以一類向量模的問(wèn)題為例淺談追本溯源

蔣婷婷

摘 要： 教材中的基本知識(shí)始終是高考命題的主要來(lái)源。本文從真題出發(fā)，追本溯源，談?wù)勏蛄磕５膯?wèn)題與教材之間千絲萬(wàn)縷的的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞： 教材；向量；三角不等式；模恒等式；極化恒等式

【中圖分類號(hào)】 G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2236-1879（2018）11-0062-02

高考試題雖然年年不同，但是教材中的基本知識(shí)、基本定理原理始終是考試的終點(diǎn)，教材是高考命題的主要來(lái)源。所以在高考復(fù)習(xí)中，尤其是后階段，教師適當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生回歸教材，重點(diǎn)研究高考題考查的內(nèi)容和能力。只有具備了相關(guān)的知識(shí)與能力，方能贏得高考。

1 從真題出發(fā)思考。

例1 已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|b|=2，則|a-b|的最小值是____，最大值是____。

（2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題）

分析：一方面，若向量a、b共線，方向相同或相反，都有|a+b|+|a-b|=4，若向量a、b不共線，如圖1， 其中OF=AE=a，OB=BD=b，OC=a+b，BA=CE=DC=a-b，數(shù)形結(jié)合可知：|a+b|+|a-b=|OC|+|CE|>|OE|=2|a|=2，|a+b|+|a-b|=|OC|+|CE|=|OC|+|CD|>|OD|=2|b|=4，所以|a+b|+|a-b|4。

另一方面，，平方和是定值10，利用重要不等式易得：

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到最大值25。

筆者認(rèn)為此題考查了向量模的性質(zhì)，也稱向量模恒等式，又重點(diǎn)考查了三角不等式的應(yīng)用能力。

（1） （向量三角不等式）

（2）（向量模恒等式）

它們都是教材的內(nèi)容，都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。

2 回歸教材，追本溯源

2.1 向量三角不等式的來(lái)源。

人教版數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量中2.2平面向量的線性運(yùn)算第81頁(yè)的【例題】：已知向量a、b，求作向量a+b。

在82頁(yè)安排了【探究】：處于什么位置時(shí)，（1）

（2）

根據(jù)三角形兩邊之和（差）與第三邊的大小關(guān)系，再結(jié)合等號(hào)成立的情況，得到不等式。這就是教材中對(duì)向量三角不等式的完整的介紹。那么例1中，只需令，即可得到最小值4。向量三角不等式在歷年的高考真題中數(shù)次考查，可見(jiàn)其重要性。

教材的82頁(yè)又安排了【思考】：當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)共線向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？

筆者揣摩教材中作這樣的安排，旨在揭示數(shù)的絕對(duì)值與向量的模之間的關(guān)系。事實(shí)上，與向量的模的三角不等式相似，實(shí)數(shù)有絕對(duì)值不等式：

例2 已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，若對(duì)任意單位向量e，均有最大值是_____。

（2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題）

或 恒成立，可得。這里應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注意向量的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值之間的區(qū)別與聯(lián)系。

或者根據(jù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式：，可以得到：，所以問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意單位向量，

2.2 向量模恒等式的來(lái)源。

人教版數(shù)學(xué)必修4 2.5平面向量應(yīng)用舉例中2.5.1平面幾何中的向量方法第109頁(yè)的【例題】：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？

（向量模恒等式），它的幾何意義為“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”。這個(gè)恒等式在往年的高考中也常常出現(xiàn)。

（2014年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題）

分析：正確理解分段函數(shù)的含義，并運(yùn)用這些模的幾何意義，首先平行四邊形的對(duì)角線與其邊長(zhǎng)不能比較大小，另一方面恒有 。從中感受到高考題來(lái)源于教材，綜合考查幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)與幾個(gè)不同方面的如抽象邏輯計(jì)數(shù)等能力。

3 理解教材，挖掘教材。

仔細(xì)研讀教材，認(rèn)真看了教材中的例題之后，如何理解教材編寫(xiě)者的意圖，如何在自己的教學(xué)實(shí)踐中引領(lǐng)學(xué)生感受與發(fā)現(xiàn)，并且能有一定程度的升華，這就需要教師對(duì)教材進(jìn)行再加工，再琢磨，充分挖掘教材。例如，

不妨嘗試（3）（4）可得：，即這個(gè)恒等式被稱為極化恒等式。它的幾何意義為“向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的平方差的14”。這個(gè)等式在高考題中有許多妙用[1]。筆者以江蘇省2016年的一個(gè)試題為例談?wù)剺O化恒等式的應(yīng)用。

例4 如圖4，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

的值是_____。

（2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題）

分析： ，同理可得：，，所以容易得到。

事實(shí)上，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，在三角形模型里，極化恒等式反映的是鄰邊的數(shù)量積是中線與半邊長(zhǎng)的平方差。這樣推導(dǎo)：

所以，筆者揣測(cè)極化恒等式教材中并為給出，也許是這個(gè)理由，它可以由向量的線性表示，然后化簡(jiǎn)得到，并不一定需要由極化恒等式出發(fā)。從這個(gè)角度出發(fā)，向量模的恒等式是更有研究意義的。但這并不影響極化恒等式受到重用。

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)：“教師掌握的知識(shí)要比他所教的知識(shí)多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過(guò)懸崖，渡過(guò)險(xiǎn)灘?！睆?fù)習(xí)的最后階段，返璞歸真，研讀教材，感知最基礎(chǔ)的知識(shí)，或許會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，閃現(xiàn)新的靈感！

參考文獻(xiàn)

[1] 王紅權(quán)，李學(xué)軍，朱成萬(wàn).巧用極化恒等式 妙解一類向量題 [J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（8）：24-25.