包含正圈的復(fù)符號(hào)非異性極小禁用圈鏈

陳淑梅, 劉 月

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 福州 350116)

0 引言

設(shè)z=a+ib是一個(gè)復(fù)數(shù),其中a和b都是實(shí)數(shù). 它的復(fù)符號(hào),記作csgn(z),定義為

csgn(z)=sgn(a)+i·sgn(b)

其中: sgn(x)=1, -1或0分別對(duì)應(yīng)于x>0,x<0或x=0. 一個(gè)復(fù)矩陣A的復(fù)符號(hào)模式,記作csgn(A),是把A中的每一個(gè)元素用相應(yīng)的復(fù)符號(hào)替換后所得的矩陣. 與A具有相同復(fù)符號(hào)模式矩陣全體所構(gòu)成的矩陣類稱為A的復(fù)符號(hào)模式矩陣類,記作QC(A),即

QC(A)={B|csgn(B)=csgn(A)}

一個(gè)復(fù)矩陣稱為復(fù)符號(hào)非異矩陣(簡稱CNS矩陣),若此矩陣的復(fù)符號(hào)模式可以保證矩陣是非奇異的,即QC(A)中所有矩陣均為非奇異.

復(fù)符號(hào)模式是符號(hào)模式(見文獻(xiàn)[1])的一種復(fù)推廣,由Eschenbach 等人在文獻(xiàn)[2]中引入. 文獻(xiàn)[3]定義了復(fù)符號(hào)模式矩陣的分裂變換. 利用分裂變換,在研究矩陣的復(fù)符號(hào)非異性時(shí),可以局限在只含有{0, ±1, ±i}這五種元素的復(fù)符號(hào)模式矩陣中討論. 若矩陣A的復(fù)符號(hào)模式csgn(A)中只含有{0, ±1, ±i}這五種元素,則稱A為軸元陣. 本研究只討論軸元陣.

除復(fù)符號(hào)模式推廣外,還有一種復(fù)推廣,稱為ray模式推廣(見文獻(xiàn)[4]). 在ray模式推廣中,非零復(fù)數(shù)z的ray定義為z/|z|,類似可以定義矩陣的ray模式ray(A)及ray模式矩陣類QR(A). 若A是軸元陣,根據(jù)定義易知ray(A)=csgn(A)且QR(A)=QC(A). 據(jù)此,軸元陣可以認(rèn)為是復(fù)符號(hào)模式和ray模式的“交”.

復(fù)符號(hào)非異矩陣是符號(hào)非異矩陣(即SNS矩陣)的復(fù)推廣,其中SNS矩陣是符號(hào)可解性理論中的核心研究對(duì)象(見文獻(xiàn)[5]). 在ray模式推廣下,相應(yīng)的SNS矩陣的推廣為ray非異矩陣(簡稱RNS矩陣). 由軸元矩陣的特殊性,當(dāng)矩陣A是軸元陣時(shí),A是CNS矩陣等價(jià)于A是RNS矩陣. 于是,關(guān)于RNS矩陣的所有結(jié)論在討論軸元矩陣的CNS性時(shí)均可使用.

文獻(xiàn)[6]中定義了一類結(jié)構(gòu)簡單的完全不可分矩陣,稱為圈鏈矩陣. 該文同時(shí)利用一個(gè)特殊集合函數(shù)Φn(Θ)把圈鏈矩陣分為三類,分別為RNS圈鏈矩陣、反常圈鏈矩陣和禁用圈鏈矩陣. 文獻(xiàn)[7]中證明了禁用圈鏈矩陣也是一般ray非異矩陣的禁用結(jié)構(gòu). 相應(yīng)地,軸元禁用圈鏈矩陣也是CNS矩陣的禁用結(jié)構(gòu).

文獻(xiàn)[8]中給出了不含正圈時(shí)Φn(Θ)的計(jì)算公式,利用此公式可以較為直觀地識(shí)別禁用圈鏈矩陣,即可認(rèn)為在沒有正圈時(shí),禁用圈鏈矩陣的識(shí)別問題已經(jīng)完全解決. 本研究給出圈鏈軸元陣中兩端都是正圈的極小禁用圈鏈的特征刻畫,此特征刻畫中沒有使用Φn(Θ),從而也可較為直觀地識(shí)別此類矩陣.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出圈鏈矩陣的一些相關(guān)定義及基本性質(zhì).

接下來主要關(guān)注形如M=I-A(W)的矩陣M,其中W是一個(gè)簡單賦權(quán)有向圖(不含環(huán)及重弧),A(W)是W的鄰接矩陣.

設(shè)W是一個(gè)簡單有向圖,記C=C(W)={C1,C2, …,Cn}為W中所有有向圈所構(gòu)成的集合.W的圈圖,記作CG(W),定義為頂點(diǎn)集為C、弧集合為E的無向圖,其中CjCk∈E當(dāng)且僅當(dāng)Cj和Ck在W中有公共點(diǎn).

定義1若簡單賦權(quán)有向圖W的圈圖CG(W)是一條路,則稱W為圈鏈圖. 設(shè)W是圈鏈圖,則稱矩陣M=M(W)=I-A(W)為圈鏈矩陣.

記M0是空矩陣,且對(duì)于1≤j≤n,設(shè)Mj是C的主子圈鏈Cj={C1,C2, …,Cj}對(duì)應(yīng)的圈鏈矩陣,則稱M0,M1, …,Mn為M的順序子圈鏈矩陣. 記-ω(Cj)=ωj=rj·eiθj,其中rj=|ωj|是復(fù)數(shù)ωj的模,eiθj=-ray(Cj),-π<θj≤π,j=1, 2, …,n. 文獻(xiàn)[6]中給出了如下的遞推公式：

detMj=rj·eiθj·detMj-2+detMj-1(j=2, …,n)

(1)

記

文獻(xiàn)[6]中給出了如下的定義：

設(shè)序列Θ不是復(fù)符號(hào)非異的. 若任意一個(gè)包含Θ作為子序列的序列都不是復(fù)符號(hào)非異的,則稱Θ為禁用序列； 否則稱Θ為反常序列. 根據(jù)定義,只需要刻畫極小禁用序列.

文獻(xiàn)[6]中證明了任意序列包含一個(gè)禁用序列作為子序列也是禁用序列. 圈鏈矩陣不是復(fù)符號(hào)非異的也可以分成兩類： 若圈鏈的輻角序列是反常序列則稱該圈鏈為反常圈鏈； 若圈鏈的輻角序列是禁用序列則稱該圈鏈為禁用圈鏈. 因此,任意圈鏈包含一個(gè)禁用圈鏈作為子圈鏈也是禁用圈鏈.

接下來給出圈鏈的一些基本性質(zhì).

性質(zhì)1設(shè)Θ=(θ1,θ2, …,θn). 則

1)Θ是禁用序列當(dāng)且僅當(dāng)Φn(Θ)=(-π, π][6].

2)Θ是反常序列當(dāng)且僅當(dāng)Φn(Θ)是{0, π},[0, π]或[-π, 0]中的一個(gè)[7].

3)Φn(Θ)={0}當(dāng)且僅當(dāng)任意一個(gè)j=1, 2, …,n,θj=0.

4)Φn(Θ)={0, π}當(dāng)且僅當(dāng)θj∈{0, π},其中j=1, 2, …,n且至少存在一個(gè)j使得θj=π.

6) 若θ1=0,則Φj-1(Θ2, j)=Φj(Θ).

7) 設(shè)θj=0. 若π∈Φj-1(Θ)或π?Φj-2(Θ),則Φj(Θ)=-Φj-1(Θ)?{-φ|φ∈Φj-1(Θ)}[6].

由上述性質(zhì)1中 6)可知,不妨假設(shè)本研究中的Θ兩端都不是0.

下面的引理刻畫了反常序列.

引理1[6]設(shè)Θ=(θ1,θ2, …,θn),其中-π<θj≤π,且k1

1)θks+1=θks或者θks+1=Arg(-ei·θks),s=1, 2, …,p；

2)θj∈{0, π}其中ks+1

3) 設(shè)ts是θks和θks+1之間零元素的個(gè)數(shù),若ts是偶數(shù), 則θks+1·θks+1>0; 若ts是奇數(shù),則

θks+1·θks+1<0 (s=1, 2, …p-1)

在文獻(xiàn)[7]中，已經(jīng)證明了圈鏈矩陣M(不一定是圈鏈矩陣)是一般RNS矩陣的禁用結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)M是禁用圈鏈矩陣,它表明了禁用圈鏈矩陣在RNS性質(zhì)研究中的重要性. 雖然上述的性質(zhì)1中1)提供了一個(gè)判斷Θ是否是禁用序列的工具,但是它并不直觀. 在研究中將給出一個(gè)更加直觀的刻畫并且避免使用Φj(Θ).

2 一些特殊的圈鏈及其Φn(Θ)

文獻(xiàn)[6]中給出了如下的計(jì)算公式：

(2)

其中

記arg(ei·(θj-θ))=?,則

(3)

根據(jù)公式(2)～(3),可以計(jì)算出Φj(Θ){0, π}=(a, 0)∪(0,b),其中-π≤a≤0,0≤b≤π. 在接下來的證明中,一些計(jì)算也是基于這兩個(gè)公式的.

引理2設(shè)Θ=(θ1,θ2, …,θn)滿足θ1,θn≠0. 若Φn(Θ)=(a-π, 0)∪(0,a),其中0

證明 由公式(2)～(3)知,π?Φn-2(Θ)且Φn-1(Θ){0, π}=(a1, 0)∪(0,b1),其中-π≤a1≤0,0≤b1≤π. 若π?Φn-1(Θ),則Φn-1(Θ){0}=(a1, 0)∪(0,b1). 由于θn≠0,則由公式(2)～(3)知,Φn(Θ)≠(a-π, 0)∪(0,a),矛盾. 因此π∈Φn-1(Θ). 由性質(zhì)1中1)～2)知,Φn-1(Θ)={0, π}, [0, π], [-π, 0]或(-π, π]. 若Φn-1(Θ)=[0, π], [-π, 0]或(-π, π],則通過計(jì)算,可得Φn(Θ)≠(a-π, 0)∪(0,a),矛盾. 從而Φn-1(Θ)= {0, π}. 由性質(zhì)1的4)知,θj∈{0, π},j=1, 2, …,n-1且至少存在一個(gè)j使得θj=π. 因?yàn)棣?≠0,所以θ1=π. 又因?yàn)棣?Φn-2(Θ),所以n=2. 證畢.

證明 因?yàn)棣ㄊ菢O小禁用序列,所以θ1≠0. 又因?yàn)棣╩是反常序列且θm≠0,所以由引理1知,θ1=θm=π. 下證Θm=(π, 0, …, 0, π). 用反證法,假設(shè)Θm≠(π, 0, …, 0, π),則分如下兩種情形.

情形1：θj∈{0, π}其中1

通過計(jì)算得Φm(Θ)={0, π}. 不妨設(shè)θl=π是離θm最近的π,即對(duì)任意的j(l

Φn-l+1(Θl, n)=Φn(Θ)

從而Θl, n是禁用序列,這與Θ是極小矛盾.

情形2： 存在1

不妨設(shè)θj′?{0, π},當(dāng)j′

Φm-j′+1(Θj′, n)=Φm(Θ){0, π}=(0, π)或(-π, 0)

因Θ是禁用序列, 故由引理1知,存在m

Φj″-j′+1(Θj′, n)=Φj″(Θ){0, π}

從而

Φj0-j′(Θj′, n)=Φj0-1(Θ){0, π}

故由公式(2)～(3)知，

Φj0-j′+1(Θj′, n)=Φj0(Θ)

若Φj0-1(Θ){0, π}=(-π, 0),則Φj0(Θ)=(-π, π],從而Φj0-j′+1(Θj′, n)=(-π, π]. 由性質(zhì)1中 1)知,Θj′, n是禁用序列,與Θ是極小矛盾.

Φj1-j′+1(Θj′, n)=Φj1(Θ)

從而Θj′, n是禁用序列,與Θ是極小矛盾.

故Θm=(π, 0, …, 0, π). 容易驗(yàn)證θm+1?{0, π}. 若不然,設(shè)θm+1∈{0, π}. 令Θm, n=(θm,θm+1, …,θn),則

Φn-m+1(Θm, n)=Φn(Θ)

2) 若存在j(1

由性質(zhì)1 中7)知，

3 主要結(jié)果

1) 若存在j(1

2) 設(shè)h1

證明 必要性： 先證結(jié)論1). 下面根據(jù)θ2的取值把證明分成如下三種情形：

情形1：θ2=π.

此時(shí)可得θ3?{0, π}. 若不然,可設(shè)θ3∈{0, π}. 令Θ2, n=(θ2,θ3, …,θn),則

Φn-1(Θ2, n)=Φn(Θ)

情形2：θ2=0.

設(shè)Θj0=(θ1,θ2, …,θj0), 下證θ3, …,θj0-1=0. 用反證法,假設(shè)θ3, …,θj0-1不全為0,則設(shè)θj′是離θj0最近的一個(gè)不為0的元素,其中3≤j′≤j0-1. 因?yàn)棣ㄊ菢O小禁用序列,由引理3知,Θj0不是反常序列. 并且Θj0也不是禁用序列,故Θj0是復(fù)符號(hào)非異的. 因?yàn)棣?=θj0=π且不存在1

Φj0-1(Θ2, n)=Φj0(Θ)

從而

Φn-1(Θ2, n)=Φn(Θ)

故Θ2, n是禁用序列,與Θ是極小矛盾. 因此Θj0=(π, 0, …, 0, π). 由引理1知,Θj0是反常序列. 由于θj0≠0,根據(jù)引理3知,Θ=(π, 0, …, 0, π,φ, π),其中φ?{0, π}.

情形3：θ2?{0, π}.

綜合上述所有情形,可知結(jié)論1)成立.

下證結(jié)論2). 將證明分成如下兩種情形：

情形①：k=1.

情形②：k≠1.

因?yàn)棣ㄊ菢O小禁用序列且θ1=π,則由引理4中的2)知,θh2j+1=(-1)t2jθh2j,即

θh3=(-1)t2θh2,θh5=(-1)t4θh4, …,θhk=(-1)tk-1θhk-1

θh2=(-1)t1θh1,θh4=(-1)t3θh3, …,θhk-1=(-1)tk-2θhk-2

故θhj+1=(-1)tjθhj.

因此,結(jié)論2)成立. 必要性得證.

充分性： 由已知條件及公式(2)～(3)知,通過計(jì)算容易驗(yàn)證Φn(Θ)=(-π, π]. 由性質(zhì)1中1)知,Θ是禁用序列. 同樣地,容易驗(yàn)證Θ的任意一個(gè)子序列都不是禁用序列,因此Θ是極小禁用序列. 充分性得證. 證畢.