2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

高達(dá)溟

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能

了解離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值。

2.過程與方法

理解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和常見分布的數(shù)學(xué)期望，能熟練運(yùn)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度，勇于探索和敢于創(chuàng)新的精神。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價值。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或數(shù)學(xué)期望。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)舊知

1.隨機(jī)變量

如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示

若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）

2.離散型隨機(jī)變量

對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量

3.分布列

設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為……。

取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列

4.分布列的兩個性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i=1，2，…； ⑵P1+P2+…=1.

二、引入新課

根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些特定的概率，也就掌握了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計規(guī)律。但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，

問題1：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下在n次射擊之前，可以根據(jù)這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望

問題2：如何估計該射手n次射擊的平均環(huán)數(shù)？

根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，

我們可以估計，在n次射擊中，預(yù)計大約有

次得4環(huán)；

次得5環(huán)；

…………

次得10環(huán).

故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為

，

從而，預(yù)計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為

.

這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平.

對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，即已知各個（i=0，1，2，…，10），我們可以同樣預(yù)計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)：

….

三、推進(jìn)新課

1.均值或數(shù)學(xué)期望：

一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為則稱 … 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.

均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平

注意：

（1）區(qū)別與

隨機(jī)變量是可變的，可取不同的值；

均值是不變的，它是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，由的分布列唯一確定，它反映了取值的平均水平。

（2）區(qū)別隨機(jī)變量的均值與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。

均值表示隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗中取值的平均值，它是概率意義上的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。

例1口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，求。

2.均值的性質(zhì)

（1）若（a、b是常數(shù)），是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，它們的分布列為

x1 x2 … xn …

Y … …

P p1 p2 … pn …

于是……

=……）……）

=，

由此，我們得到了期望的一個性質(zhì)：

（2）若…為隨機(jī)變量，則……

例2.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個。現(xiàn)從袋中任取一球。表示所取球的標(biāo)號。

（1）求的分布列和均值。

（2）若求的值。

3.幾種分布的期望

例3 （2015天津）為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.

（I）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；

（II）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

四、小結(jié)

（1）離散型隨機(jī)變量均值的定義

（2）均值的性質(zhì)；

（3）幾種分布的期望。

五、課后作業(yè)：P69 A組1，2，3