例談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中如何培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)
——以《隱軌跡問題》為例

戴天竹

（江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇 蘇州）

核心素養(yǎng)是知識(shí)、能力、態(tài)度或價(jià)值觀等方面的全面體現(xiàn)，它深深地影響著一個(gè)人的全面發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要努力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)分析等能力。

高三復(fù)習(xí)課是對高中知識(shí)的提煉，是知識(shí)升華的一個(gè)過程，為高考服務(wù)，那如何有效提高課堂效率，如何引領(lǐng)學(xué)生形成核心素養(yǎng)，這一直是我們一線教師思考的問題。

本文以《隱軌跡問題》為例，談?wù)劚救藢ε囵B(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面的一點(diǎn)想法。

一、課前熱身

1.已知圓 O：x2+y2=1，若直線上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的圓O的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的最小值為____.

2.已知 A、B 是圓 C1：x2+y2=1 上的動(dòng)點(diǎn)P是圓 C2：（x-3）2+（y-4）2=1 上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_______.

3.已知點(diǎn) A（-2，0），B（4，0），圓 C：（x+4）2+（y+b）2=16，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，若為定值，則b=________.

評析：題1和題2中利用圓的切線、圓中弦、圓的直徑構(gòu)造直角三角形便于問題的解決，通過這兩題讓學(xué)生能喚醒圓的相關(guān)知識(shí)，能總結(jié)到圓相關(guān)問題的解決，學(xué)會(huì)從圓的性質(zhì)考慮解決策略。題3是阿波羅尼斯圓知識(shí)的簡單運(yùn)用，此題的設(shè)計(jì)能讓學(xué)生喚醒阿波羅尼斯圓知識(shí)以及利用方程求軌跡的方法，從而為本節(jié)課打好知識(shí)儲(chǔ)備，以更好地提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、課堂分析

例1.已知圓O：x2+y2=5，A，B為圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=2，M 為弦AB的中點(diǎn)a+2）.當(dāng)A、B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有∠CMD為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.

生：由M為弦AB的中點(diǎn)，可構(gòu)造直角△OMA，故OM=2，所以當(dāng)A，B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為圓x2+y2=4，又由∠CMD為銳角，知點(diǎn)M在以CD直徑的圓外，所以圓x2+y2=4與以CD為直徑的圓（y-a-1）2=1 外離，所以 8+（a+1）2＞9，所以 a＜-2 或 a＞0.

師：這邊我們用到了哪些知識(shí)點(diǎn)？

生：圓中弦構(gòu)造直角三角形，圓外的點(diǎn)對直徑的張角為銳角。

師：也就是說對兩定點(diǎn)張角為銳角的點(diǎn)在以此兩點(diǎn)為直徑的圓外，類似地，我們還能得到？

生：對兩定點(diǎn)張角為直角的點(diǎn)是以此兩點(diǎn)為直徑的圓，對兩定點(diǎn)張角為銳角的點(diǎn)在以此兩點(diǎn)為直徑的圓內(nèi).

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（-1，0），點(diǎn) Q（2，1），直線 l：ax+by+c=0 其中 a，b，c 成等差數(shù)列，點(diǎn)P在直線l上的射影為H，則線段QH的取值范圍是__________.

生：由 a，b，c成等差數(shù)列，知直線 l過點(diǎn) M（1，-2），又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上的射影為H.所以點(diǎn)H的軌跡是以PM為直徑的圓x2+（y+1）2=8，所以線段QH的取值范圍是［

評析：此兩小題以多種形式體現(xiàn)對兩定點(diǎn)張角為直角的點(diǎn)是以此兩點(diǎn)為直徑的圓這一知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生深刻地理解此知識(shí)點(diǎn)，并能升起挖掘隱含條件的強(qiáng)烈愿望，引導(dǎo)學(xué)生提煉問題的能力。

例 2.已知點(diǎn) A（2，3），點(diǎn) B（6，-3），點(diǎn) P 在直線 3x-4y+3=0 上，若滿足等式A—→P·B—→P+2λ=0 的點(diǎn) P 有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是__________.

生：設(shè)點(diǎn) P（x，y），因?yàn)锳—→P·B—→P+2λ=0，

所以（x-2）（x-6）+（y-3）（y+3）+2λ=0，即（x-4）2+y2=15-2λ，又因?yàn)辄c(diǎn)P有兩個(gè)，所以以上方程是圓，且與直線 3x-4y+3=0相交，所以所以 λ＜2。

師：我們注意到這里也有個(gè)圓，形成的方式和例1中不同，它是怎么形成的？

生：由向量點(diǎn)乘得到的。

師：能不能更準(zhǔn)確點(diǎn)，把相關(guān)元素都一般化？

生：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)之間有某種向量點(diǎn)乘關(guān)系可能得到動(dòng)點(diǎn)軌跡可能是圓。

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x+1）2+y2=2，點(diǎn) A（2，0），若圓 C 上存在點(diǎn) M，滿足 MA2+MO2≤10，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是____.

生：設(shè)點(diǎn) M（x，y），因?yàn)?MA2+MO2≤10，

所以（x-2）2+y2+x2+y2≤10，即圓面（x-1）2+y2≤4，

又點(diǎn)M在圓C上以及圓（x-1）2+y2=4與圓C的交點(diǎn)為（所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是

評析：此兩小題都是通過設(shè)點(diǎn)求軌跡的方法得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。此處讓學(xué)生去尋找此類問題的共同點(diǎn)：都是有兩定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而由它們間的關(guān)系式得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡。通過對問題的總結(jié)，尋找共同點(diǎn)，提高學(xué)生總結(jié)問題、解決問題的能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的素養(yǎng)。

例3.在平面直角坐標(biāo)系中xOy，已知圓C：x2+y2=5，過作點(diǎn)A（1，0）作兩互相垂直的直線分別交圓C于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則 EG 的最小值為 __________.

解析：本題可取EG中點(diǎn)B，根據(jù)圓中弦構(gòu)造直角三角形，同時(shí)將兩動(dòng)點(diǎn)間的距離EG轉(zhuǎn)化為AB，可得到動(dòng)點(diǎn)B與定點(diǎn)O、A之間的關(guān)系，進(jìn)而得到B點(diǎn)軌跡，再求出EG最小值。

方法二：利用圓中弦構(gòu)造直角三角形，如圖，延長PA交圓M于點(diǎn)P′，設(shè)O到PP′的距離為 d1，則（類似構(gòu)造我們也可得到再由下同法一?？稍O(shè) B（x，y）得所以AB的最小值為則EG的最小值為2.

變式：已知圓 M：x2+y2=4，圓 N：x2+y2=16，點(diǎn) A（1，0），動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在圓M、N上，且AP⊥AQ，則PQ的取值范圍為_________.

解析：方法一：將AP、AQ作為鄰邊作矩形PAQT（則有xT=xP+xQ-1，yT=yP+yQ），將求兩動(dòng)點(diǎn)間距離PQ轉(zhuǎn)化為求一動(dòng)一定兩點(diǎn)間距離AT，

評析：此兩小題體現(xiàn)化歸思想，將多動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一動(dòng)點(diǎn)問題，進(jìn)而用軌跡方程方法或圓中直角三角形等幾何法來求出此動(dòng)點(diǎn)軌跡，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)分析等核心素養(yǎng)，提升了學(xué)生解決問題的能力。

本文就高三復(fù)習(xí)課如何提高課堂效率、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了一些簡單的嘗試，今后還將進(jìn)一步開發(fā)，將高三復(fù)習(xí)課打造成我們提高業(yè)務(wù)素養(yǎng)的又一基地。