wú)數(shù)個(gè)周期軌道.這表明方程組（1）有無(wú)數(shù)個(gè)周期解，見(jiàn)圖2.

情形 2 c1＜1.

圖2 當(dāng) c 1＞1，λ∈（-∞，1）∪［2c 1-1，＋∞）時(shí)，系統(tǒng)（5）的相圖Fig.2 When c 1＞1，λ∈（-∞，1）∪［2c 1-1，＋∞），phase portraits of the system （5）

圖3 當(dāng) c 1＜1，λ∈（2c 1-1，1）時(shí)，系統(tǒng)（5）的相圖Fig.3 When c 1＜1，λ∈（2c 1-1，1），phase portraits of the system （5）

b）當(dāng) λ∈（-∞，2c1-1］∪（1，+∞）時(shí)，有1個(gè)平衡點(diǎn)φ1＝0，把這個(gè)根分別帶入系統(tǒng)（5）的線(xiàn)性化系統(tǒng)的行列式，得到

此時(shí)，系統(tǒng)（5）有 1 個(gè)鞍點(diǎn)（0，0）.在點(diǎn)（0，0）周?chē)嬖跓o(wú)數(shù)個(gè)周期軌道.這表明方程組（1）有無(wú)數(shù)個(gè)周期解，見(jiàn)圖4.

圖4 當(dāng) c 1＜1，λ∈（-∞，2c 1-1］∪（1，＋∞）時(shí)，系統(tǒng)（5）的相圖Fig.4 When c 1＜1，λ∈（-∞，2c 1-1］∪（1，＋∞），phase portraits of the system （5）

3 Klein-Gordon方程組的所有行波解

由于上述情形2的精確解與情形1類(lèi)似，只討論情形1的情況.通過(guò)系統(tǒng)（5）與Hamilton函數(shù)的計(jì)算，得到了下列結(jié)果.

情形 1 c1＞1，λ∈（1，2c1-1）.

（i）根據(jù) H1（φ，y）＝h，h∈（h3，0）所定義的系統(tǒng)（5）的2簇周期軌道，可得到

從而得到周期軌道的參數(shù)表達(dá)式

（ii）根據(jù) H1（φ，y）＝h，h＝0 所定義的系統(tǒng)（5）的2個(gè)同宿軌道，可得到參數(shù)表達(dá)式

（iii）根據(jù) H1（φ，y）＝ h，h∈（0，∞）所定義的系統(tǒng)（5）的周期軌道，得到

情形 2 c1＞1，λ∈（-∞，1）∪［2c1-1，+∞）.

根據(jù) H1（φ，y）＝h，h∈（0，∞）所定義的系統(tǒng)（5）的周期軌道（包含了平衡點(diǎn)（0，0）），有

從而得到參數(shù)表達(dá)式

下面的圖5～8為精確解（12）在參數(shù)c、λ取不同值下的行波解圖.

圖5 當(dāng) c 1＝2，λ＝2時(shí)，精確解（12）的 φ（ξ）Fig.5 When c 1＝2，λ＝2，φ（ξ）of exact solution（12）

圖6 當(dāng) c 1＝2，λ＝2時(shí)，精確解（12）的 ψ（ξ）Fig.6 When c 1＝2，λ＝2，ψ（ξ）of exact solution （12）

圖7 當(dāng) c 1＝ -1，λ＝ -2時(shí)，精確解（12）的 φ（ξ）Fig.7 When c 1＝ -1，λ＝ -2，φ（ξ）of exact solution （12）

圖8 當(dāng) c 1＝ -1，λ＝ -2時(shí)，精確解（12）的 ψ（ξ）Fig.8 When c 1＝ -1，λ＝ -2，ψ（ξ）of exact solution （12）

4 結(jié)論

本文在諸多學(xué)者和專(zhuān)家研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)分支理論得到了關(guān)于參數(shù)c1、λ在不同取值下，耦合非線(xiàn)性 Klein-Gordon方程組的行波解的分支與相圖，并利用這些分支、相圖進(jìn)一步得到所研究方程的2種形式的精確行波解，包括孤立波解和周期波解.這些結(jié)果可能對(duì)研究更加復(fù)雜的物理現(xiàn)象有一定的幫助.下一步，將利用平面動(dòng)力系統(tǒng)分支理論對(duì)非線(xiàn)性演化方程組中方程的條件以及方程的個(gè)數(shù)做深一步的研究.