非高斯噪聲下信源數(shù)未知相干信號DOA估計(jì)

鐘安琪，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽110870）

1 引言

利用處于不同位置的陣列天線接收來自不同方位信號源的信號，并計(jì)算信號源的波達(dá)方向（direction-of-arrial,DOA），是陣列信號研究中的一個重要課題，目前已取得豐碩成果，在雷達(dá)探測、水中聲納、無線通信航空導(dǎo)航和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用。

波達(dá)方向估計(jì)中經(jīng)典算法如Capon算法[1]和前向平滑（FOSS）算法[2]等都是在高斯噪聲背景下進(jìn)行計(jì)算的，但在實(shí)際中噪聲并不都是完全呈高斯分布的，比如大氣（雷電）噪聲、海洋雜波和地表雜波等，在這些噪聲中存在十分明顯的脈沖尖峰會嚴(yán)重降低基于高斯分布假設(shè)的算法的性能，所以在這種環(huán)境背景下傳統(tǒng)的高斯分布模型不再適用。通過選擇具有厚重拖尾的分布統(tǒng)計(jì)模型如α-穩(wěn)定分布[3]，可以解決在非高斯噪聲下的波達(dá)估計(jì)問題。針對非高斯噪聲下的相干信號的DOA估計(jì)問題，文獻(xiàn)[4]提出了建立前/后平滑低階矩陣來進(jìn)行DOA估計(jì)的FLOM-SS算法。文獻(xiàn)[5]通過將共變矩陣與前后向平滑算法結(jié)合，提出改進(jìn)的MMUSIC算法。但上述算法均存在一個缺點(diǎn)，就是都要在信源數(shù)目的先驗(yàn)信息為已知的前提條件下，才能進(jìn)行有效的DOA估計(jì)。在實(shí)際環(huán)境中，信源數(shù)的信息通常很難得到，不確切的信源數(shù)可能導(dǎo)致算法的失效，這就構(gòu)成了實(shí)際應(yīng)用中的局限性。

為此，基于 SW（Shapiro-Wilk）檢測[6]，提出一種新的非高斯噪聲下信源數(shù)未知的相干信號DOA估計(jì)方法，即采用SW檢測來完成對粗差信號的檢測，再以自適應(yīng)的方式去除信號中的非高斯脈沖噪聲[7]；之后將除粗差后的數(shù)據(jù)作為新的輸入信號，得到其協(xié)方差矩陣；對協(xié)方差矩陣的每一行進(jìn)行Toeplitz矩陣的建立，使其秩只與信號的波達(dá)方向有關(guān)，而不受信號相關(guān)性的影響，從而達(dá)到去相關(guān)的目的；然后根據(jù)其聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)生成無需信源數(shù)目的代價(jià)函數(shù)[8]，再通過由代價(jià)函數(shù)推導(dǎo)出的一維空間譜搜索來進(jìn)行DOA估計(jì)。

2 信號模型

使用均勻線性陣列來作為DOA估計(jì)模型，如圖1所示。

圖1 陣列模型

設(shè)定陣列模型是一個陣元數(shù)為(2M+1)的線性均勻陣列,陣源間距為d，有Q（Q≤M+1）個窄帶遠(yuǎn)場信號從不同方向即θi(i=1,2,...,Q)發(fā)送到陣列當(dāng)中，并且θq∈(-90°,90°)和d≤λ/2,λ為信號的波長,λ=2πc/ω0,ω0為入射信號的中心頻率。以中心陣元作為參考陣元，假設(shè)入射信號與噪聲分別獨(dú)立，前K個信號為相干信號，其它信號獨(dú)立不相干，那么第m個陣元所接收到的信號為：

式中si(t)是第i個信號的復(fù)包絡(luò)，nm(t)是第m個陣元上的噪聲,為振幅衰減因子,并且為了使si(t)到s1(t)之間的相位差不失去一般性，我們假設(shè)則有：

其矢量形式為：

式中,S(t)=[s1(t),s2(t),...,sQ(t)]T是Q×1維的入射信號源矢量，且均值為零，彼此獨(dú)立。與之相對應(yīng)的陣列流形為：

3 新算法的提出

3.1 SW檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)特性的方法之一，是根據(jù)設(shè)定的假設(shè)條件用樣本數(shù)據(jù)去推斷總體?？偟膩碚f，假設(shè)檢驗(yàn)分為五個步驟：

(1)收集數(shù)據(jù)；

(2)定義原假設(shè)和備擇假設(shè)；

(3)選擇顯著性水平α；

(4)得出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值及P值；

(5)選擇或拒絕原假設(shè)。

所使用的假設(shè)檢驗(yàn)是Shapiro和Wilk在1965年所提出的Shapiro-Wilk檢測即SW檢測，是一種效果明顯且步驟簡單的正態(tài)性檢驗(yàn)方法[9]。其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

式中，χi是樣本中第i個順序統(tǒng)計(jì)量（從小到大排列）的值,是樣本平均值，常數(shù)ai由下式得出：

其中 m=(m1,m2,...,mn)T，而(m1,m2,...,mn)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量的期望值；V是順序統(tǒng)計(jì)量的協(xié)方差矩陣。W的值在0和1之間，若W的值小于判斷界限值（可通過查表求得），舍棄正態(tài)性假設(shè)；反之，則接受正態(tài)性假設(shè)。若原假設(shè)是樣本符合正態(tài)分布，當(dāng)其P值（滿足p=P{|Xc|＞Zc},其中Xc是樣本值統(tǒng)計(jì)量，Zc是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值）小于等于顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)，即測試數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布；反之，如果P值大于α，那么不能拒絕樣本數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的原假設(shè)。

輸入快拍數(shù)為300的包含非高斯噪聲的樣本數(shù)據(jù)，且定義其顯著性水平α=0.035，對于非高斯脈沖噪聲的SW檢測結(jié)果如圖2所示，可看出SW檢測能較好地剔除樣本中的非高斯噪聲。

圖2 Shapiro-Wilk檢測結(jié)果

3.2 去除粗差

非高斯脈沖噪聲的性質(zhì)與統(tǒng)計(jì)模型中的粗差（outlier）有一定的相似性[10]。因?yàn)樵谥匚卜植贾谐霈F(xiàn)粗差值的概率，比高斯分布中發(fā)生超過標(biāo)準(zhǔn)偏差的概率更高。即在高斯噪聲模型中，這些較大的值（非高斯脈沖噪聲）不太可能出現(xiàn)，因此可以將非高斯脈沖噪聲認(rèn)為是粗差，進(jìn)而可應(yīng)用假設(shè)檢驗(yàn)理論的相關(guān)方法去除幅值相對較大的粗差值，降低非高斯噪聲的脈沖特性對DOA估計(jì)性能的負(fù)面影響，且相比于FLOM-SS算法和改進(jìn)的MMUSIC算法，已不需要預(yù)知低階矩參數(shù)信息。

因此，當(dāng)檢測到接收信號的某個樣本為非高斯樣本時(shí)，以自適應(yīng)預(yù)處理的方式將其去除，從而保證處理后的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出符合高斯分布的特性，達(dá)到抑制非高斯脈沖噪聲的目的。設(shè)每一陣元接收到的離散數(shù)據(jù)序列為：

式中N為快拍數(shù)。具體地，對xk的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行處理，這里以實(shí)部舉例說明，虛部同理可求。

先對其進(jìn)行排序得：

式中，bu為常數(shù)系數(shù)為剔除m個樣本值余下的樣本信息，為其均值。若W大于判斷界限值，則剩余樣本序列接收高斯分布的假設(shè)，否則令m增大，繼續(xù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，直至高斯分布假設(shè)被接受。該粗差去除過程以自適應(yīng)方式完成，可描述為圖3所示過程。

圖3 基于SW檢測統(tǒng)計(jì)量的處理過程

3.3 信源數(shù)目未知的相干信號DOA估計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]構(gòu)建Toeplitz矩陣可得：

選擇(10)中第m行構(gòu)成Toeplitz矩陣得：

式中：

IM+1,m為除了第m個對角線上元素為1，剩下其他的元素都為0的一個(M+1)×(M+1)維矩陣；

Sn=diag{sm,1,...,sm,P}是偽信號協(xié)方差矩陣；

Rm是具有2M+1行的矩陣并具有聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)，由于其前m行和后m行為共軛對稱(由圖1得m=-M,...,0,...,M)，對稱部分具有同樣的統(tǒng)計(jì)特性和信息，故此僅對前M行進(jìn)行Toeplitz變換即可。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的部分理論推導(dǎo)可得到最終的空間譜估計(jì)式：

式中有：

在式(14)中max eig{·}代表矩陣的最大特征值；因Rm具有聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]中推導(dǎo)得代價(jià)函數(shù)J，因此在確定搜索范圍后，再通過由J生成的新的空間譜估計(jì)表達(dá)式，用一維搜索來求出譜峰（局部最大值）進(jìn)而估計(jì)出其波達(dá)方向，且上式中只需求得最大特征值就可以估計(jì)出P(θi)，所以在進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)不需要信源數(shù)目的先驗(yàn)信息。

通過使用Toeplitz矩陣來重新構(gòu)建接收信號的協(xié)方差矩陣，利用其結(jié)構(gòu)特性可解決相干信號問題，即當(dāng)信源為相干時(shí)，造成接收到數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣產(chǎn)生秩的虧損，使得信號子空間維數(shù)小于信號源數(shù)，從而信號子空間混合到噪聲子空間中去，通過式(13)使得滿秩，達(dá)到去相干的目的，增大了DOA估計(jì)的準(zhǔn)確度。

綜上所述，在非高斯噪聲下未知信源數(shù)相干信號波達(dá)方向估計(jì)方法步驟可總結(jié)為：

(1)設(shè)置參考陣元，通過SW檢測統(tǒng)計(jì)量預(yù)處理自適應(yīng)地對接收信號除粗差，得到新序列樣本；

(3)選擇R的前(M+1)行并且對每行向量進(jìn)行Toeplitz變換如式(13)，構(gòu)造新樣本協(xié)方差Rm；

(4)依照式(16)和(17)來構(gòu)建矩陣F和G；

(5)利用式(14)來進(jìn)行譜峰搜索并確定譜峰位置，得到DOA估計(jì)結(jié)果。

4 算法仿真

4.1 非高斯噪聲模型

非高斯噪聲模型采用的是關(guān)于零點(diǎn)位置對稱分布的α-穩(wěn)定分布(SαS)。其特征函數(shù)表示為：

式中，α(0＜α≤2)被稱為特征指數(shù)，用于描述拖尾分布的厚重程度，隨著α值的減小，噪聲的脈沖特性增大；γ(γ＞0)為尺度參數(shù)。當(dāng)α=2 時(shí)，α-穩(wěn)定分布變?yōu)楦咚狗植疾⑶姚?類似于高斯分布的方差。當(dāng)α=1時(shí)，α-穩(wěn)定分布變?yōu)榭挛鞣植?。?dāng)α＜2時(shí)，α-穩(wěn)定分布噪聲具有厚重的拖尾，變?yōu)槊}沖噪聲。

4.2 性能指標(biāo)及參數(shù)設(shè)置

在仿真實(shí)驗(yàn)中，采用13陣元均勻線性陣列，陣元間距為半波長，信號為遠(yuǎn)場窄帶信號,非高斯脈沖噪聲符合SαS分布且α=1.6,因?yàn)棣?穩(wěn)定分布噪聲中不存在有限的二階矩(即方差不存在),因此通常使用的信噪比定義(信號功率與噪聲功率比的分貝數(shù)值)性能分析也就失效了。故此采用廣義信噪比（Generalized Signal-Noise-Ratio,GSNR）來表示信號與噪聲的相對功率：

定義信源DOA估計(jì)的樣本均方誤差根誤差（Root Mean Square Error，RMSE），用來描述算法的估計(jì)性能：

4.3 算法性能比較

仿真1：假設(shè)陣元數(shù)M=13，快拍數(shù)N=800，信號入射角度為20°和60°且輸入信號為相干信源（使其相關(guān)系數(shù)為1)，樣本顯著性水平?=0.025，加入α=1.6、GSNR=5dB的SαS非高斯脈沖噪聲。

將本算法分別與經(jīng)過SW檢測自適應(yīng)預(yù)處理后的CAPON算法、FOSS算法、FLOM-SS算法及改進(jìn)MMUSIC(Improved MMUSIC,I-MMUSIC)算法進(jìn)行DOA估計(jì)對比。為便于仿真比較，對每個算法的空間譜進(jìn)行歸一化處理，通過劃分其頻譜的最大值來實(shí)現(xiàn)歸一化空間譜。CAPON算法在信源為相干時(shí)性能失效，因此在這里用FOSS算法所求得的協(xié)方差矩陣來代替CAPON算法中本身的協(xié)方差矩陣。各算法的對比結(jié)果如圖4。

圖4 信源相干下各算法歸一化空間譜估計(jì)比較

由圖4可知，對于非高斯噪聲下相干信源的DOA估計(jì)，經(jīng)過SW檢測統(tǒng)計(jì)量自適應(yīng)預(yù)處理后，本算法性能優(yōu)于其他算法，且峰值明顯；而CAPON算法、FOSS算法雖然能估計(jì)出結(jié)果，但性能效果較為退化。

仿真2：與仿真1的各條件保持不變，使蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)為300次，求出各個算法在GSNR由-5dB到20dB下的均方根誤差值，如圖5所示。

圖5 信源相干下各算法均方根誤差與廣義信噪比關(guān)系

由仿真2的結(jié)果可以看出，對相干信號做DOA估計(jì)時(shí)，當(dāng)GSNR由-5dB增大到5dB時(shí)，CAPON算法和FOSS算法浮動較大。10dB之后除FOSS算法，其他算法的均方根誤差逐漸減小趨于穩(wěn)定。本算法在GSNR較小時(shí)，均方根誤差相比其他算法均小，整體性能表現(xiàn)最為穩(wěn)定。

仿真3：設(shè)定GSNR=10dB，其他條件不變，求出各算法在快拍數(shù)由100次到800次所對應(yīng)的均方根誤差率，如圖6所示。

圖6 信源相干下各算法均方根誤差與快拍數(shù)關(guān)系

由仿真3的結(jié)果可知，本算法的均方根誤差不僅僅在低快拍數(shù)下有優(yōu)于其他算法的性能，且隨著快拍數(shù)的增高，其曲線比FLOM-SS和I-MMUSIC算法的表現(xiàn)都要更加穩(wěn)定。

仿真4：設(shè)快拍數(shù)N=400，其他條件同仿真1，求出各個算法在GSNR由-5dB到20dB變化時(shí)的成功概率（成功概率判定誤差范圍設(shè)定為1.2°），如圖7所示。

由仿真4結(jié)果可知，對于相干信號的DOA估計(jì)，本算法性能優(yōu)于其他算法；在0dB到10dB之間，本算法相比于CAPON算法、FOSS算法、FLOMSS算法和I-MMUSIC算法均有更優(yōu)表現(xiàn)；隨著GSNR增加到10dB時(shí)，I-MMUSIC算法的DOA估計(jì)準(zhǔn)確度性下降。FLOM-SS算法性能較FOSS算法更好，而本算法仍比其他算法具有更高精度分辨率及良好的穩(wěn)定性。

圖7 信源相干下各算法成功概率與廣義信噪比關(guān)系

仿真5：設(shè)定GSNR=5dB，其他條件不變，求出對各算法在快拍數(shù)由100到800次下的均方根誤差率，如圖8所示。

圖8 信源相干下各算法成功概率與快拍數(shù)關(guān)系

由圖8得知，在低快拍數(shù)時(shí)，本算法對于相干信號的估計(jì)有著較高準(zhǔn)確度，而隨著快拍數(shù)增加，準(zhǔn)確度仍十分穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

針對非高斯噪聲下相干信號的DOA估計(jì)，提出一種非高斯噪聲下信源數(shù)未知的相干DOA估計(jì)方法。結(jié)合SW檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的方法，自適應(yīng)地對混有非高斯噪聲的信號進(jìn)行預(yù)處理,去除粗差值；對預(yù)處理后的新樣本序列構(gòu)建Toeplitz矩陣，利用其聯(lián)合對角化結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)未知信源數(shù)目的相干信號DOA估計(jì)。該算法無需噪聲的概率密度函數(shù)或者特征指數(shù)等參數(shù)的選擇，因此不僅僅適用于SαS模型，也適用于其它非高斯混合噪聲模型。大量的計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與現(xiàn)存一些算法相比，本算法具有較高的精度及穩(wěn)定性，可對非高斯噪聲下信源數(shù)未知的信源進(jìn)行準(zhǔn)確DOA估計(jì)。