基于遺傳算法的單螺桿鉆具型線優(yōu)化設(shè)計

孫興偉，郭欽元，孟棟軒，韓 煜，楊赫然

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870； 2.長慶油田分公司 機(jī)械制造總廠，陜西 西安 710201)

0 引言

對于螺桿馬達(dá)的型線，要求嚙合副曲線凹凸處過渡光滑，若存在打結(jié)點(diǎn)，將會造成定、轉(zhuǎn)子間的泄漏或干涉[1-2]。

在處理螺桿鉆具廓形光順性的問題上，常用的方法是光順能量法，該方法是在適當(dāng)?shù)募s束條件下修改控制點(diǎn)，使其應(yīng)變能最小，它是一種全局優(yōu)化方法[3]。該方法十分繁瑣，而且可能改變無需調(diào)整的型值點(diǎn)。針對這一問題，本文提出一種基于遺傳算法的以控制頂點(diǎn)坐標(biāo)值的變化量作為優(yōu)化變量的局部光順?biāo)惴?，光順后可直接得到新的型值點(diǎn)，有較強(qiáng)的實用性。

1 B樣條曲線擬合算法的實現(xiàn)

1.1 螺桿馬達(dá)嚙合原理及嚙合副設(shè)計要求

假設(shè)做平面行星運(yùn)動的5頭螺桿鉆具如圖1所示。在運(yùn)動過程中，定轉(zhuǎn)子的嚙合條件是轉(zhuǎn)子與定子頭數(shù)以及導(dǎo)程比為N∶N+1，并且嚙合線連續(xù)[4]。實際工程中，型線精度應(yīng)嚴(yán)格遵循設(shè)計要求，避免嚙合過程中的噪聲，減少螺桿馬達(dá)的傳動損失[5]。

圖1 螺桿鉆具嚙合圖

1.2 B樣條曲線擬合理論

通過實驗測得一組螺桿鉆具廓形數(shù)據(jù)點(diǎn)Mi，t次B樣條曲線表達(dá)式如下[6]:

(1)

其中：Bi,t(u)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量u上的基函數(shù)。

1.3 曲率求解和尖點(diǎn)檢測

為了找出螺桿鉆具廓形的不光滑點(diǎn)，將擬合后的樣條曲線表達(dá)式作兩次降階處理，分別得到t-1次及t-2次B樣條曲線。通過B樣條曲線的參數(shù)方程可得曲率表達(dá)式，將經(jīng)過降次的樣條曲線的坐標(biāo)值代入曲率表達(dá)式中可得到螺桿鉆具廓形曲線的曲率。

通常情況下，如果擬合曲線滿足曲率為局部最大值點(diǎn)或大于某一給定閥值，則認(rèn)為擬合曲線不光滑，即存在尖點(diǎn)。

2 螺桿鉆具型線的局部光順?biāo)惴?/h2>

本文采用遺傳算法對單螺桿鉆具型線進(jìn)行光順處理。分析中將包括螺桿鉆具型線尖點(diǎn)在內(nèi)的相鄰五點(diǎn)的變動量xj作為染色體，染色體長度為l。

2.1 適應(yīng)度函數(shù)

螺桿鉆具型線設(shè)計的重要指標(biāo)之一是最大綜合曲率最小，為達(dá)到這一目的，應(yīng)盡量加強(qiáng)廓形曲線的光順性，因此，本文將曲線能量和曲率變化作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，構(gòu)造優(yōu)化模型如下：

(2)

適應(yīng)度函數(shù)反映個體優(yōu)劣性，適應(yīng)度函數(shù)越小說明個體越優(yōu)，螺桿鉆具廓形曲線能量較小且曲率變化均勻。

2.2 遺傳操作

為實現(xiàn)選出優(yōu)良染色體的目標(biāo)，比較變動后的型值點(diǎn)與原型值點(diǎn)的個體適應(yīng)度值，并按照降序排列，選出與種群數(shù)相同數(shù)量的最優(yōu)個體進(jìn)行下一步的遺傳操作[7]。采用線性交叉和高斯變異法對父代染色體進(jìn)行遺傳操作，形成新一代種群。

3 仿真實驗結(jié)果和分析

3.1 實驗結(jié)果

測量螺桿鉆具截面上的點(diǎn)，得出一組定子外徑為172 mm的5頭轉(zhuǎn)子半個周期的99個數(shù)據(jù)，用B樣條曲線擬合得到的截面半周期廓形曲線如圖2所示。根據(jù)1.3節(jié)中的的曲率求解算法進(jìn)行尖點(diǎn)檢測，結(jié)果如圖3所示，在橫坐標(biāo)為41.592 mm處曲線曲率為局部最大值，導(dǎo)致型線不光順。

圖2截面的半周期廓形曲線圖3擬合曲線曲率

遺傳算法中，變異操作與交叉操作是進(jìn)化中生成新種群的重要手段，如果概率太小，會丟失種群的多樣性；概率太大，容易破壞有利模。因此變異概率一般取0.1～0.4，此時算法的魯棒性和收斂性最好，本文取變異概率pm=0.2；交叉概率一般取0.4～0.9，本文取交叉概率pc=0.7。確定種群規(guī)模為30，光順容差ε=0.08，利用遺傳算法對螺桿鉆具型線進(jìn)行優(yōu)化，圖4為光順前后的廓形，圖5為優(yōu)化后的型線曲率。

圖4 優(yōu)化前后廊形對比

螺桿鉆具型線的凹凸曲線過渡處存在曲率變化，由圖5可看出，優(yōu)化后的螺桿鉆具型線曲率在-2～2之間，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算此時的曲線能量。優(yōu)化前后螺桿鉆具廓形曲線的坐標(biāo)點(diǎn)及能量變化如表1所示。

圖5 優(yōu)化后型線曲率

從表1中可以看出：光順后螺桿鉆具型線的能量小于光順前的型線能量，說明優(yōu)化后的曲線光順性較好。

表1 優(yōu)化前后螺桿鉆具廓形曲線型值點(diǎn)及能量變化

3.2 螺桿鉆具嚙合性能分析

如圖6和圖7所示，在未優(yōu)化之前，螺桿鉆具嚙合點(diǎn)個數(shù)是1 826，優(yōu)化后的嚙合點(diǎn)個數(shù)為1 872，較優(yōu)化前明顯增多，說明本文所使用的算法可以提高螺桿鉆具的密封性，改善螺桿滲油情況，增加鉆具使用壽命。

圖6優(yōu)化前嚙合情況圖7優(yōu)化后嚙合情況

4 結(jié)語

本文以型值點(diǎn)坐標(biāo)值的變化量作為優(yōu)化變量，運(yùn)用能量及曲率最小原理，結(jié)合遺傳算法直接得到光順的型值點(diǎn)。通過對實例的研究分析可知，優(yōu)化后的螺桿鉆具廓形曲線能量減小，嚙合點(diǎn)數(shù)增加，說明本文提出的遺傳算法能夠有效解決廓形曲線不光滑的問題，是一種準(zhǔn)確有效的算法。