球冠狀凹陷對(duì)圓柱殼軸向臨界載荷的影響

潘力，李美求，池道

(長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

無縫鋼管焊接而成的導(dǎo)管架[1,2]主要是用來支撐海洋平臺(tái)上部結(jié)構(gòu)，以承受軸向載荷為主。導(dǎo)管架式海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)[3]在服役期間，其結(jié)構(gòu)會(huì)因各種損傷使得承載能力發(fā)生變化[4,5]。結(jié)構(gòu)凹陷[6]是常見的損傷之一，通常是結(jié)構(gòu)在制造 、拖運(yùn)和安裝過程中由于碰撞產(chǎn)生，也可能是結(jié)構(gòu)在服役期間因重物掉落或船舶停靠碰撞[7]造成。結(jié)構(gòu)凹陷嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的安全性和完整性[3]，凹陷損傷結(jié)構(gòu)極限承載能力[8]對(duì)服役結(jié)構(gòu)體系的安全檢測(cè)、評(píng)定[9,10]意義重大。

然而，目前對(duì)于球冠狀凹陷半徑、深度及位置對(duì)圓柱殼軸向臨界載荷影響的研究還比較少。為此，筆者通過線性屈曲分析模塊數(shù)值模擬球冠狀凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度對(duì)圓柱殼軸向臨界載荷的影響，并且擬合球冠狀凹陷對(duì)圓柱殼軸向臨界載荷的計(jì)算公式。

1 球冠狀凹陷模型

圖1 球冠狀凹陷模型

球冠狀凹陷模型如圖1所示，其中，凹陷位置用凹陷中心離固定端面的距離用ξ表示，凹陷半徑用R表示，凹陷深度用H表示，圓柱殼長(zhǎng)度用L表示。忽略凹陷區(qū)域壁厚的變化。

歐拉公式廣泛用于未受損圓柱殼受軸向外壓的穩(wěn)定性求解，其一般形式為：

(1)

空心圓柱極慣性矩I計(jì)算公式為：

(2)

式中，σcr代表軸向應(yīng)力，MPa；Fcr代表軸向臨界壓力，N；A代表徑向截面積，m2；E代表彈性模量，GPa；I代表極慣性距，m4；μ代表長(zhǎng)度系數(shù)；D代表外徑，mm；α代表內(nèi)外徑比值。

圓柱殼長(zhǎng)度可能對(duì)仿真結(jié)果精確性有影響，確定合適的長(zhǎng)度值來降低仿真誤差。構(gòu)造以2600mm作為第1項(xiàng)，公差為200mm的圓柱殼長(zhǎng)度等差數(shù)列。圓柱殼失穩(wěn)仍處于線彈性階段，用線性屈曲分析模塊對(duì)圓柱殼進(jìn)行屈曲仿真。建立模型并導(dǎo)入Ansys Workbench中，對(duì)導(dǎo)入的模型劃分網(wǎng)格，在模型一端施加固定約束，另一端僅保留軸向自由度，在Loads中對(duì)軸向自由度端面施加pressure為1MPa，圓柱殼長(zhǎng)度增加使得承載能力降低，為了使圓柱殼保留一定的承載能力，僅求解前7項(xiàng)，仿真與歐拉公式得到的軸向臨界載荷結(jié)果如表1所示。

由表1可知，仿真與歐拉公式結(jié)果相差不大，仿真比較準(zhǔn)確。當(dāng)圓柱殼長(zhǎng)度為3200mm時(shí)，兩者相差最小，因此將圓柱殼長(zhǎng)度L設(shè)定為3200mm。

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)軸向臨界載荷的影響

對(duì)于球冠狀凹陷，其R應(yīng)不小于H，且球冠狀凹陷的深度太深會(huì)導(dǎo)致仿真模型與實(shí)際不符，將最大凹陷深度取為圓柱殼外徑的一半，凹陷深度太淺會(huì)導(dǎo)致軸向臨界載荷變化太小，最小深度取10mm。當(dāng)凹陷深度一定，凹陷半徑增加，凹坑的形狀變化率逐漸減小，凹陷半徑R的值達(dá)到150mm時(shí)，R繼續(xù)增加，球冠狀凹陷的形狀變化不大，取凹陷半徑R的最大值為150mm。凹陷太靠近圓柱殼兩端，會(huì)使得凹陷缺失，失去了與其他凹陷的對(duì)比作用，因此球冠狀凹陷中心離固定端面的距離不能離兩端部太近。

2.1 凹陷位置對(duì)軸向臨界載荷的影響

取凹陷半徑R為30、90、150mm，凹陷深度H為10、20、30mm，距離ξ取200、600、1000……、3000mm，屈曲仿真得到的軸向臨界載荷結(jié)果如圖2所示。

圖2 ξ對(duì)臨界載荷的曲線

據(jù)圖2可知，H、R不變，ξ變化使得臨界載荷變化近似呈現(xiàn)正弦規(guī)律，9條臨界載荷曲線兩兩相交，有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)大致在波峰處。波峰區(qū)域是圓柱殼對(duì)凹陷最不敏感的區(qū)域，波谷區(qū)域臨界載荷處于臨界載荷曲線最低點(diǎn)，以此推斷波谷區(qū)域是圓柱殼對(duì)凹陷最敏感的區(qū)域。H、R取不同值，ξ變化對(duì)臨界載荷的影響程度不同，H、R越大，在同一位置對(duì)軸向臨界載荷的影響程度越大。承受軸向載荷的圓柱殼對(duì)缺陷的敏感程度與凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度有關(guān)，最敏感區(qū)域和最不敏感區(qū)域不隨凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度的變化而變化。

2.2 凹陷半徑對(duì)軸向臨界載荷的影響

為了更好地反映凹陷半徑變化對(duì)臨界載荷的影響規(guī)律，將凹陷建立在圓柱殼對(duì)凹陷最敏感的區(qū)域之一，取ξ為2000mm，凹陷深度H為10、20、30mm時(shí)，凹陷半徑R在30、90、150mm變化，屈曲仿真得到的軸向臨界載荷結(jié)果如圖3所示。據(jù)圖3可知，3條曲線在R變化下呈現(xiàn)同一規(guī)律：隨著R變化，軸向臨界載荷先迅速減小，隨后逐漸穩(wěn)定,曲線進(jìn)入穩(wěn)定的快慢不同，H越小，越容易達(dá)到穩(wěn)定。H不同，R變化對(duì)臨界載荷的影響程度不同，H越大，R對(duì)臨界載荷的影響也越大。

2.3 凹陷深度對(duì)軸向臨界載荷的影響

圓柱殼對(duì)凹陷的最敏感區(qū)域與最不敏感區(qū)域僅與凹陷位置有關(guān)，為了更好的反應(yīng)凹陷深度變化對(duì)臨界載荷的影響，將凹陷建立在圓柱殼對(duì)凹陷最敏感的區(qū)域之一，取ξ為2000mm，凹陷半徑R為30、90、150mm時(shí)，凹陷深度H在10、20、30mm變化，屈曲仿真得到的軸向臨界載荷結(jié)果如圖4所示。據(jù)圖4可知，3條曲線在H變化下呈現(xiàn)同一規(guī)律：隨著H逐漸變大，軸向臨界載荷值逐漸變小，變化率越來越快。R不同，H變化對(duì)臨界載荷的影響程度不同，R越大，H對(duì)臨界載荷的影響也越大。

圖3 R對(duì)臨界載荷的影響曲線 圖4 H對(duì)臨界載荷的影響曲線

3 受損圓柱殼軸向臨界載荷表達(dá)式的擬合與驗(yàn)證

無凹陷圓柱殼軸向臨界載荷計(jì)算較多的運(yùn)用線性小擾度屈曲理論，運(yùn)用該理論對(duì)于凹陷損傷的圓柱進(jìn)行穩(wěn)定性求解，必然會(huì)導(dǎo)致較大的誤差。在上述仿真數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出適用于球冠狀凹陷對(duì)圓柱殼受的軸向臨界載荷計(jì)算公式。

3.1 受損圓柱殼臨界載荷表達(dá)式的擬合

ξ的變化使得軸向臨界載荷曲線接近正弦曲線，用Matlab擬合工具箱選擇Fourier對(duì)臨界載荷表達(dá)式進(jìn)行擬合，表達(dá)式的基本形式如式(3)所示：

f(x)=a0+a1cos(xw)+b1sin(xw)

(3)

式中，x是變量，代表距離ξ；f(x)是x的函數(shù)，代表臨界載荷。

將R、H對(duì)應(yīng)的ξ值及軸向臨界載荷代入式(3)，擬合得到的結(jié)果如表2所示。

表2 a0、a1、b1、w的計(jì)算結(jié)果

據(jù)表2可知，當(dāng)凹陷半徑相同時(shí)，隨著凹陷深度增加，a0、a1、的值逐漸變小，b1的值逐漸變大，w在0.0027附近波動(dòng)。當(dāng)凹陷深度相同時(shí)，隨著凹陷半徑增加，a0的值不變，a1的值逐漸變小，b1的值逐漸變大，w在0.0027附近波動(dòng)。

因w在0.0027附近波動(dòng)，將w取為0.0027，H為10 mm時(shí)a0、a1、b1與R的關(guān)系如下：

fa0(R)=159

(4)

fa1(R)=-0.2R0.4

(5)

fb1(R)=0.045R0.4

(6)

R不變，H變化，計(jì)算a0、a1、b1值與10 mm所對(duì)應(yīng)的a0、a1、b1值的比例關(guān)系，分別用ka 0、ka 1、kb 1表示，結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖7 kb1系數(shù)圖譜

將式(4)～(6)及ka 0、ka1、kb 1代入式(3)中，得到凹陷圓柱殼的軸向臨界載荷表達(dá)式如式(7)所示：

(7)

3.2 受損圓柱殼臨界載荷表達(dá)式驗(yàn)證

參照ξ、R、H的變化范圍選擇ξ、R、H的值，分析結(jié)果與擬合結(jié)果如表3所示。

表3所示絕對(duì)誤差普遍在1.0%～2.0%，最大絕對(duì)誤差為4.45%，平均絕對(duì)誤差為1.5%，滿足工程分析的需要。

表3 擬合、仿真結(jié)果

4 結(jié)論

基于線性屈曲分析模塊探究了凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度對(duì)圓柱殼軸向臨界載荷的影響，得到以下結(jié)論：

1)承受軸向載荷圓柱殼對(duì)缺陷的敏感程度與凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度有關(guān)，最敏感區(qū)域和最不敏感區(qū)域不隨凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度的變化而變化。凹陷位置變化使得軸向臨界載荷值近似呈現(xiàn)正弦規(guī)律；凹陷半徑的增加引起軸向臨界載荷的減小，且變化率逐漸降低；凹陷深度的增加引起軸向臨界載荷的減小，且變化率逐漸增加。

2)用Fourier級(jí)數(shù)擬合球冠狀凹陷對(duì)圓柱殼的軸向臨界載荷計(jì)算公式，擬合值與仿真結(jié)果平均絕對(duì)誤差為1.5%，滿足工程分析的需要。