培養(yǎng)邏輯推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

劉晨曲

（福建省漳州立人學(xué)校，福建 漳州）

所謂邏輯推理能力，指的是對事物進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力。數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科，教師應(yīng)當(dāng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，采用多種有效的教學(xué)手段，強化他們的數(shù)學(xué)思維。

一、類比歸納，合情推理

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師組織學(xué)生開展類比歸納活動，能夠有效引導(dǎo)他們通過從特殊情況推理出一般的規(guī)律，進(jìn)而順利實現(xiàn)合情推理。因此，想要提高學(xué)生的邏輯推理能力，教師就應(yīng)當(dāng)注重提升學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的運用，提高他們思維的概括性。

比如，在對“冪函數(shù)”這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，考慮到學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)對函數(shù)的研究方法形成了初步的認(rèn)識，因此在教學(xué)時，采用類比歸納的方法，引導(dǎo)學(xué)生由幾個特殊的函數(shù)圖象入手，根據(jù)已有研究函數(shù)經(jīng)驗，歸納推理得出了冪函數(shù)的一般性質(zhì)。在課堂中，組織學(xué)生開展了動手實踐活動：“在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的繪制方法，下面請同學(xué)們分別畫出冪函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象分析一下這幾個函數(shù)的性質(zhì)，例如定義域、值域、單調(diào)性與奇偶性等?！痹趯W(xué)生分別得到這幾個特殊的冪函數(shù)的性質(zhì)之后，通過一系列的問題引導(dǎo)學(xué)生對其展開了類比與歸納。例如“為什么有的冪函數(shù)是單調(diào)遞增的，有的冪函數(shù)是單調(diào)遞減的，大家有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？”在教師的引導(dǎo)下學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)，對于冪函數(shù)y=xa，當(dāng)a＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，由此推理得出了冪函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律。

在上述教學(xué)活動中，我們不難發(fā)現(xiàn)通過引導(dǎo)學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上與要獲取的新知識之間進(jìn)行類比歸納，可有效提高學(xué)生思維的概括性，在高效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的同時，發(fā)展他們的觀察、比較、分析、推理等能力，教學(xué)上就可以取得事半功倍的效果。

二、學(xué)會判斷，演繹推理

演繹推理與歸納推理所不同的是，演繹推理是從一般到特殊的推理過程，是根據(jù)已知的一般原理對特殊情況所做出的判斷。培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，首先要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理等形成清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識，從而對數(shù)學(xué)問題做出正確的判斷，完成推理活動。比如，對“直線與平面垂直的判定”這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，為了提高學(xué)生演繹推理的能力，首先引導(dǎo)學(xué)生對定理的內(nèi)容進(jìn)行準(zhǔn)確理解，其次利用圖形感知空間中線面的垂直關(guān)系，最后利用習(xí)題進(jìn)行強化。如下圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E 是側(cè)棱 BB1的中點，A1D⊥平面 ABB1A1，求證A1E⊥平面ADE。在求解這一問題時，不妨讓學(xué)生關(guān)注問題屬于幾何圖形中的哪種位置關(guān)系，再追問“如何證明直線與已知平面垂直呢？”學(xué)生根據(jù)線面垂直的判定定理可迅速回答道：“若一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直?！彪S后再追問道：“那么同學(xué)們可以找到A1E與平面ADE的哪兩條相交直線垂直呢？”在引導(dǎo)下，學(xué)生獲得了解題思路，提升了空間想象能力，并對直線與平面的垂直關(guān)系做出正確的證明。因為由勾股定理得同理可得又因為因此AE⊥A1E。根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可以知道，若A1D⊥平面ABB1A1，則A1D垂直于平面ABB1A1的任意直線，而A1E?平面ABB1A1，由此學(xué)生得出了如下判斷：AD⊥A1E。又因為AD?平面ADE，AE?平面ADE，AD∩AE=A，所以A1E⊥平面ADE。

在上述教學(xué)活動中，通過組織學(xué)生進(jìn)行定理的理解，并且引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)定理對數(shù)學(xué)問題做出正確的判斷，有效地幫助他們找到了解題的思路，提高了他們的演繹推理能力，獲得很好的教學(xué)效果。

三、數(shù)形結(jié)合，想象推理

數(shù)形結(jié)合是一種利用數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法，具有直觀、快捷的優(yōu)點，利用數(shù)形結(jié)合思想解題能夠有效地簡化推理與運算，發(fā)展學(xué)生的形象思維與邏輯推理能力。因此，教師應(yīng)當(dāng)注重向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，使他們能夠巧用數(shù)與形之間的關(guān)系，巧解推理問題。

比如，在對“方程的根與函數(shù)的零點”這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，利用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)與方程在“形”與“數(shù)”上的內(nèi)在聯(lián)系。在課堂上，可引導(dǎo)學(xué)生對一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)圖象進(jìn)行研究。學(xué)生利用所學(xué)知識，分別求解了方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0相對應(yīng)的根及其函數(shù)圖象，完成了如下的表格。隨后提問道：“根據(jù)函數(shù)圖象，找到其與x軸的交點。”在學(xué)生得到答案后，提問：“根據(jù)這三個方程的判別式、根、圖象與x軸的交點，大家可以得到什么結(jié)論呢？”在引導(dǎo)與提示下，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。為了引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，得出一般的結(jié)論，可追問：“對于其他函數(shù)是否也成立呢？”經(jīng)過驗證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)該結(jié)論也適用于其他函數(shù)。由此引出了零點的概念，學(xué)生在前面的基礎(chǔ)上，迅速理解了函數(shù)零點與對應(yīng)方程的根的關(guān)系。

判別式方程的根方程的圖象?函數(shù)的圖象與x軸的交點

在上述教學(xué)活動中，通過結(jié)合教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生利用直觀想象展開推理過程，有效地拓展了他們的解題思路，提高了推理能力，高效達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。

四、多維視角，發(fā)散推理

發(fā)散是一種重要的邏輯性思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維對于提高他們的邏輯推理能力具有十分重要的意義。教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生從多維視角分析問題，進(jìn)而展開推理過程，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

比如，在對“三角函數(shù)”這一章的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，組織學(xué)生展開了一題多解的專題訓(xùn)練活動，學(xué)生需要嘗試從多種角度，多方位地去思考、分析問題，展開推理活動。例如：已知sin2α+cos2α=1，求 sinα、cosα 的值。學(xué)生在探究這一問題時，得到了多種解法：解法一，聯(lián)立方程組解方程得到cos2α的值，進(jìn)而得到sinα與cosα的值；解法二，分類討論，當(dāng) α在第一象限時因此而當(dāng)α在第三象限時法三，利用比例的性質(zhì)和同角三角函數(shù)關(guān)系式求解……通過對比多種求解方法，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，充分利用同角三角函數(shù)關(guān)系式“1”的代換，能夠使解題過程更加簡潔快速，收獲了此類問題的推理方法與解題技巧。

在上述教學(xué)活動中，通過引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，探究多種解決方案，有效發(fā)展了他們的發(fā)散性思維，對于提高其邏輯推理能力具有很好的促進(jìn)作用。

五、聯(lián)系生活，應(yīng)用推理

教育家陶行知先生曾提出過“教學(xué)生活化”這一著名的教育思想，主張教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在實踐中獲得真知。因此，教師應(yīng)當(dāng)注重聯(lián)系實際生活引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用推理，使他們的邏輯推理能力在實踐中得到升華。

比如，在對“古典概型”這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，向?qū)W生提問道：“甲、乙、丙、丁四人負(fù)責(zé)擔(dān)任本單位周六、周日的值班任務(wù)，若每個人被安排是等可能的，且每天只安排一個人，請問本周六日甲、乙兩人都被安排的概率是多少？”對于學(xué)生身邊的這一問題，學(xué)生利用古典概型的概率公式進(jìn)行了分析與推導(dǎo)，首先找到試驗的基本事件總數(shù)，一共有12種不同的安排方法，即12個基本事件，事件A“甲乙兩人都被安排”包含兩個基本事件，因此，事件A發(fā)生的概率為成功求解這一問題?；騼π羁ǖ拿艽a問題，若儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0，1，2，3…9十個數(shù)字中的任意一個，假設(shè)一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼，他到自動取款機上隨機試一次密碼就能取到錢的概率為0.0001。這也使得盜銀行卡的人無法簡單從銀行取錢，密碼的數(shù)字越多，其一次就取到錢的概率越低，這幾乎就是不可能事件。

在上述教學(xué)活動中，我們不難發(fā)現(xiàn)通過貫徹落實陶行知先生“教學(xué)生活化”的主張，引導(dǎo)學(xué)生將課堂所學(xué)知識應(yīng)用于實際生活中，不但激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能有效提高他們的邏輯推理能力，使學(xué)生形成學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)理念。

綜上所述，教師通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“類比歸納”“學(xué)會判斷”“數(shù)形結(jié)合”“多維視角”“聯(lián)系生活”等思維活動，能夠有效發(fā)展學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與敏捷性，提高其邏輯推理能力?？傊?，教師應(yīng)當(dāng)注重向?qū)W生滲透邏輯推理活動所需的方法與技巧，使之不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。