極坐標(biāo)與參數(shù)方程的解題策略

袁娟 于真靈

近幾年高考數(shù)學(xué)全國卷中的極坐標(biāo)與參數(shù)方程，通常與直線方程、網(wǎng)的方程、網(wǎng)錐曲線等知識(shí)相結(jié)合，考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合的思想方法以及考生的運(yùn)算求解能力.

題型1：把極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，把參數(shù)方程化成普通方程

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.

（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程.

（Ⅱ）求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo).（ρ≥0，0≤θ<2π）

解題規(guī)律 若只是涉及簡單的坐標(biāo)互化，將方程互化；若涉及兩圓外切、內(nèi)切問題，往往先把曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化成普通方程，轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題處理.

題型2：利用極坐標(biāo)中ρ的幾何意義設(shè)題

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，網(wǎng)C₁的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），圓C₂與圓C₁外切于原點(diǎn)O，且兩圓圓心的距離|C₁C₂|=3，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求圓C₁和網(wǎng)C₂的極坐標(biāo)方程.

（Ⅱ）過點(diǎn)O的直線l₁，l₂與圓C₂異于點(diǎn)O的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)D，與圓C₁異于點(diǎn)O的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)B，且l₁⊥l₂，求四邊形ABCD面積的最大值.

解 （Ⅰ）由圓C₁的參數(shù)方程{x=-1+cost，

y=sint （t為參數(shù)），可得（x+1）₂+y₂=1，所以點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（-1，0），r₁=1.由圓C₂與圓C₁外切于原點(diǎn)O，且兩圓圓心的距離|C₁C₂|=3，可得點(diǎn)C₂的坐標(biāo)為（2，0），r₂=2，則圓C₂的方程為（x-2）₂+y₂=4.

由{x=ρcosθ，

y=ρcosθ，可得網(wǎng)C₁的極坐標(biāo)方程為ρ：-2cosθ，網(wǎng)C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.

（Ⅱ）由已知可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ρ₁，θ），則由l₁⊥l₂，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ρ₂，θ+π/2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為

解題規(guī)律 當(dāng)涉及距離問題時(shí)，如果題中給出的是極坐標(biāo)方程，用常規(guī)方法不好處理時(shí)，常常想到利用極坐標(biāo)中ρ的幾何意義：極坐標(biāo)系的點(diǎn)P（ρ，θ）中的ρ表示點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的距離|OP|，即|OP|=ρ.

題型3：利用直線的參數(shù)方程中的幾何意義設(shè)題

例3 已知曲線C₁的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α<π），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為

（I）若極坐標(biāo)為

的點(diǎn)A在曲線C₁上，求曲線C₁與曲線C₂的交點(diǎn)坐標(biāo).

（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，3），且曲線C₁與曲線C₂交于B，D兩點(diǎn)，求|PB|·|PD|.

解 （Ⅰ）點(diǎn)

對應(yīng)的直角坐標(biāo)為（1，1）.由曲線C₁的參數(shù)方程，可知曲線C₁是過定點(diǎn)（-1，3）的直線，故曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0，而曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x₂+y₂-2x-2y=0.聯(lián)立方程得

故曲線C₁與曲線C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，2）.

（Ⅱ）由判斷可知點(diǎn)P在C₁上，將代入方程x₂+y₂-2x-2y=0，可得t₂-4t（cosα-sinα）+6=0.設(shè)點(diǎn)B，D對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|.又t₁t₂=6，所以|PB|·|PD|=|t₁|·|t₂|=|t₁t₂|=6.

解題規(guī)律 當(dāng)涉及距離問題時(shí)，如果題中給出的是直線或直線的參數(shù)方程，用常規(guī)方法不好處理時(shí)，常常想到利用直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）中t的幾何意義，即|t|=|P₀P|.使用該直線的參數(shù)方程時(shí)，直線上任意兩點(diǎn)P₁，P₂對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則：①|(zhì)P₁P₂|=|t₁-t₂|；②線段P₁P₂的中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為1/2（t₁+t₂）.