中國綜合運輸網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)及其魯棒性研究*

高 佩 姚紅光

(上海工程技術(shù)大學航空運輸學院 上海 201620)

0 引 言

綜合運輸網(wǎng)絡是指包含“鐵路、公路、水路、航空和管道”等多種運輸方式，由多種運輸方式的節(jié)點和線路連接而成，通過多種運輸方式相互協(xié)作實現(xiàn)“旅客、貨物”從始發(fā)地到目的地位移服務的空間網(wǎng)絡結(jié)構(gòu).

綜合運輸網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)及魯棒性研究，目前已成為研究熱點：段后利等[1]對城市公交網(wǎng)絡的統(tǒng)計特征進行了實證研究，測算出相關(guān)統(tǒng)計特征參數(shù)，并通過與隨機網(wǎng)絡對比研究了城市公交網(wǎng)絡的特點.程書恒等[2]對集裝箱海運航線的網(wǎng)絡特征進行了研究，通過數(shù)值模擬，計算了網(wǎng)絡的度分布、簇系數(shù)、平均路徑長度等指標.田煒等[3]對全球航運網(wǎng)絡特征進行了分析，通過對全球航運網(wǎng)絡節(jié)點度分布、度值相關(guān)性和度與介數(shù)相關(guān)性分析發(fā)現(xiàn)，度值大的節(jié)點優(yōu)先與度值較大節(jié)點連接，度值大的節(jié)點介數(shù)也較大，因而度值較大的節(jié)點對網(wǎng)絡影響程度較大.鄧亞娟等[4]以中國公路網(wǎng)絡為研究對象，分析了公路網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計特征.劉宏鯤[5]則對中國航空網(wǎng)絡的統(tǒng)計特征進行了研究，指出了航空網(wǎng)絡的度分布具有雙截尾冪律分布的特征.文獻[6]采集了中國航空網(wǎng)絡的節(jié)點和航線數(shù)據(jù)信息，測算出了網(wǎng)絡的基本統(tǒng)計特征參數(shù).上述研究都從不同側(cè)面反映了開展交通運輸網(wǎng)絡統(tǒng)計特征研究的必要性，然而目前的研究僅限于某一特定運輸領(lǐng)域，對于由多種運輸方式構(gòu)成的綜合運輸網(wǎng)絡，其網(wǎng)絡的統(tǒng)計特征研究成果尚比較匱乏.

1 中國綜合運輸網(wǎng)絡模型的構(gòu)建

1.1 中國綜合運輸網(wǎng)絡的數(shù)據(jù)采集

1) 節(jié)點信息的采集 將地級市以上行政區(qū)作為綜合運輸網(wǎng)絡的節(jié)點，因部分地區(qū)與地級市存在包含關(guān)系，為統(tǒng)計方便，將二者合并；共采集684個節(jié)點城市.

2) 運輸線路信息的采集 以684座節(jié)點城市為基礎(chǔ)，采集其之間的“鐵路、公路、航空、水運”線路，供采集到鐵路線路648條，干線(國道)公路68條、高速公路79條、國內(nèi)航線2 198條、內(nèi)河航道25條.

1.2 中國綜合運輸網(wǎng)絡的鄰接矩陣的建立

鄰接矩陣是網(wǎng)絡分析中最常使用的數(shù)據(jù)存儲形式，其特征是正方陣.在此方陣中，行和列都代表完全相同的網(wǎng)絡節(jié)點，并且行和列排列的順序相同，矩陣中的要素代表節(jié)點之間的關(guān)系，以這種形式來表示網(wǎng)絡關(guān)系的數(shù)據(jù)集合被稱為鄰接矩陣，記作X.根據(jù)矩陣中要素的不同含義，鄰接矩陣可以分成不同的類別.

1) 結(jié)構(gòu)鄰接矩陣 結(jié)構(gòu)鄰接矩陣主要用來反映綜合運輸網(wǎng)絡中各節(jié)點的實際連接狀況，在該矩陣中“空間上有線路直接相連的兩座節(jié)點城市對應的元素為1，其余元素為0”，記為X1.

2) 服務鄰接矩陣 服務鄰接矩陣是以能否實現(xiàn)相關(guān)服務作為判斷兩個節(jié)點城市是否存在相互關(guān)系的標準.若兩個節(jié)點城市之間可以進行運輸服務，則其對應的元素是否為1；否則為0，記為X2.

3) 頻次鄰接矩陣 頻次鄰接矩陣用來反映綜合運輸網(wǎng)絡中節(jié)點間開展運輸活動的便利程度，該矩陣通過以兩點間運輸服務日班次為權(quán)重，對“服務鄰接矩陣”加權(quán)得到，記為X3.

2 中國綜合運輸網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的基本統(tǒng)計特征分析

2.1 中國綜合運輸網(wǎng)絡中節(jié)點“度”值的實證研究

2.1.1復雜網(wǎng)絡中“度”值解析

網(wǎng)絡中節(jié)點i的度ki定義為：與節(jié)點i相接的邊的總數(shù).在網(wǎng)絡中，一個節(jié)點的度越大就意味著與其相連的其他節(jié)點越多，其擁有的邊數(shù)也就越多，也就意味著該節(jié)點在網(wǎng)絡中具有更重要的作用.網(wǎng)絡中所有節(jié)點i的度ki的平均值成為網(wǎng)絡的平均度，見式(1).

(1)

式中：N為網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)

2.1.2中國綜合運輸網(wǎng)絡中節(jié)點“度”值測算

不同鄰接矩陣算計出的節(jié)點的度值所代表的含義也不相同.其中，根據(jù)X1計算出的節(jié)點度值表示“網(wǎng)絡中與該節(jié)點空間相鄰的節(jié)點城市的數(shù)量”；根據(jù)X2計算出的節(jié)點度值表示：“網(wǎng)絡中與該節(jié)點有運輸線路相連的節(jié)點城市數(shù)量，即通過該節(jié)點可以不經(jīng)中轉(zhuǎn)而直達的城市的數(shù)量”.根據(jù)X3計算出的節(jié)點度值表示：“該節(jié)點共擁有的運輸班次總數(shù)”.

利用不同的鄰接矩陣，借助復雜網(wǎng)絡專業(yè)分析軟件UCINET，計算出綜合運輸網(wǎng)絡中各個節(jié)點在不同鄰接矩陣中的度值，度值排名前10的節(jié)點城市見表1.

表1 各鄰接矩陣中節(jié)點城市的度值

2.2 中國綜合運輸網(wǎng)絡中 “度”分布情況研究

度分布函數(shù)反映的是復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的宏觀統(tǒng)計特征.綜合運輸網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)特征可用分布函數(shù)P(k)來描述，P(k) 為具有相同度k的節(jié)點的出現(xiàn)概率，即一個任意選擇的節(jié)點度為k的概率.利用UCINET軟件，通過計算各節(jié)點度值，可以統(tǒng)計出網(wǎng)絡的度分布情況.

其中X1的度分布見圖1.該網(wǎng)絡中節(jié)點度值服從冪律分布.即

P(K)～ak-r

通過數(shù)值擬合得到度分布函數(shù)為P(K)=0.404 3k-1.307，其中R2=0.901.

圖1 中國綜合運輸網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)鄰接矩陣度分布圖

對圖1中各節(jié)點的橫、縱坐標取對數(shù)，可以得到X1對數(shù)坐標系下的節(jié)點度分布，見圖2.

圖2 中國綜合運輸網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)鄰接矩陣度分布圖(對數(shù)坐標系)

由圖2可知，中國綜合運輸網(wǎng)絡節(jié)點的度分布在對數(shù)坐標系下成直線遞減形似，反應了網(wǎng)絡具有顯著的無標度網(wǎng)絡特征.

按照同樣的方法，可以得到X2,X3普通坐標系和對數(shù)坐標系下的度分布情況見圖3～4.

圖3 X2鄰接矩陣度分布圖

圖4 X3鄰接矩陣中度分布圖

通過數(shù)值擬合得到X2矩陣度分布函數(shù)為：P(K)=0.1 685k-0.859；X2矩陣度分布函數(shù)為：P(K)=0.1 310k-0.784.其度分布函數(shù)均隨度值呈顯著線性下降趨勢，因此可判斷上述兩種網(wǎng)絡亦具有顯著的無標度網(wǎng)絡特征.

綜上所述，實證研究結(jié)果表明：中國綜合運輸網(wǎng)絡三種鄰接矩陣的其網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)特征均表現(xiàn)出顯著的無標度網(wǎng)絡特征，其冪律系數(shù)介于[0.7，1.5]之間；上述結(jié)果表明：在中國綜合運輸網(wǎng)絡中，節(jié)點度值分布極不均衡，少數(shù)節(jié)點的度值很大，在網(wǎng)絡中發(fā)揮著關(guān)鍵作用；而大多數(shù)節(jié)點，度值較少，僅能起到某些方面的輔助作用.

2.3 中國綜合運輸網(wǎng)絡的平均最短路徑長度的實證研究

網(wǎng)絡的平均最短路徑長度L用來反映任意兩個節(jié)點之間邊的平均值.在綜合運輸網(wǎng)絡分析中，可以用該參數(shù)反映網(wǎng)絡中物資在從始發(fā)地到目的地流通過程中的中轉(zhuǎn)次數(shù).根據(jù)鄰接矩陣的含義，應針對矩陣X2測算其平均最短路徑.

利用鄰接矩陣X2，借助復雜網(wǎng)絡專業(yè)分析軟件UCINET，計算出中國綜合運輸網(wǎng)絡的平均最短路徑長度L=2.498，中國綜合運輸網(wǎng)絡中不同中轉(zhuǎn)次數(shù)的數(shù)量分布見表2.

由表2可知，在中國綜合運輸網(wǎng)絡中97.4%的城市對之間的運輸活動僅需2次以內(nèi)的中轉(zhuǎn)即可實現(xiàn)，反應出中國綜合運輸網(wǎng)絡具有較強的服務便捷性.

表2 不同中轉(zhuǎn)次數(shù)的城市對數(shù)量分布

2.4 中國綜合運輸網(wǎng)絡簇系數(shù)的實證研究

簇系數(shù)C是用于衡量網(wǎng)絡節(jié)點集聚情況的參數(shù).節(jié)點i的簇系數(shù)是指：它的所有鄰節(jié)點之間連邊的數(shù)目占可能的最大連邊數(shù)目的比值[7].若假設網(wǎng)絡中的一個節(jié)點i有ki條邊將其和其他節(jié)點相連，顯然，在這ki個節(jié)點之間最多可能有ki(ki-1)/2條邊；而這ki個節(jié)點之間實際存在的邊數(shù)Ei和總的可能的邊數(shù)ki(ki-1)/2之比就定義為節(jié)點i的簇系數(shù)，見式(2).網(wǎng)絡的簇系數(shù)C則是所有節(jié)點簇系數(shù)ci的平均值.

Ci=2Ei/ki(ki-1)

(2)

簇系數(shù)代表節(jié)點城市與相鄰節(jié)點所構(gòu)成的網(wǎng)絡的平均聚集程度，代表綜合運輸網(wǎng)絡的廣度[8].利用鄰接矩陣X2，借助復雜網(wǎng)絡專業(yè)分析軟件UCINET，計算出中國綜合運輸網(wǎng)絡的簇系數(shù)C=0.677，表現(xiàn)出很強的集聚性.

中國綜合運輸網(wǎng)絡具有小的平均路徑長度和大的簇系數(shù)，表明該網(wǎng)絡具有小世界網(wǎng)絡特征.也就是說，盡管中國綜合運輸網(wǎng)絡本身很大，但是在網(wǎng)絡中任意兩個節(jié)點之間存在相對較短的路徑.

2.5 中國綜合運輸網(wǎng)絡“介數(shù)及分布”的實證研究

一個節(jié)點的度值可以從一個角度反映出這個節(jié)點在所在網(wǎng)絡中的重要性，但是度值不能完全反映出某一個節(jié)點在網(wǎng)絡中所處的地位和扮演的角色.節(jié)點u的介數(shù)是指網(wǎng)絡中經(jīng)過u的所有最短路徑的數(shù)量，見式(3).它反映了節(jié)點u對其他節(jié)點之間聯(lián)絡的控制作用[9].

(3)

式中：Sij為(i，j)之間最短路徑的集合.

在綜合運輸網(wǎng)絡中，一個節(jié)點城市的介數(shù)越大表明該城市中轉(zhuǎn)的能力越強，在綜合運輸網(wǎng)絡中的地位越重要.利用鄰接矩陣X2，借助復雜網(wǎng)絡專業(yè)分析軟件UCINET，計算出介數(shù)排名前30的城市見表3.

由表3可知，介數(shù)排名靠前的城市多為我國的省會城市，這些城市在“本省地級市與外省城市的連接”中發(fā)揮了重要作用.

表3 中國綜合運輸網(wǎng)絡中介數(shù)排名前30位的節(jié)點城市

3 中國綜合運輸網(wǎng)絡的魯棒性分析

3.1 綜合運輸網(wǎng)絡魯棒性的內(nèi)涵

綜合運輸網(wǎng)絡的魯棒性是指網(wǎng)絡對來自于外界的各種影響的阻抗性能.一般可以用網(wǎng)絡中部分節(jié)點城市陷入癱瘓后，綜合運輸網(wǎng)絡連通性來反映[10].如果某個節(jié)點城市因各類突發(fā)事件陷入癱瘓，意味在網(wǎng)絡中同時取消了與該節(jié)點城市相連的所有的線路，從而有可能使得綜合運輸網(wǎng)絡中其他節(jié)點城市從網(wǎng)絡中分離出去.如果在移走部分節(jié)點城市后綜合運輸網(wǎng)絡中絕大部分節(jié)點仍是連通的，那么就稱綜合運輸網(wǎng)絡的連通性對節(jié)點城市的故障具有較強的魯棒性.

在一定的連通性水平下，可取消的節(jié)點城市越多，綜合運輸網(wǎng)絡的魯棒性就越強；反之，則越差.魯棒性直接反映了綜合運輸網(wǎng)絡的穩(wěn)定狀態(tài)以及對突發(fā)事件的兼容能力，是網(wǎng)絡整體性能的關(guān)鍵指標之一[11].

3.2 綜合運輸網(wǎng)絡魯棒性的度量指標

1) 連通魯棒性的度量指標 連通魯棒性是指網(wǎng)絡連通狀態(tài)對去除一定數(shù)量的癱瘓節(jié)點的阻抗程度.一般用“最大連通子圖的相對大小(s)”和“癱瘓節(jié)點數(shù)占綜合運輸網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)的比例f”的相對關(guān)系來反映.

“最大連通子圖”是指網(wǎng)絡中包含節(jié)點最多的連通圖.“最大連通子圖”越大表示網(wǎng)絡連通性越好，當“最大連通子圖”與網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)相等時，表明網(wǎng)絡中所有節(jié)點間都是相互連通的.

“最大連通子圖的相對大小”的計算方法為[12]

(4)

當綜合運輸網(wǎng)絡受到外界干擾時，部分節(jié)點可能陷入癱瘓而失去原有的服務功能；隨著陷入癱瘓的節(jié)點的不斷增加，綜合運輸網(wǎng)絡中的“最大連通子圖”將不斷減小，甚至會形成數(shù)個孤立的子網(wǎng)絡.當一定時，s值越大，表明綜合運輸網(wǎng)絡的連通魯棒性越好.

2) 功能魯棒性的度量指標 功能魯棒性是指綜合運輸網(wǎng)絡的流通功能對去除一定數(shù)量的癱瘓節(jié)點的阻抗程度.經(jīng)濟、便捷、快速的實現(xiàn)物資流通是綜合運輸網(wǎng)絡的基本功能,因此，可用“平均路徑長度l”作為綜合運輸網(wǎng)絡的功能魯棒性的度量指標.其中，“平均路徑長度l”平均路徑長度則是指網(wǎng)絡中所有節(jié)點對之間的最短線路數(shù)量的平均值.應用Ucinet軟件和鄰接矩陣X2，可計算出綜合運輸網(wǎng)絡的平均路徑長度為2.498，即在綜合運輸網(wǎng)絡中任意兩個節(jié)點平均只需要進行2.5次中轉(zhuǎn)即可到達.

3.3 中國綜合運輸網(wǎng)絡魯棒性的仿真系統(tǒng)設計

1) “隨機干擾型”仿真系統(tǒng)設計 “隨機干擾型”是指隨機的對綜合運輸網(wǎng)絡中的某個或某些節(jié)點進行干擾，使其陷入癱瘓狀態(tài)，喪失與其他節(jié)點間進行物資流通的能力，也就是意味著將該節(jié)點和其所有的邊從網(wǎng)絡中刪除.

“隨機干擾型”仿真系統(tǒng)的設計思路是：由于存儲綜合運輸網(wǎng)絡數(shù)據(jù)的鄰接矩陣X2的行和列中，節(jié)點城市都是按照一定的次序排列的，所以以隨機數(shù)的方式，確定鄰接矩陣X2的行和列受到影響的節(jié)點，并在矩陣X2中刪除該節(jié)點所有的邊，受到隨機干擾的綜合運輸網(wǎng)絡鄰接矩陣記為R.不斷重復上述步驟，直到網(wǎng)絡中癱瘓節(jié)點數(shù)量達到要求，該系統(tǒng)的基本流程見圖5.

2) “定向干擾型”仿真系統(tǒng)設計 “定向干擾型”是指有明確目標的對綜合運輸網(wǎng)絡中的某個或某些節(jié)點按照某一次序進行干擾.

“定向干擾型”仿真系統(tǒng)的設計思路是：以節(jié)點的“度”或“介數(shù)”值的大小次序，作為對網(wǎng)絡中節(jié)點進行定向干擾的次序.即根據(jù)節(jié)點“度”或“介數(shù)”值大小次序，逐個選擇節(jié)點城市進行干擾，受到定向干擾的綜合運輸網(wǎng)絡鄰接矩陣記為Y，重復上述步驟，直到網(wǎng)絡中癱瘓的節(jié)點數(shù)量達到要求，該系統(tǒng)的基本流程見圖6.

圖5 “隨機干擾型”仿真系統(tǒng)流程圖

圖6 “定向干擾型”仿真系統(tǒng)流程圖

3.4 中國綜合運輸網(wǎng)絡的魯棒性分析

1)f與s的對應關(guān)系分析 分別采用“隨機干擾”和“定向干擾”兩個仿真系統(tǒng)，計算684次干擾后對應的f和s值，其對應關(guān)系見圖7.

圖7 兩種干擾模式下f與s的對應關(guān)系圖

由圖7可知，在“定向干擾”系統(tǒng)中下降的速度明顯快于“隨機干擾”系統(tǒng)；若按照度值次序進行依次干擾，當大約30%的節(jié)點陷入癱瘓后，網(wǎng)絡便完全喪失服務功能.進一步說明：當節(jié)點因各類突發(fā)、偶發(fā)事故隨機陷入癱瘓時，綜合運輸網(wǎng)絡具有較強的魯棒性，而有針對性的進行定向干擾，將對綜合運輸網(wǎng)絡造成較大的影響.

2)f與l的對應關(guān)系分析 在“隨機干擾”和“定向干擾”兩個仿真系統(tǒng)，經(jīng)過684次仿真干擾，f與l的對應關(guān)系見圖8.

圖8 兩種干擾模式下f與l的對應關(guān)系圖

平均路徑長度l反映的是綜合運輸網(wǎng)絡中任意兩個節(jié)點城市間進行物資調(diào)運的中轉(zhuǎn)次數(shù).由圖8可知，在“隨機干擾”和“定向干擾”兩種模式下，f與l的對應關(guān)系呈現(xiàn)出巨大差異.

在“隨機干擾”模式下，l值隨陷入癱瘓的節(jié)點的增加，在開始呈現(xiàn)出震蕩形式，并且震蕩幅度不斷加大；這表明隨機干擾并未對綜合運輸網(wǎng)絡物資調(diào)運的便利程度造成顯著的影響.在最終階段l降為1.這是因為隨著受干擾的節(jié)點不斷增加，網(wǎng)絡中相連的節(jié)點數(shù)量不斷減少，當所有節(jié)點都彼此孤立時，l值為1.

在“定向干擾模式”下，l值呈現(xiàn)出先快速增加后迅速下降的趨勢.表明對綜合運網(wǎng)的便利性影響顯著，后期快速下降的原因是由于網(wǎng)絡功能的快速喪失造成的，也就是說在“定向干擾”模式下，當受到定向干擾的節(jié)點達到節(jié)點總數(shù)的35%左右的時候，網(wǎng)絡的功能就受到了較大的影響；而“隨機干擾”模式下，這一比例大約是84%左右.

通過兩種模式的仿真實驗表明：節(jié)點的度和介數(shù)是影響綜合運網(wǎng)魯棒性的重要因素；綜合運網(wǎng)無論是網(wǎng)絡的聯(lián)通性還是網(wǎng)絡功能都體現(xiàn)出對隨機干擾的較強魯棒性，也就是說各種隨機發(fā)生突發(fā)、偶發(fā)類事故不會對綜合運網(wǎng)整體造成太大的影響；但是綜合運網(wǎng)針對定向干擾的魯棒性較差，應針對關(guān)鍵節(jié)點采取適當?shù)念A防與管理措施，以保證綜合運網(wǎng)的可靠性.

4 結(jié) 論

1) 從網(wǎng)絡節(jié)點的度分布上看，中國綜合運輸網(wǎng)絡三種鄰接矩陣的其網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)特征均表現(xiàn)出顯著的無標度網(wǎng)絡特征，其冪律系數(shù)介于[0.7，1.5]之間.

2) 中國綜合運輸網(wǎng)絡具有小的平均路徑長度和大的簇系數(shù)，表明該網(wǎng)絡具有小世界網(wǎng)絡特征；即在網(wǎng)絡中任意兩個節(jié)點之間存在相對較短的路徑.

3) 網(wǎng)絡中節(jié)點的“介數(shù)”與“度”值的大小存在加強的關(guān)聯(lián)性，我國的省會城市的介數(shù)值普遍較大，反應了這些城市在“本省地級市與外省城市的連接”中發(fā)揮了重要作用.

4) 節(jié)點的度和介數(shù)是影響綜合運網(wǎng)魯棒性的重要因素；綜合運網(wǎng)針對隨機干擾的較強魯棒性，但對定向干擾的魯棒性較差.