軸向運(yùn)動熱彈耦合楔形梁的振動特性

郭旭俠，薛曉飛

(寶雞文理學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

0 引 言

梁作為實(shí)際工程中的基本構(gòu)件，被大量的用于各類結(jié)構(gòu)中。變截面梁具有質(zhì)量分布合理、力學(xué)性能優(yōu)異的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天，機(jī)械、建筑等領(lǐng)域。變截面梁引起有質(zhì)量分布合理等優(yōu)異的力學(xué)性能，被廣泛的應(yīng)用于航空航天，機(jī)械、建筑等領(lǐng)域[1-2]。Abrate[3]采用位移變分法研究了截面線性變化的變截面懸臂梁的自由振動。葛仁余[4-5]等運(yùn)用插值矩陣法一次性計算出軸向功能梯度變截面梁各階振動固有頻率，同時獲取了相應(yīng)的振型參數(shù)。劉雷[6]采用半解析法計算了一類變截面梁的固有頻率和振型，通過與有限元法的計算結(jié)果比較說明了半解析解的精確性。上述研究均沒有考慮溫度變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，溫度場與位移場的耦合作用增加了方程的求解難度。分析了軸向運(yùn)動變截面梁在熱彈耦合作用下的振動特性。

1 建立數(shù)學(xué)模型

建立圖1所示為楔形截面軸向運(yùn)動彈性梁，該梁沿x軸的運(yùn)動速度為v。梁沿x方向的長度為L，寬度為b，材料密度為ρ，彈性模量為E。假設(shè)梁的初始溫度是τ0=τ(x,z,t0)，任一瞬時t梁的溫度是τ1=τ1(x,z,t)，則梁的溫度變化為T=τ1-τ0。在x=0及x=L處梁的高度分別為h1、h2，設(shè)梁的高度沿x方向的變化規(guī)律滿足：

(1)

圖1 楔形截面熱彈耦合軸向運(yùn)動梁

楔形梁的橫截面彎矩M為：

(2)

等截面軸向運(yùn)動梁的運(yùn)動微分方程是：

(3)

式中：A=bh(x)為梁的橫截面面積。

將式(2)代入式(3)得楔形截面梁的熱彈運(yùn)動微分方程是[7]：

(4)

梁的熱傳導(dǎo)方程是[8]：

(5)

將以下無量綱量：

(6)

分別代入式(4)和式(5)中，得：

(7)

設(shè)方程(7)的解：

(8)

將式(8)代入式(7)，得:

求解方程(10)進(jìn)行，得:

(11)

將方程(11)代入式(9)得:

(12)

梁在兩端恒溫條件下的邊界條件為:

(13)

2 算例分析

參照微分求積法的計算步驟與求解原理[9-10]，方程 (12)可離散為以下形式:

(14)

邊界條件式(13)的微分求積形式：

(15)

將式(14)和式(15)寫成矩陣形式，即：

(16)

式中：下標(biāo)d為邊界上的量；e為非邊界上的量{yd}、{ye}如下：

(17)

由式(15)消去{yd}得:

{ω2[I]+ω[G]+[K]}{Wk}={0}

(18)

矩陣[K]、[G]和[I]中含有耦合項系數(shù)及無量綱運(yùn)動速度等參數(shù)。方程(18)構(gòu)成了廣義特征值問題。因此，熱彈耦合軸向運(yùn)動梁的特征方程是:

|ω2[I]+ω[G]+[K]|=0

(19)

表1 楔形梁前三階固有頻率的本文解與文獻(xiàn)[11]解的比較

圖2 無量綱速度c與無量綱復(fù)頻率ω關(guān)系曲線

圖3 無量綱速度c與無量綱復(fù)頻率ω關(guān)系曲線

圖4 無量綱速度c與無量綱復(fù)頻率ω關(guān)系曲線

圖5 無量綱速度c與無量綱復(fù)頻率ω關(guān)系 曲線

通過對三圖進(jìn)行比較分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ分別取0，0.2和0.3時，對應(yīng)的第一階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)的無量綱軸向運(yùn)動速度臨界值分別取c=6.159，c=6.731，c=7.061，由此得出，楔形變截面軸向運(yùn)動梁第一階模態(tài)處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)的無量綱軸向運(yùn)動速度臨界值會隨熱彈耦合因子的變大而變大。

圖6 無量綱速度c與無量綱復(fù)頻率ω關(guān)系 曲線

圖7 無量綱速度c與無量綱復(fù)頻率ω關(guān)系 曲線

3 結(jié) 論

通過算例分析可以看出微分求積法可以滿足計算要求，過程簡便計算機(jī)易于操作。數(shù)值結(jié)果表明隨著無量綱速速的提高，楔形梁的前三階模態(tài)復(fù)頻率的實(shí)部都隨著減小。當(dāng)楔形梁的梁高比減小時，梁發(fā)散失穩(wěn)的臨界速度隨之減小，單一模態(tài)顫振的臨界速度變化趨勢相同，只是梁的失穩(wěn)類型沒有發(fā)生改變?？紤]熱彈耦合效應(yīng)時梁的前三階固有頻率與不考慮熱彈耦合效應(yīng)時相比，梁的前三階固有頻率均變大。