約化模型下帶雙重風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)

陳芳青, 王晶海

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 福州 350116)

0 引言

可轉(zhuǎn)換債券作為兼具債權(quán)、期權(quán)和可轉(zhuǎn)換屬性的混合型金融證券,長期以來備受投資者青睞. 在國外,可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)展雖然已經(jīng)有上百年的歷史,但直到上世紀(jì)70年代才有了較完整的發(fā)展理論體系. 文獻(xiàn)[1]以利率為常數(shù)將公司的資產(chǎn)價(jià)值當(dāng)做隨機(jī)變量對(duì)可轉(zhuǎn)換債券單因素結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行研究； 文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)之上引入利率非常數(shù)等因素, 對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)進(jìn)行了鞅定價(jià)； 朱丹[3]建立了隨機(jī)利率下可轉(zhuǎn)換債券的研究. 當(dāng)前對(duì)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的研究大多是基于市場(chǎng)不存在違約的情況,這一定價(jià)理論實(shí)際上與現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)不符,已經(jīng)不能滿足投資者對(duì)可轉(zhuǎn)換債券投資理論的需求. 除了考慮利率風(fēng)險(xiǎn),違約風(fēng)險(xiǎn)也是投資者作出投資判斷的一大重要因素.

結(jié)構(gòu)化模型和簡約化模型是目前兩類常用于解決可轉(zhuǎn)換債券違約概率的定價(jià)模型. 在結(jié)構(gòu)化模型中,發(fā)行公司可能因?yàn)榻?jīng)營不善或其它因素導(dǎo)致公司價(jià)值和資產(chǎn)處于變動(dòng)過程而無法支付債券人債券,造成違約情況[4-6]. 通過研究發(fā)現(xiàn)約化模型更符合市場(chǎng)規(guī)律,在這個(gè)模型中,違約是被看作一個(gè)外生的不可預(yù)測(cè)到的事件. 文獻(xiàn)[7-8]指出在常數(shù)違約強(qiáng)度下,可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)問題會(huì)受利率風(fēng)險(xiǎn)影響； 而文獻(xiàn)[9]則基于常數(shù)利率條件下以違約情況為隨機(jī)因素,通過鞅定價(jià)法給出可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的顯示解.

本研究在約化模型框架下分析具有雙重風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)問題,假設(shè)利率和違約強(qiáng)度不再是簡單的常數(shù),而是由更符合市場(chǎng)實(shí)際的模型給出,基于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理,建立股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)、Vasicek模型下隨機(jī)利率和違約強(qiáng)度兩兩相關(guān)的定價(jià)模型. 利用幾個(gè)常用的多元正態(tài)變量條件期望公式和鞅方法得到可轉(zhuǎn)換債券的顯示解,推廣了相關(guān)文獻(xiàn).

1 模型建立

1.1 模型假設(shè)

1) 給定一個(gè)帶過濾流的完備概率空間(Ω,F,Q, (Ft)0≤t≤T),其中Q為風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度. 在t時(shí)刻可轉(zhuǎn)債發(fā)行企業(yè)的股價(jià)記為s(t),滿足隨機(jī)微分方程：

ds(t)=s(t)[(r(t)-q(t))dt+σ1(t)dB1(t)]

(1)

其中:q(t),σ1(t)分別是股票紅利率和波動(dòng)率； 且q(t)>0,σ1(t)>0是關(guān)于時(shí)間t的確定函數(shù)；B1(t)是定義在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q上的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng).

2) 隨機(jī)利率r(t)在式子(1)假設(shè)方程中遵循在相同概率空間Vasicek模型：

dr(t)=a2(b2-r(t))dt+σ2(t)dB2(t)

(2)

約化模型中,違約被看作是由外生的違約強(qiáng)度所驅(qū)動(dòng)的意外事件,其違約強(qiáng)度λ(t)用Vasicek模型刻畫：

dλ(t)=a3(b3-λ(t))dt+σ3(t)dB3(t)

(3)

其中: 常數(shù)a2,b2,a3,b3分別代表的是利率的均值回復(fù)率、長期均值、違約強(qiáng)度均值回復(fù)率和長期均值；σ2(t)和σ3(t)分別是利率波動(dòng)率和違約強(qiáng)度變化波動(dòng)率,且σ2(t)>0,σ3(t)>0是關(guān)于時(shí)間t的確定函數(shù)；B2(t)和B3(t)是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q上的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng).

3) 假設(shè)B1(t),B2(t),B3(t)兩兩相關(guān),滿足：

(4)

4) 可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值由單純票面價(jià)值和標(biāo)的資產(chǎn)看漲期權(quán)價(jià)值構(gòu)成,假定可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換只發(fā)生在到期日,記Φ(T)是可轉(zhuǎn)換債券在到期日的收益：

(5)

其中:Pb=MeiT是時(shí)刻T以票面利率計(jì)算的單純債券價(jià)值;M表示可轉(zhuǎn)換債券的面值;Cv為約定的轉(zhuǎn)化價(jià)格.

5)為了簡化結(jié)果,假設(shè)金融市場(chǎng)是理想化情形,但存在違約情況. 若發(fā)行企業(yè)不發(fā)生違約時(shí),那么債券擁有者在到期日能夠得到先前答應(yīng)支付的全部,即Φ(T)； 若發(fā)行企業(yè)發(fā)生違約,則在到期日債券擁有者只能收到先前答應(yīng)支付的一部分,即ωΦ(T), 0≤ω≤1, 這里ω是回收率.

1.2 模型建立

為建立具有利率隨機(jī)性和違約強(qiáng)度不可預(yù)測(cè)性的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)問題,引入帶自然濾流的概率空間(Ω,G, (Gt)0≤t≤T,Q). 記Ht=σ(I{τ≤u}, 0≤u≤t)為企業(yè)違約信息的域流； 記Ft=σ(su, 0≤u≤t)∨σ(ru, 0≤u≤t)∨σ(λu, 0≤u≤t)為除企業(yè)違約外的其他信息的域流； 定義總的域流是Gt=Ft∨Ht. 由文獻(xiàn)[10]相關(guān)條件概率知識(shí)可知,令τ是可轉(zhuǎn)債發(fā)行企業(yè)的違約時(shí)間, 發(fā)行企業(yè)在違約時(shí)刻τ關(guān)于Gt的條件概率和無條件概率分別是：

其中:GT=FT∨Ht. 因此,在模型假設(shè)下,利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理得到具有雙重風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在t時(shí)刻的價(jià)值：

式子(6)中存在違約時(shí)間τ,利用文獻(xiàn)[6]相關(guān)結(jié)論和條件數(shù)學(xué)期望的平滑性[11]消去τ,可以得到：

(7)

由式子(7), 記:

1.3 預(yù)備知識(shí)

其中:N(·)是標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布函數(shù).

2 模型求解

下面利用幾個(gè)常用的多元正態(tài)變量條件數(shù)學(xué)期望公式來求解V1.

其中:

由Ito公式和方程(2)得到：

同理：

(9)

其中:

再由Ito公式以及方程(1)和方程(8)可得：

(10)

因此下面求解V1的值,記：

由引理2, 可直接求解V11、V12的值

(12)

下面運(yùn)用等價(jià)鞅測(cè)度變換方法來求解V2.

其中:

(13)

由Ito公式,以及式子(8)～(9),可以得到：

(14)

(15)

則式子(14)～(15),可以求LT,即：

根據(jù)Girsanov定理,可以得到：

(16)

則根據(jù)Bayes法則,V2在鞅測(cè)度Qλ下的值為：

下面先求V21, 由式子(10)和式子(16)可知,ST在鞅測(cè)度Qλ下為：

且在概率測(cè)度Qλ和信息流下,lnST滿足正態(tài)分布,其均值和方差分別為：

因此,根據(jù)Bayes法則可得V21在鞅測(cè)度Qλ下的解析式為：

(18)

記A(t,T)=EQλ(ST),對(duì)式子(17)求數(shù)學(xué)期望,可以得到：

為計(jì)算V22的解析式,引進(jìn)新的Radom-Nikody導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)Girsanov定理,可以得到：

(20)

同理可求得ST在鞅測(cè)度Qη的值,且在概率測(cè)度Qη和信息流下,lnST也滿足正態(tài)分布. 因此根據(jù)Bayes法則可得V22在鞅測(cè)度Qη下的解析式為：

(21)

綜上,可以得到以下定理.

定理1約化模型下具有雙重風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債在t時(shí)刻的定價(jià)為：

其中ω是回收率,其他參數(shù)和變量見上述論證過程.