超音速偏航流作用下功能梯度材料板的振動與屈曲*

吳 迪，王 熙，黃小林，張 偉

(桂林電子科技大學 建筑與交通工程學院，廣西 桂林 541004)

0 引 言

功能梯度材料(簡稱FGM)問世以后，關(guān)于功能梯度材料板振動和屈曲特性的研究一直為人們所關(guān)注. 其中，文獻[1]對熱荷載作用下功能梯度板的后屈曲自由振動進行了研究，結(jié)果表明，當溫度升高時，F(xiàn)GM板的自由振動在屈曲前后呈現(xiàn)出增加和減小兩種不同的狀態(tài). 文獻[2]根據(jù)漢密爾頓原理建立了熱環(huán)境下FGM板的運動方程，分析了FGM板的振動和屈曲特性. 文獻[3]基于一階剪切變形理論研究了熱環(huán)境下FGM板的非線性振動與屈曲，結(jié)果表明，外部荷載達到臨界荷載時，F(xiàn)GM產(chǎn)生分叉屈曲. 文獻[4]研究了邊界條件、熱環(huán)境和材料組分指數(shù)等因素對FGM梁非線性振動和后屈曲性的影響. 文獻[5]通過對熱環(huán)境下功能梯度材料板后屈曲振動分析后指出，隨著溫度的升高，板的自振頻率在屈曲前逐漸減小，屈曲后逐漸增大.

迄今為止，討論熱荷載對板結(jié)構(gòu)自由振動和屈曲影響的文獻較多，而討論航空航天工程中飛行器壁板受高速氣流和熱環(huán)境影響的文獻較少，且大都集中于各向同性板和復合材料層合板[6-8]. 因此，本文基于復合材料薄板理論和考慮偏角影響的氣動壓力一階活塞理論，建立熱環(huán)境下超音速偏航飛行的FGM板的運動方程，用Galerkin積分法求解，并通過參數(shù)分析討論氣流馬赫數(shù)、氣流偏角、熱環(huán)境溫度等因素對功能梯度材料板自由振動和屈曲特性的影響.

1 基本方法及求解過程

設長為a，寬為b，厚度為h的FGM薄板受超音速氣流作用. FGM板由金屬和陶瓷兩種材料組成，金屬材料由底部至頂部逐漸減少，而陶瓷材料逐漸增加，其彈性模量E、熱脹系數(shù)α，密度ρ和熱傳導系數(shù)κ等物性參數(shù)可以表示為[9]

式中： 下標(U,L)表示FGM板的上下表面；N為材料組分指數(shù)； 彈性模量和線膨脹系數(shù)隨著環(huán)境溫度的變化而變化[10].

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3).

(2)

(3)

假定坐標原點位于中面角點，則W為z方向位移，引入應力函數(shù)F，且F與面內(nèi)力的關(guān)系可以表示為

(4)

基于復合材料薄板理論，可導出功能梯度薄板在氣動壓力和熱環(huán)境作用下的運動方程為

L11(W)+L12(F)-L13(NT)-L14(MT)+

(5)

L21(F)-L22(W)-L23(NT)=0,

(6)

式中： 變量頂部的圓點表示對時間的偏導，Lij()為高階線性偏微分算子，具體見文獻[11]. 與氣動壓力有關(guān)的三個參數(shù)定義為

(7)

根據(jù)文獻[12]，式(5)和(6)中的熱荷載可表示為

(8)

式中： ΔT=T(z)-T0本文取T0=300 K，T(z)為溫度場沿板厚度方向的分布函數(shù)，考慮均勻溫度場時，則T為常量.Ax,Ay,Axy的定義見文獻[11,13].

設運動方程(5)～(6)的解由兩部分疊加

(9)

(10)

L21(F*)-L22(W*)=0.

(11)

靜力方程組的形式解可假設為

(12)

式中：Xm,Ym,Φm,ψm為梁振動本征函數(shù)，即

Xm(x)=coshαmx-cosαmx-

γm(sinhαmx-sinαmx),

(13a)

Yn(y)=coshαny-cosαny-

γn(sinhαny-sinαny),

(13b)

Φm(x)=Am(coshβmx-cosβmx)+

Bmsinhβmx+sinβmx,

(13c)

Ψn(x)=An(coshβny-cosβny)+

Bnsinhβny+sinβny,

(13d)

式中： 常系數(shù)Ai,Bi,βi,αj,γj由板的邊界條件確定，具體數(shù)值可參見文獻[14].

同時，將熱彎矩也展開為

(14)

附加動撓度和應力函數(shù)應滿足下列動力方程組

(15)

(16)

設運動方程組解的形式為

將(17a)和(17b)代入運動方程組(15)～(16)，在兩個方程的兩邊分別同時乘Xi(x)Yj(y),Φi(x)Ψj(y)進行Galerkin積分，同時將系數(shù)fmn(t)用wmn(t)表達，可得到下面關(guān)于wmn(t)的二階線性常

微分方程組

(18)

式中：M,C,K為板的廣義質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣； {w(t)}=[w11(t),w12(t),…]T. 令{w(t)}={a}eωt，代入式(18)，因為{a}=[a11,a12,…]T不全為零，為使方程存在非零解，必有

det(ω2[M]+ω[C]+[K])=0.

(19)

由式(19)可求得各模態(tài)(m,n)的自振頻率ωmn. 當最小自振頻率ω11為零時，對應的溫度和氣流速度即為屈曲臨界溫度和屈曲氣流速度.

2 比較算例

圖 1 將本文計算的四邊簡支FGM板屈曲前后的固有頻率與文獻[1]中的有限元結(jié)果進行了對比，F(xiàn)GM板的材料自下而上由Ti-6Al-4V向Aluminum oxide逐步變化. Ti-6Al-4V和Aluminum oxide物性參數(shù)隨溫度變化的相關(guān)參數(shù)具體取值與文獻[15]一致，如表 1 所示. 其中，板的邊長與厚度分別為a=b=0.3 m，邊厚比a/h=100; 分別取材料組分指數(shù)N=0 和2 000兩種情況進行分析，結(jié)果表明，本文與文獻[1]的結(jié)果比較接近.

圖 1 各向同性薄板屈曲前后自振頻率Ω*比較Fig.1 Comparisons of natural frequencies Ω* of the pre- and post-buckled isotropic thin plates表 1 Aluminum oxide和Ti-6Al-4V材料特性系數(shù)[15]Tab.1 Aluminum oxide and Ti-6Al-4V material characteristic coefficient

P0P-1P1P2P3Aluminum oxideE/Pa349.55×1090-3.853×10-44.027×10-7-1.673×10-10α/K-16.826 9×10-601.838×10-400Ti-6Al-4VE/Pa122.56×1090-4.586×10-400α/K-17.5788×10-606.638×10-4-3.147×10-60

3 參數(shù)分析

討論由兩組不同的金屬/陶瓷材料復合而成的功能梯度材料薄板，一組記為ZrO2/Ti-6Al-4V，另一組記為Si3N4/SUS304. ZrO2, Ti-6Al-4V, Si3N4和 SUS304的密度分別為3 000, 4 429, 2 370 和8166 kg/m3. 泊松比v均取0.28，材料的彈性模量和線膨脹系數(shù)隨溫度變化的相關(guān)參數(shù)取值與文獻[15]相同，具體如表 2 所示.

表 2 陶瓷和金屬的材料特性系數(shù)[15]Tab.2 Material properties of ceramic and metals

圖 2 馬赫數(shù)對FGM板屈曲前后自振頻率Ω的影響Fig.2 Effect of mach number on the natural vibration frequency before and after buckling of FGM plate

圖 4 顯示了表示偏航情況下氣流偏角對FGM板臨界屈曲溫度影響.

在M∞=1.5時，由圖 4 可以看到，當氣流偏角從0°變化到90°時，屈曲臨界溫度的變化大約分為三個過程. 在0°～30°范圍內(nèi)，臨界屈曲溫度變化很較小，30°～70°范圍內(nèi),臨界屈曲溫度升高較快，而在70°～90°時，臨界屈曲溫度變化又比較小.

圖 5 邊厚比對FGM薄板臨界屈曲溫度的影響Fig.5 Effect of side-to-thickness ratio on the critical buckling temperature for FGM thin plate

4 結(jié) 論

本文基于復合材料薄板理論及氣動壓力的一階活塞理論建立了熱環(huán)境下FGM板的氣動彈性模型，研究了FGM板在氣動壓力與熱荷載作用下的自由振動和屈曲問題，通過參數(shù)討論了氣流馬赫數(shù)M∞、氣流偏角θ、材料組分指數(shù)N、邊厚比及邊界條件等因素對振動頻率和屈曲臨界溫度的影響. 結(jié)果表明，F(xiàn)GM板的臨界屈曲溫度Tcr和自振頻率隨氣流馬赫數(shù)的增大而增大，隨材料組分指數(shù)N的增大而減小. 氣流偏角θ對屈曲臨界溫度的影響不可忽視，當氣流偏角在某一范圍內(nèi)變化時，板的臨界屈曲溫度Tcr會發(fā)生較大的變化.