采用衍射掩模產(chǎn)生白光橫向平頂光束?

陳芳萍 張曉婷 劉楚嘉 漆宇 莊其仁

(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,福建省光傳輸與變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廈門 361021)

(2018年1月4日收到;2018年3月21日收到修改稿)

白光橫向平頂光束在定向背光式自由立體顯示器中有重要應(yīng)用.本文提出一種采用帶蝶形小孔陣列的衍射掩模片獲得白光橫向平頂光束的方法.根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分和多波長疊加原理,推導(dǎo)出光強(qiáng)分布計(jì)算式.設(shè)計(jì)一套實(shí)驗(yàn)裝置,數(shù)值模擬并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證出射光束在不同距離的橫向光強(qiáng)分布以及小孔蝶形凹度(蝶形中心高度與邊長的比值)對橫向光強(qiáng)分布的影響.結(jié)果表明:當(dāng)選擇小孔蝶形凹度為0.50—0.66時,可以得到平頂因子F>0.89的白光橫向平頂光束,橫向平頂光束的寬度隨著傳輸距離的增大而增大,而平頂因子基本不變.實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)柱面透鏡的折射色散和衍射色散可以互相抵消,使白光橫向平頂光束基本無色散.

1 引 言

在自由立體顯示技術(shù)中,基于時間復(fù)用技術(shù)的定向背光自由立體顯示能實(shí)現(xiàn)全分辨率、低串?dāng)_立體顯示[1?6],是自由立體顯示技術(shù)的一個重要發(fā)展方向.但傳統(tǒng)定向背光白光光束的空間強(qiáng)度分布呈高斯分布,導(dǎo)致觀看區(qū)域亮度分布不均勻,嚴(yán)重影響視覺舒適度,因此需要將定向背光白光光束整形為橫向平頂光束[7].在現(xiàn)有的平頂光束研究與應(yīng)用中,主要是針對激光光束的整形.激光光束整形方法有光闌攔截法[8]、相位型光束整形法[9]、微透鏡陣列整形法[10]、二元光學(xué)元件衍射法[11]、液晶空間光調(diào)制器法[12]、離焦望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)合成法[13]、超高斯反射鏡腔[14]和非球面透鏡組法[15]等.由于液晶顯示器(LCD)背光源為白光面光源,與激光光源完全不同,因此這些用于激光高斯光束整形的方法不能直接用于定向背光白光光束整形.近年來,光束整形文獻(xiàn)的研究興趣集中在用光束合成的方法來產(chǎn)生和模擬平頂光束,相繼提出了用偏心高斯光束疊加、多束高斯光束疊加和復(fù)宗量拉蓋爾-高斯光束疊加等[16?18]模擬平頂光束的新方法.本文基于衍射積分和多波長疊加原理,提出采用帶蝶形小孔陣列的衍射掩模片獲得白光橫向平頂光束的新方法.

采用衍射掩模和柱面透鏡獲得白光橫向平頂光束的方法是在LCD背光源表面覆蓋一層衍射掩模片,光場經(jīng)過柱面透鏡變換成為白光橫向平頂光束.根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分理論分析柱面透鏡出射光場的分布特性,通過數(shù)值模擬進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,并由實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行驗(yàn)證.該方法結(jié)構(gòu)簡單,易于實(shí)現(xiàn),為基于時間復(fù)用技術(shù)的定向背光自由立體顯示提供一種新的白光平頂光束實(shí)現(xiàn)途徑.

2 理論模型

衍射掩模產(chǎn)生橫向平頂光束原理如圖1所示.在LCD背光源的出光面覆蓋一個衍射掩模片,衍射掩模片在豎直方向整齊緊密排列著蝶形小孔,蝶形小孔結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示.蝶形小孔高度和寬度相等,均為h.定義小孔蝶形凹度β為中心高度a與h的比值,即β=a/h.在衍射掩模片前無間隙放置一個平凸柱面透鏡,LCD背光源均勻光場經(jīng)衍射掩模和柱面透鏡變換為白光橫向平頂光束投射到接收屏進(jìn)行檢測.

圖1 (a)衍射掩模產(chǎn)生橫向平頂光束原理圖;(b)蝶形小孔結(jié)構(gòu)Fig.1.(a)Schematic diagram of diffraction mask for generating horizontal flat-topped beams;(b)structural of butter fly-shaped holes.

柱面透鏡結(jié)構(gòu)剖面圖如圖2所示.圖中d0為平凸柱面透鏡的中心厚度,b為柱面透鏡單元寬度.設(shè)x1處平凸柱面透鏡的厚度為d(x1),則柱面透鏡的透過率函數(shù)為

式中n為柱面透鏡折射率.根據(jù)圖2的幾何關(guān)系可知

將(2)式代入(1)式并整理得

圖2 柱面透鏡的結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.2.Structural parameters of the cylindrical lens.

根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式,波長為λ的光波在z=0平面的衍射光場可寫為

式中m表示第m個蝶形單元,um0(x0,y0,λ)為衍射掩模平面的光場復(fù)振幅分布函數(shù),由于衍射掩模片緊貼LCD背光源均勻發(fā)光面,可認(rèn)為衍射掩模與光源在同一個平面,衍射掩模起到了改變光源發(fā)光面形狀的作用,因此(4)式中面積元dx0dy0的積分面積Sm為蝶形的兩個直邊x0=?h/2,x0=h/2以及4個斜邊y01,y02,y03,y04圍成的面積,積分限分別為:

考慮到LCD背光源白光光譜寬度大,柱面透鏡材料的折射率不是常數(shù),而是波長的函數(shù)n=n(λ),可由Sellmeier色散公式表示為

式中B1,B2,B3和C1,C2,C3為柱面透鏡材料系數(shù).將接收屏放置在z=z2處,可得接收屏上的單波長衍射光場為:

由于LCD背光源為白光光源,不同波長的光為非相干光,所以接收屏上的光強(qiáng)度分布等于各波長衍射光強(qiáng)度的線性疊加[19].通過測量光源的光譜強(qiáng)度分布,再按一定波長間隔取不同波長λl代入(7)式計(jì)算衍射光強(qiáng)度分布,可得到接收屏上的總光強(qiáng)分布為

式中cl為白光光源光譜中λl的相對強(qiáng)度值.

接收屏上的光強(qiáng)分布橫向平頂特性可用平頂因子F來衡量[20],公式為

其中Ij為大于設(shè)定閾值的光強(qiáng),IP為峰值光強(qiáng),K為光強(qiáng)大于閾值的分割份數(shù),閾值通常取半峰值高度.F值越大(0 6 F 6 1),白光橫向平頂光束的平頂度越好.

3 數(shù)值模擬

首先采用光譜儀測量實(shí)驗(yàn)所用正白光發(fā)光二極管(LED)光源的光譜相對強(qiáng)度,如圖3所示.LED白光光譜為連續(xù)光譜,數(shù)值模擬時將光源光譜按?λ=10 nm波長等間隔取樣,由圖3曲線數(shù)據(jù)可得到各波長對應(yīng)的相對強(qiáng)度值cl.

數(shù)值模擬采用的基本參數(shù)為:蝶形單元寬度h=50μm,小孔蝶形凹度β=0.4;柱面透鏡寬度b=1.411 mm,柱面透鏡曲率半徑R=2.67 mm,柱面透鏡厚度d0=8 mm(近似等于柱面透鏡的焦距);柱面透鏡材料為聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA),根據(jù)文獻(xiàn)[19]計(jì)算得到PMMA的Sellmeier色散公式材料系數(shù)見表1;光源波長λl取值范圍400—700 nm,按(8)式進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖3 白光LED的光譜相對強(qiáng)度分布曲線Fig.3.Relative spectral strength distribution curve of white LED.

表1 PMMA的Sellmeier色散公式材料系數(shù)Table1.PMMA material coefficient of Sellmeier dispersion formula.

改變接收屏與柱面透鏡出射面距離為z2=500,1000,1500 mm和2000 mm,數(shù)值模擬得到接收屏橫向白光光強(qiáng)分布曲線如圖4所示.可以看到它們的光強(qiáng)分布曲線形狀基本一致,采用(9)式計(jì)算平頂因子F,結(jié)果表明傳播距離不改變橫向白光光強(qiáng)分布的平頂特性(F≈0.89),如圖6(a)示.隨著傳播距離的增大,平頂光束的橫向?qū)挾入S著增大.這是由于掩模片的蝶形小孔有一定寬度,因此小孔出射光束經(jīng)過柱透鏡變換后不是理想的橫向準(zhǔn)直光束,存在一定發(fā)散角.對于平頂光束,其半高

全寬(FWHM)發(fā)散角可近似表示為θ1≈h/(d0?R),代入相關(guān)參數(shù)可得θ1≈0.00938.另外柱透鏡出射光束屬于細(xì)光束,衍射效應(yīng)比較明顯.衍射發(fā)散角θ2可近似表示為θ2≈ 2λ/b1,可得波長650 nm的紅光衍射發(fā)散角θ2≈ 0.00093.因θ1和θ2為獨(dú)立變量,都會使橫向平頂光束發(fā)散,所以平頂光束橫向?qū)挾菷WHM將隨著傳播距離的增大而增大.

圖4 數(shù)值模擬得到的接收屏橫向白光光強(qiáng)分布曲線隨距離z2的變化 (a)z2=500 mm;(b)z2=1000 mm;(c)z2=1500 mm;(d)z2=2000 mm.Fig.4.Simulated distribution curves of the horizontal white light intensity on the receiving screen vs.the distance z2:(a)z2=500 mm;(b)z2=1000 mm;(c)z2=1500 mm;(d)z2=2000 mm.

圖5 數(shù)值模擬得到的橫向光強(qiáng)分布曲線隨小孔蝶形凹度β的變化 (a)β=1.0;(b)β=0.8;(c)β=0.6;(d)β=0.4Fig.5.Simulated distribution curves of the horizontal light intensity vs.the concavity of butter fly-shaped hole:(a)β=1.0;(b)β=0.8;(c)β=0.6;(d)β=0.4.

將接收屏與柱面透鏡出射面距離固定為z2=2000 mm,改變小孔蝶形凹度β值,其余初始參數(shù)不變,數(shù)值模擬得到接收屏橫向白光光強(qiáng)分布曲線如圖5所示.圖5(a)為β=1的光強(qiáng)分布曲線,此時蝶形小孔為正方形,可以看到接收屏橫向白光光強(qiáng)分布曲線接近為高斯分布.圖5(a)—(d)的光強(qiáng)分布曲線顯示,小孔蝶形凹度β減小,光強(qiáng)分布曲線形狀由高斯型向平頂型演變.同時可以看到,β=0.6的橫向光強(qiáng)分布曲線比β=0.4的頂部更為平坦,平頂因子值更大,前者F=0.892,后者F=0.890,說明β值太小反而會降低平頂因子值.小孔蝶形凹度對柱透鏡輸出橫向光強(qiáng)的影響主要來自小孔縱向衍射的疊加,小孔出射光束經(jīng)柱透鏡變換在縱向上與自由空間菲涅耳衍射基本相同.當(dāng)?shù)涡】自诳v向排成一個陣列時,就可以看成一個特殊結(jié)構(gòu)的單縫.由于每個小孔的中心高度小于兩邊的高度,因此透過特殊單縫的光場中心能量密度小于兩邊的能量密度.經(jīng)過一定衍射距離后,這種光場能量分布的不均勻使單縫衍射的光場能量分布特性發(fā)生改變,出現(xiàn)橫向衍射光場中心能量下降的趨勢.小孔蝶形凹度值越小,光場中心能量下降越明顯,橫向光強(qiáng)分布曲線越平坦,平頂因子F值越大.但當(dāng)小孔蝶形凹度值小于一定值時,光場中心能量下降太多而出現(xiàn)中心明顯凹陷,平頂因子F值反而下降,因此存在一個最佳小孔蝶形凹度使F達(dá)到最大值,如圖5(c)所示.為了找出最優(yōu)的β取值,模擬計(jì)算了平頂因子F隨不同蝶形凹度β的變化規(guī)律,如圖6(b)所示,圖中二次擬合曲線顯示β=0.5時平頂因子達(dá)到最大值F=0.894.由于β=0.4—0.6之間F的變化量很小(<0.5%),所以β取值從0.4—0.6都能得到很好的橫向平頂光束.

上述模擬結(jié)果說明,當(dāng)柱面透鏡曲率半徑和材料確定后,選擇合適的小孔蝶形凹度β,可以將LCD背光源均勻光場經(jīng)過衍射掩模和柱面透鏡變換為橫向平頂光束,橫向平頂光束的寬度隨著傳輸距離的增大而增大,且平頂因子基本不變.

圖6 模擬計(jì)算得到的平頂因子F隨距離z2(a)和蝶形凹度β(b)的變化Fig.6. Simulated top- flat factor as a function of distance of dissemination z2(a),and concavity of butter fly-shaped hole β(b).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示.其中柱面透鏡采用PMMA柱面透鏡光柵板,厚度d0=8 mm,光柵密度18線/英寸(即柱面透鏡寬度b=1.411 mm),柱面透鏡曲率半徑R=2.67 mm.為了獲得足夠強(qiáng)度的均勻背光源,實(shí)驗(yàn)中將單只功率為3 W的正白光LED陣列放置于擴(kuò)散板后面,組成直下式平板燈結(jié)構(gòu),代替LCD背光源.實(shí)驗(yàn)掩模板的制備采用菲林輸出技術(shù),先把小孔蝶形陣列經(jīng)過柵格圖像處理器(RIP)處理成點(diǎn)陣圖像,利用激光菲林機(jī)使菲林片相應(yīng)部位曝光,再通過顯影機(jī)的顯定影過程,把未曝光部分沖洗掉,就在菲林片上形成小孔蝶形陣列.菲林機(jī)最大分辨率2880 dpi,最小網(wǎng)格間距8μm,因此實(shí)際加工后的掩模板小孔蝶形參數(shù)為:高48μm,寬48μm,小孔蝶形凹度β=1,β=0.83,β=0.66和β=0.50.接收屏為漫反射的白屏,屏上的亮度分布與光束的強(qiáng)度分布成正比,因此可以用數(shù)碼相機(jī)拍照并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理獲得歸一化光強(qiáng)度分布曲線.

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置原理圖Fig.7.Experimental setup.

圖8為接收屏上白光光斑圖樣的數(shù)碼相機(jī)照片及橫向光強(qiáng)分布曲線.其中圖8(a)—(d)分別對應(yīng)蝶形凹度β=1.00,β=0.83,β=0.66和β=0.50的橫向白光光強(qiáng)分布圖.對圖8數(shù)據(jù)按(9)式計(jì)算平頂因子F,得到接收屏上的實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)分布圖平頂因子F隨蝶形凹度的變化規(guī)律如圖9(b)所示.可以看到隨著β值的減小,光強(qiáng)分布曲線從高斯型向平頂型的轉(zhuǎn)變.β=0.50時橫向白光光強(qiáng)分布平頂因子F達(dá)到最大值F=0.89.比較圖5和圖8可以看到,當(dāng)?shù)伟级圈?1.00和β=0.83時橫向白光光強(qiáng)分布曲線呈現(xiàn)高斯型分布,而當(dāng)β值減小為β=0.66和β=0.50時,光強(qiáng)分布曲線出現(xiàn)明顯的平頂特征,說明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬計(jì)算結(jié)果符合.

圖8 實(shí)驗(yàn)得到的橫向光強(qiáng)分布曲線隨小孔蝶形凹度β的變化 (a)β=1.00;(b)β=0.83;(c)β=0.66;(d)β=0.50Fig.8.Experimental horizontal light intensity distribution vs.the concavity of butter fly-shaped hole:(a)β=1.00;(b)β=0.83;(c)β=0.66;(d)β=0.50.

圖9 實(shí)驗(yàn)得到的平頂因子F隨距離z2(a)和蝶形凹度β(b)的變化Fig.9.Experimental top- flat factor as a function of distance of dissemination z2(a)and concavity of butter flyshaped hole β(b).

圖10 實(shí)驗(yàn)得到的橫向光強(qiáng)分布曲線隨傳播距離z2的變化 (a)z2=500 mm;(b)z2=1000 mm;(c)z2=1500 mm;(d)z2=2000 mmFig.10.Experimental horizontal light intensity distribution vs.the distance of dissemination:(a)z2=500 mm;(b)z2=1000 mm;(c)z2=1500 mm;(d)z2=2000 mm.

根據(jù)范西特-澤尼克定理[21],一個擴(kuò)展不相干準(zhǔn)單色光源在離它距離為z的受照面上可產(chǎn)生一個近乎完全相干的照明區(qū),其直徑為

圖10為β=0.5,接收屏與柱面透鏡出射面距離z2=500,1000,1500 mm和2000 mm時,實(shí)驗(yàn)得到的接收屏上白光光斑圖樣和橫向光強(qiáng)分布曲線.可以看到橫向光強(qiáng)分布曲線的平頂特性基本不隨傳播距離的變化而變化,經(jīng)計(jì)算可知圖10(a)—(d)的平頂因子F均大于0.89,如圖9(a)曲線.比較圖4和圖10可知傳播距離不改變橫向白光光強(qiáng)分布的平頂特性,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果相一致.

4.2 色散對軸上平頂光束的影響

由于柱面透鏡折射光束發(fā)散角和衍射光束發(fā)散角都是波長的函數(shù),兩者都會引起白光橫向平頂光束的色散.圖11給出了β=0.5,接收屏與柱面透鏡出射面距離z2=500,1000,1500 mm和2000 mm時,實(shí)驗(yàn)得到的接收屏上紅綠藍(lán)(RGB)三基色光強(qiáng)度分布曲線.這里三基色是采用BMP圖形文件格式存儲的RGB數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的,將數(shù)碼相機(jī)拍攝的接收屏照片通過圖像分析軟件Image Analyzer分析得到光強(qiáng)度分布曲線.可以看到圖11(a)—(d)的RGB三基色光強(qiáng)度都具有平頂分布特性,且兩邊沿RGB三基色基本是重合的,即沒有產(chǎn)生色散現(xiàn)象.這是因?yàn)橹嫱哥R折射率隨波長增大而減小,蝶形小孔出射光束經(jīng)柱面透鏡圓柱面折射后引起的光束發(fā)散角隨波長增大而減小(透鏡色差);而衍射引起的光束發(fā)散角剛好與之相反,衍射光束發(fā)散角隨波長增大而增大,兩者相互抵消,結(jié)果降低了波長對橫向平頂光束發(fā)散角的影響.根據(jù)幾何光學(xué)原理和圖2柱面透鏡結(jié)構(gòu)參數(shù),求得柱面透鏡圓柱面折射光線與光軸的夾角:

式中U為圓柱面入射光線與光軸的夾角,其值為負(fù)值.(11)式對波長求導(dǎo)數(shù)可得U′隨波長的變化率:

(12)式說明柱面透鏡圓柱面折射光線與光軸夾角U′隨波長的變化率(色散特性)與柱面透鏡折射率隨波長的變化率成負(fù)比例關(guān)系,將(6)式和柱面透鏡參數(shù)代入(12)式可求得具體色散角度值.

柱面透鏡出射平行光束的發(fā)散角θ(λ)可近似由夫瑯和費(fèi)衍射公式表示為

式中b1為柱面透鏡實(shí)際出射光束寬度,則衍射發(fā)散角隨波長的變化率為

(14)式表明衍射光束發(fā)散角隨波長增大而增大,當(dāng)

時,可消除折射色散和衍射色散的影響,如圖12中的兩曲線交叉點(diǎn),其橫坐標(biāo)值約為0.35 mm,即柱面透鏡寬度為0.35 mm時,接收屏上白光光斑可完全消色差.

圖11 實(shí)驗(yàn)得到的RGB三基色光強(qiáng)度分布曲線Fig.11.Experiment colored light intensity distribution curves of RGB.

圖12 折射色散和衍射色散與柱面透鏡出射光束寬度的關(guān)系Fig.12.Relationship between the dispersion and diffraction dispersion with the width of the beam.

4.3 色散對軸外平頂光束的影響

當(dāng)?shù)涡】灼x柱面透鏡光軸較大時,光束在光軸的上方或下方,折射色散為非對稱結(jié)構(gòu),不能抵消對稱結(jié)構(gòu)的衍射色散,其結(jié)果是波長較短的藍(lán)光和波長較長的紅光形成的平頂光束存在相對位移,不同波長平頂光束存在的相對位移使白光光束展寬、邊沿顏色分離和平頂因子變小,如圖13(b)所示(其中蝶形小孔偏離光軸距離R,R為柱面透鏡半徑).與圖13(a)所示的軸上衍射圖相比,在圖13(b)中可以看到明顯的彩色條帶和三基色光強(qiáng)分布曲線錯位,光束平頂特性變差.

圖13 柱透鏡軸上的衍射光強(qiáng)分布(a)和軸外的衍射光強(qiáng)分布(b)Fig.13.Diffraction intensity distribution at optical axis of a cylindrical lens(a),and at offaxis of a cylindrical lens(b).

4.4 其他因素對軸外平頂光束的影響

1)像差的影響

從圖13(b)還可以看到,蝶形小孔在柱面透鏡軸外位置產(chǎn)生的衍射光束橫向光強(qiáng)分布頂部出現(xiàn)明顯的傾斜,這是由柱面透鏡的像差引起的衍射像中的光強(qiáng)分布不均勻現(xiàn)象.柱面透鏡的像差主要考慮初級球差、初級慧差和初級像散的影響,而初級慧差是軸外物點(diǎn)寬光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)后產(chǎn)生失對稱像的主要因素.

2)蝶形小孔尺寸的影響

當(dāng)?shù)涡】壮叽邕h(yuǎn)小于柱面透鏡曲率半徑時,蝶形小孔類似點(diǎn)光源,其經(jīng)過柱面透鏡后的衍射光束橫向光強(qiáng)分布接近高斯分布,而不具備平頂特性.當(dāng)?shù)涡】壮叽缃咏嫱哥R曲率半徑時,由于像差的影響將使平頂特性變差(如圖13(b)).可見蝶形小孔尺寸應(yīng)選擇比柱面透鏡曲率半徑小1—2個數(shù)量級之間為宜.

5 結(jié) 論

由廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分和多波長疊加原理推導(dǎo)出白光LED背光源均勻光場經(jīng)過蝶形小孔陣列衍射掩模片和柱面透鏡后的光強(qiáng)分布并進(jìn)行了數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)用蝶形小孔陣列衍射掩模片產(chǎn)生了白光橫向平頂光束,實(shí)驗(yàn)得到的橫向光強(qiáng)分布、橫向平頂光強(qiáng)分布與距離的關(guān)系和平頂因子計(jì)算結(jié)果均與數(shù)值模擬結(jié)果相符.結(jié)果表明:當(dāng)?shù)涡】椎膶挾萮=48μm,凹度β=0.50—0.66,柱面透鏡曲率半徑R=2.67 mm,厚度d0=8 mm時,在可視距離500—2000 mm范圍內(nèi)得到平頂因子F>0.89的橫向白光平頂光束,且平頂光束的橫向?qū)挾入S著傳播距離的增大而增大.對白光橫向平頂光束消色差進(jìn)行了討論,證明了折射色散和衍射色散可以互相抵消,實(shí)現(xiàn)無色差白光橫向平頂光束.研究結(jié)果對于定向背光式自由立體顯示器中的應(yīng)用有重要參考價值和指導(dǎo)意義.