奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程弱解存在唯一性的算子方法

王 興,彭達(dá)瑤,秦新強(qiáng),胡 鋼

(西安理工大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710054)

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展,經(jīng)典的Laplacian算子在描述物理、化學(xué)、生物甚至是金融學(xué)中的新現(xiàn)象和新規(guī)律時(shí)具有很大的局限性。上世紀(jì)八十年代以來,隨著相變理論、反常擴(kuò)散、共形幾何、非牛頓流體以及金融財(cái)務(wù)優(yōu)化等領(lǐng)域的發(fā)展[1-4],研究人員發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Laplacian方程相較于整數(shù)階微分方程能更好地描述涉及記憶模式、遺傳效應(yīng)以及路徑依賴和具有全局相關(guān)性的物理過程。因此,近些年來,分?jǐn)?shù)階微分方程理論及應(yīng)用受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注,其研究得到了迅猛發(fā)展。

本文將研究一類含有奇異非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階橢圓問題(1)解的存在性與唯一性:

(1)

有關(guān)N維歐氏空間RN上分?jǐn)?shù)階Laplacian算子的定義以及分?jǐn)?shù)階Sobolev空間理論等內(nèi)容,可以參見文獻(xiàn)[5]。

(2)

相比于奇異Laplacian方程,針對(duì)奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的研究還較少,有許多根本性問題需要探索。2014年Fang在文獻(xiàn)[11]中考慮了如下奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程:

(3)

其中00。通過構(gòu)造逼近方程,作者證明了對(duì)于任意λ>0方程(3)均存在唯一正弱解。Mukherjee和Sreenadh在文獻(xiàn)[12]中利用變分方法得到了如下具有臨界增長指數(shù)的奇異分?jǐn)?shù)階Laplacian方程(4)正弱解的存在性和多重性:

(4)

在我們已有工作的基礎(chǔ)上,本文研究奇異項(xiàng)為一般形式f(x,u)∈Lp(Ω×(0,∞))的分?jǐn)?shù)階Laplacian方程,給出方程弱解存在性和唯一性的新方法——算子方法。首先,注意到算子(-Δ)s具有非局部性。Caffarelli和Silverstre在[13]中,通過將(-Δ)s在高一維空間RN+1中進(jìn)行調(diào)和延拓,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Laplacian算子(-Δ)s在一定意義下的局部化,由此可以將問題(1)的求解轉(zhuǎn)化為尋求問題(5)的弱解。因此,提供了利用整數(shù)階橢圓方程理論研究分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的新途徑。為了定義方程(1)的弱解,現(xiàn)給出邊值問題:

(5)

1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果

(6)

下面給出本文需要用到的Banach空間算子理論的部分定義和結(jié)果,該部分內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[15-16]。

假設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,θ是E的零元。

(a) 若閉凸集P?E滿足以下兩個(gè)條件，則稱P為閉錐。

① 當(dāng)x∈P,λ>0時(shí),λx∈P。

② 若x∈P,-x∈P時(shí),x=θ。

(b) 如果閉錐P的內(nèi)點(diǎn)集Int(P)≠?,則稱P是體錐。

(c) 定義E上的偏序x≤y等價(jià)于y-x∈P。若存在一個(gè)常數(shù)K>0,使得對(duì)于所有的θ≤x≤y∈E,有‖x‖≤K‖y‖，則稱P是正規(guī)錐。

(d) 如果當(dāng)x≤y∈E時(shí),有Tx≤Ty(Tx≥Ty),則稱算子T:E→E是遞增(遞減)的。

(e) 設(shè)x,y∈E,若存在λ,μ>0使得λx≤μy則稱x～y。

定義凸集Ph={x∈E|x～h}。顯然?λ>0,有λPh=Ph。

下面給出關(guān)于算子方程的一個(gè)抽象結(jié)果,它是文獻(xiàn)[15]中定理2的簡單推廣。

定理1(見文獻(xiàn)[15])假設(shè)P是正規(guī)錐,算子A滿足以下條件:

1) 算子A:Ph→Ph是遞減的;

2) 對(duì)于任意x∈Ph以及t∈(0,1),存在β(t)∈(0,1)使得A(tx)≤tβ(t)Ax;

3) 存在一個(gè)常數(shù)l≥0使得x0∈[θ,lh],則算子方程x=Ax+x0在Ph中有唯一解。

注：在文獻(xiàn)[15]的定理2.2中,取算子A的負(fù)算子-A,其余條件作相應(yīng)的調(diào)整即可得定理1。

在定理1的基礎(chǔ)上給出本文的主要結(jié)果。

1)f(x,t)在Π=Ω×(0,+∞)上非負(fù);

2) 對(duì)于任意R>0有f(x,t)∈Lp(Ω×(0,R));

2 問題(1)正弱解的存在性與唯一性

定理2的證明

(7)

接下來首先考慮問題(1)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階線性橢圓邊值問題:

(8)

事實(shí)上,因?yàn)閡∈Pφ1,所以由Hopf極值原理得:存在充分小的常數(shù)C1∈(0,1),使得

(9)

成立。因此,由定理2條件2)得f(x,u(x))∈Lp(Ω)。從而:

因此,由分?jǐn)?shù)階Sobolev空間性質(zhì)知,存在實(shí)數(shù)列{fk}使得:

(10)

(11)

且tr(v)=w。

第二步:首先,由第一步的結(jié)論可以定義算子A:Pφ1→E為:

Au=w,u∈Pφ1

(12)

下面證明集合Pφ1是算子A的不變集,即:

A:Pφ1→Pφ1

(13)

設(shè)函數(shù)η是分?jǐn)?shù)階線性橢圓問題(8)當(dāng)u=φ1時(shí)的正弱解,即:

(14)

所以

Aφ1=η

(15)

(16)

并且:

(17)

上述不等式表明,對(duì)于分?jǐn)?shù)階線性橢圓問題(8)在弱意義下有不等式:

(-Δ)sw=f(x,u(x))≤φ(C1)f(x,φ1(x))=

(-Δ)s(φ(C1)η(x))

(18)

和:

(19)

成立。因此,由分?jǐn)?shù)階線性橢圓問題的比較原理(參見文獻(xiàn)[5]中引理4.6)得:

(20)

由特征函數(shù)φ1的正則性和Hopf極值原理,存在常數(shù)C2,C3>0使得：

(21)

其中d(x)=d(x,?Ω)是x到邊界?Ω的距離。

|w(x)-w(y)|≤C4|x-y|

(22)

(23)

接下來證明存在C5>0使得:

(24)

(25)

且:

(26)

?x∈Bε(x0)(x0)∩Ω

(27)

因?yàn)?Ω是緊集,應(yīng)用有限覆蓋定理,可選取有限個(gè)點(diǎn)x1,x2,…,xK∈?Ω使得:

(28)

令：

ε=min{ε(x1),ε(x2),…,ε(xK)}

則對(duì)于任意x∈{x|d(x,?Ω)≤ε},均存在開球Bε(xi)使得x∈Bε(xi)∩Ω,從而有:

(29)

再結(jié)合不等式(20)～(24)得:

(30)

(31)

即w(x)∈Pφ1。因此證明了集合Pφ1是算子A的不變集。

第三步:首先,設(shè)u1,u2∈Pφ1且u1≥u2,則由定理2的條件3)得:

f(x,u1(x))≤f(x,u2(x))

(32)

由分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的比較原理得:

A(u1)≤A(u2)

(33)

因此,算子A是遞減的,即滿足定理1的條件1)。

其次,證明對(duì)于任意u∈Pφ1,λ∈(0,1)，有：

A(λu)≤φ(λ)u

事實(shí)上,由問題(8)弱解的存在性以及算子A的定義我們有:

(34)

以及:

(35)

又由定理2的條件3),可得:

因此,用式(34)減式(35)得:

(36)

進(jìn)而由比較原理得:

A(λu)≤φ(λ)A(u)

(37)

因?yàn)?

λ∈(0,1),φ(λ)∈(λ,1]

(38)

所以:

(39)

將式(39)帶入式(37)得:

(40)

式(18)滿足定理1的條件2)。

最后,取x0=θ顯然有θ∈[θ,φ1],滿足定理1的條件3)。

綜上,根據(jù)定理1得算子A存在唯一不動(dòng)點(diǎn)u∈Pφ1,即問題(1)有唯一的正弱解：

定理2證畢。