用形式數(shù)理的手法 剖析“式數(shù)型”易錯(cuò)試題的錯(cuò)誤根源

摘 要： 本文中，“式”指數(shù)學(xué)概念的符號(hào)表達(dá)式；“數(shù)”指數(shù)值或數(shù)的范圍。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，時(shí)常會(huì)遇到一些因“式的結(jié)構(gòu)”和“數(shù)的范圍”不同而導(dǎo)致答案相近但絕不相同的試題。由于這些試題主要涉及式數(shù)的轉(zhuǎn)化，姑且命之名為“式數(shù)型”試題。

關(guān)鍵詞： “式數(shù)型”；易錯(cuò)試題；形式數(shù)理

在“式數(shù)型”試題中，由于式的抽象性和數(shù)的廣泛性，造成此類試題的錯(cuò)因往往十分隱匿，極難察覺。實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們遇到這些試題時(shí)，不但容易做錯(cuò)，而且很難從思維根本上糾正過來(lái)，因而導(dǎo)致一錯(cuò)再錯(cuò)者，屢見不鮮。

為了解決這個(gè)問題，我嘗試從“式”與“形”“數(shù)”與“理”的關(guān)系著手，剖析此類題型的形理根源，以圖徹底糾正思維根本上的錯(cuò)誤。

在數(shù)學(xué)中，“形”為“式”的外顯，“式”為“形”的抽象，形式互相表里；“理”為“數(shù)”的次序，“數(shù)”為“理”的度量，數(shù)理相輔而成。對(duì)于一個(gè)具體的“式數(shù)型”試題而言，從“形式”“數(shù)理”角度剖析，往往更容易抓到問題的本質(zhì)，甚有“射人先射馬，擒賊先擒王”之意味。

下面，略舉平時(shí)教學(xué)中常見的兩個(gè)“式數(shù)型”易錯(cuò)試題為例，試用形式數(shù)理的手法剖析其導(dǎo)致易錯(cuò)的根本原因。

【例1】 已知函數(shù)f（x）=x2+（m-2）x+5-m的兩個(gè)根均大于2，求m的取值范圍。

問題剖析： 本題屬于一元二次方程中根與系數(shù)的問題，解決方法大致分兩種：一種方法是從“形”的角度入手，利用一元二次函數(shù)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合，觀察出與問題等價(jià)的關(guān)于m的不等式組，進(jìn)而求解；另一種方法是從“式”的角度出發(fā)，利用韋達(dá)定理和基本不等式的性質(zhì)處理。

錯(cuò)解： 法一：從式的角度常見的錯(cuò)解

解：∵x1>2，x2>2，故 x1+x2>4x1x2>4 ②Δ≥0 ，即 2-m>45-m>4（m-2）2-4（5-m）≥0 ， 解得m∈（-∞，-4]。

事實(shí)上，從式的角度的正確解法為：

解：∵x1>2，x2>2，∴x1-2>0，x2-2>0，

故 x1-2+x2-2>0（x1-2）·（x2-2）>0 ①Δ≥0 ，即 2-m>45-m-2×（2-m）+4>0（m-2）2-4（5-m）≥0 ， 即 m<-2m>-5m≤-4或m≥4 ，

解得m∈（-5，-4]。

法二：從形的角度再看此題。

解：設(shè)f（x）=0的兩個(gè)根為x1，x2（x1

f（2）>0 2-m 2 >2Δ≥0 ，即 4+2·（m-2）+5-m>0m<-2（m-2）2-4·（5-m）≥0 ，即 m>-5m<-2m≤-4或m≥4 ， 解得m∈（-5，-4]。

綜上可以看到，錯(cuò)解中m∈（-∞，-4]，而正確答案當(dāng)是m∈（-5，-4]，錯(cuò)解的范圍擴(kuò)大了，這是啥原因造成的呢？

錯(cuò)因究底： 比較從式的角度求解的兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，兩者的區(qū)別僅僅在于①式（x1-2）·（x2-2）>0與②式x1x2>4在式結(jié)構(gòu)上的不同。

可以看到，①式（x1-2）·（x2-2）>0展開即是x1x2-4+[8-2（x1+x2）]>0，而②式x1x2>4即x1x2-4>0。前者比后者多了一個(gè)式結(jié)構(gòu)8-2（x1+x2），正因?yàn)檫@個(gè)不同，導(dǎo)致了兩種解答結(jié)果的差異。

然而，式是抽象的，不如形有直觀。從式的結(jié)構(gòu)比較，固然簡(jiǎn)單直接，但正因?yàn)槠涑橄笮?，?dǎo)致許多學(xué)生無(wú)法徹底理解，下次做類似題還會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤。由于“形”為“式”的外顯，下面再?gòu)摹靶巍钡慕嵌戎郑闷矫鎱^(qū)域的圖像，展示兩者之間的本質(zhì)差異。

在①式（x1-2）·（x2-2）>0與②式x1x2>4中，令x1=x，x2=y，則①式變?yōu)椋▁-2）·（y-2）>0，即y> 2x-4 x-2 （x>2）；②式變?yōu)閤y>4，即y> 4 x 。

把它們圖形畫在同一個(gè)坐標(biāo)系中，則①式表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯恰螪AC的右展區(qū)域；②式表示射線AD與曲線AB組合的右展區(qū)域。如下圖：

在平面區(qū)域上，可以看到，②式比①式多了區(qū)域BAC往右邊的平面區(qū)域，這就是導(dǎo)致第②式中m范圍擴(kuò)大的根本原因！

【例2】 設(shè)集合 x x+1 x+a <2 的解集為P，若1P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。

A. [-1，1] B. [-1，0]

C. [-1，0） D. （-1，0]

問題剖析： 此題以集合為載體，考查含參數(shù)分式不等式的解法和集合的基本性質(zhì)。

錯(cuò)解： 解法一：由 x+1 x+a <2，即 -x+1-2a x+a <0，故（x+2a-1）（x+a）>0。

∵（x+2a-1）（x+a）=0的根為x1=1-2a，x2=-a。

（1）當(dāng)1-2a=-a時(shí)，即a=1時(shí)，不等式解集為{x|x≠-1}，此時(shí)1∈P，舍去；

（2）當(dāng)a<1時(shí)，不等式解集為{x|x<-a或x>1-2a}，要1P，則 -a≤11≤1-2aa<1 ，解得-1≤a≤0；

（3）當(dāng)a>1時(shí)，不等式解集為{x|x<1-2a或x>-a}，要1P，則 1-2a≤11≤-aa>1 ，解得a∈。

綜上得，不等式解集為a∈[-1，0]，從而選B。

這種解法從正面出發(fā)，利用分類討論的思想方法處理，邏輯嚴(yán)整，條理清晰，然而難免小題大做，耗時(shí)耗力，得不償失。

于是，有學(xué)生提出新的解法，如下：

解法二：∵1P，故1是 x+1 x+a ≥2中解集，則 1 1+a ≥1，即-1

解法二利用的是補(bǔ)集思想，從反面著手，簡(jiǎn)明扼要。但是這兩種的解法答案竟然不一樣！那個(gè)解法是正確的？

有學(xué)生補(bǔ)充說，兩種解法的差距就在于a能否取到-1。

他說：“我們可以直接取a=-1驗(yàn)證，則原不等式為 x+1 x-1 <2，即 x-3 x-1 >0，解得{x|x<1或x>3}，滿足1P，故還是應(yīng)當(dāng)選擇B?！?/p>

但是，解法二本身已經(jīng)是一個(gè)完整的解法，不需要另外取a=-1來(lái)補(bǔ)充。

這下問題就出來(lái)了！

那就是a=-1到底能不能取得到？

其實(shí)，解法一是正確的，答案選B，即a是可以取得到-1的，理由如下：

錯(cuò)因究底： 我們假設(shè)P= x x+1 x+a <2 ，Q= x x+1 x+a ≥2 ，則可知兩者的并集為P∪Q并不是全體實(shí)數(shù)集 R ，而是P∪Q= R -{-a}。解法二的錯(cuò)誤根源就是在這里：將本試題的全集當(dāng)作全體實(shí)數(shù)集，而忽略了元素-a的特異性。

其實(shí)，我們只要對(duì)1是否屬于集合Q和{-a}分兩種情況討論，即可輕松解決這個(gè)疑惑。

1. 若1∈Q且1≠-a，則 1+1 1+a ≥2，即-1

2. 若1Q且1=-a，則a=-1。

綜上所述，不等式解集為a∈[-1，0]。

由此可見，此題第二個(gè)解答的錯(cuò)誤根源在于問題討論基礎(chǔ)的“數(shù)的范圍”擴(kuò)大了。

當(dāng)然，“式數(shù)型”試題很多，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤的原因也有很多。但是，就試題本身而言，這種因?yàn)椤笆降慕Y(jié)構(gòu)”和“數(shù)的范圍”不同而導(dǎo)致的錯(cuò)解，確實(shí)不能等閑看待。在教學(xué)中，需要用形式數(shù)理的手法，通過“形”的直觀和“理”的次序，透視“式”的抽象與“數(shù)”的廣泛，轉(zhuǎn)抽象到直觀，化疏闊為條理，讓學(xué)生不但知其然，還能知其所以然。這樣，才能從根源上徹底糾正一錯(cuò)再錯(cuò)的現(xiàn)象。

作者簡(jiǎn)介：

劉冠西，貴州省銅仁市，銅仁二中。